【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第6章§6.7數(shù)學(xué)歸納法精品課件 理 北師大

§6.7數(shù)學(xué)歸納法

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考§6.7數(shù)學(xué)歸納法雙基研習(xí)?面對(duì)高考1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是用來證明關(guān)于_________命題的一種方法，若n0是起始值，則n0是_______________________________．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟(1)當(dāng)n＝______時(shí)，驗(yàn)證命題成立．雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理正整數(shù)使命題成立的最小的正整數(shù)n0(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥n0且k∈N＋)時(shí)命題成立，推證n＝_______時(shí)命題也成立，從而推出命題對(duì)于所有的_______________________成立，其中第一步是_________，第二步是__________，二者缺一不可．思考感悟

數(shù)學(xué)歸納法的第一步是驗(yàn)證，那么對(duì)于任何命題都是驗(yàn)證n＝1時(shí)命題成立嗎？提示：不一定，要看題目中n的要求，如證當(dāng)n≥3時(shí)命題成立，則第一步應(yīng)驗(yàn)證n＝3時(shí)命題成立．

k＋1從n0開始的所有正整數(shù)n歸納奠基歸納遞推課前熱身1．(教材習(xí)題改編)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N＋)的過程中，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為(

)

A．1

B．1＋2C．1＋2＋22

D．1＋2＋22＋23答案：C答案：D答案：B5．(2011年黃山模擬)已知整數(shù)對(duì)的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是________．答案：(5,7)考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式問題是數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少．同時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n＝k時(shí)的式子，即充分利用歸納假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．例1【思路點(diǎn)點(diǎn)撥】本題是是一個(gè)個(gè)與正正整數(shù)數(shù)n有關(guān)的的命題題，直直接證證明有有困難難，可可考慮慮用數(shù)數(shù)學(xué)歸歸納法法．【名師點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】用數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法證證明恒恒等式式的關(guān)關(guān)鍵是是在證證明n＝k＋1時(shí)命命題題成成立立，，從從n＝k＋1的待待證證的的目目標(biāo)標(biāo)恒恒等等式式(或不不等等式式)的一一端端“拼湊湊”出歸歸納納假假設(shè)設(shè)的的恒恒等等式式(或不不等等式式)的另另一一端端，，再再運(yùn)運(yùn)用用歸歸納納假假設(shè)設(shè)即即可可．．同同時(shí)時(shí)，，還還要要注注意意待待證證的的目目標(biāo)標(biāo)恒恒等等式式(或不不等等式式)的另另一一端端的的變變化化(即用用“k＋1”代替替恒恒等等式式或或不不等等式式中中的的所所有有的的“n”)考點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明不不等等式式的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是由由n＝k成立立得得n＝k＋1成立立，，主主要要方方法法有有：：①①放放縮縮法法；；②②利利用用基基本本不不等等式式法法；；③③作作差差比比較較法法；；④④綜綜合合法法；；⑤⑤分分析析法法等等．．例2【思路路點(diǎn)點(diǎn)撥撥】本題題考考查查利利用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明與與正正整整數(shù)數(shù)有有關(guān)關(guān)的的不不等等式式．．合合理理運(yùn)運(yùn)用用歸歸納納假假設(shè)設(shè)后后，，向向目目標(biāo)標(biāo)靠靠攏攏的的過過程程中中，，可可以以利利用用證證明明不不等等式式的的一一切切方方法法去去證證明明．．【名師師點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)】用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明與與n有關(guān)關(guān)的的不不等等式式一一般般有有兩兩種種具具體體形形式式：：一是是直直接接給給出出不不等等式式，，按按要要求求進(jìn)進(jìn)行行證證明明；；二是是給給出出兩兩個(gè)個(gè)式式子子，，按按要要求求比比較較它它們們的的大大小小．．對(duì)第第二二類類形形式式往往往往要要先先對(duì)對(duì)n取前前幾幾個(gè)個(gè)值值的的情情況況分分別別驗(yàn)驗(yàn)證證比比較較，，以以免免出出現(xiàn)現(xiàn)判判斷斷失失誤誤，，最最后后猜猜出出從從某某個(gè)個(gè)n值開始都都成立的的結(jié)論，，再用數(shù)數(shù)學(xué)歸納納法證明明．考點(diǎn)三歸納、猜想、證明“歸納——猜想——證明”的模式，，是不完完全歸納納法與數(shù)數(shù)學(xué)歸納納法綜合合應(yīng)用的的解題模模式．其其一般思思路是：：通過觀觀察有限限個(gè)特例例，猜想想出一般般性的結(jié)結(jié)論，然然后用數(shù)數(shù)學(xué)歸納納法證明明．這種種方法在在解決探探索性問問題、存存在性問問題或與與正整數(shù)數(shù)有關(guān)的的命題中中有著廣廣泛的應(yīng)應(yīng)用．其其關(guān)鍵是是歸納、、猜想出出公式．．例3【名師點(diǎn)評(píng)評(píng)】數(shù)學(xué)歸納納法是高高中重要要的證明明方法，，在高考考中常與與其他知知識(shí)相結(jié)結(jié)合，尤尤其與數(shù)數(shù)列中的的歸納、、猜想并并證明或或與數(shù)列列中的不不等式問問題相結(jié)結(jié)合綜合合考查，，證明時(shí)時(shí)要靈活活應(yīng)用題題目中所所給出的的已知條條件，充充分考慮慮“假設(shè)”這一步的的應(yīng)用，，不考慮慮假設(shè)而而進(jìn)行的的證明不不是數(shù)學(xué)學(xué)歸納法法．變式訓(xùn)練練2在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)數(shù)列(n∈N＋)，求a2，a3，a4與b2，b3，b4的值，由由此猜測(cè)測(cè){an}，{bn}的通項(xiàng)公公式，并并證明你你的結(jié)論論．方法感悟方法技巧巧1．利用數(shù)數(shù)學(xué)歸納納法可以以對(duì)不完完全歸納納的問題題進(jìn)行嚴(yán)嚴(yán)格的證證明．(如例3)2．利用數(shù)數(shù)學(xué)歸納納法可以以證明與與正整數(shù)數(shù)有關(guān)的的等式問問題．(如例1)3．利用數(shù)數(shù)學(xué)歸納納法可以以證明與與正整數(shù)數(shù)有關(guān)的的不等式式問題．．(如例2)4．用數(shù)學(xué)學(xué)歸納法法證明的的關(guān)鍵在在于兩個(gè)個(gè)步驟，，要做到到“遞推基礎(chǔ)礎(chǔ)不可少少，歸納納假設(shè)要要用到，，結(jié)論寫寫明莫忘忘掉．”因此必須須注意以以下三點(diǎn)點(diǎn)：(1)驗(yàn)證是基基礎(chǔ)數(shù)學(xué)歸納納法的原原理表明明：第一一個(gè)步驟驟是要找找一個(gè)數(shù)數(shù)n0，這個(gè)n0就是要證證明的命命題對(duì)象象的最小小正整數(shù)數(shù)，這個(gè)個(gè)正整數(shù)數(shù)并不一一定都是是“1”，因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)點(diǎn)，奠基基要穩(wěn)”是正確運(yùn)運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)歸納法法第一個(gè)個(gè)要注意意的問題題．(2)遞推乃關(guān)關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納納法的實(shí)實(shí)質(zhì)在于于遞推，，所以從從“k”到“k＋1”的過程，，必須把把歸納假假設(shè)“n＝k”作為條件件來導(dǎo)出出“n＝k＋1”時(shí)的命題題，在推推導(dǎo)過程程中，要要把歸納納假設(shè)用用上一次次或幾次次．(3)尋找遞推推關(guān)系的的方法①在第一一步驗(yàn)證證時(shí)，不不妨多計(jì)計(jì)算幾項(xiàng)項(xiàng)，并爭(zhēng)爭(zhēng)取正確確寫出來來，這樣樣對(duì)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)遞推關(guān)關(guān)系是有有幫助的的．②探求數(shù)數(shù)列通項(xiàng)項(xiàng)公式要要善于觀觀察式子子或命題題的變化化規(guī)律，，觀察n處在哪個(gè)個(gè)位置．．③在書寫寫f(k＋1)時(shí)，一定定要把包包含f(k)的式子寫出來來，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)項(xiàng)，除此之外外，多了哪些些項(xiàng)，少了哪哪些項(xiàng)都要分分析清楚．(如例3)失誤防范1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法法僅適用于與與正整數(shù)有關(guān)關(guān)的數(shù)學(xué)命題題．2．嚴(yán)格按照數(shù)數(shù)學(xué)歸納法的的三個(gè)步驟書書寫，特別是是對(duì)初始值的的驗(yàn)證不可省省略，有時(shí)要要取兩個(gè)(或兩個(gè)以上)初始值進(jìn)行驗(yàn)驗(yàn)證；初始值值的驗(yàn)證是歸歸納假設(shè)的基基礎(chǔ)．3．注意n＝k＋1時(shí)命題的正確確性．4．在進(jìn)行n＝k＋1命題證明時(shí)，，一定要用n＝k(k∈N＋)時(shí)的命題，沒沒有用到該命命題而推理證證明的方法不不是數(shù)學(xué)歸納納法．考情分析考向瞭望?把脈高考數(shù)學(xué)歸納法在在高考中的考考查重點(diǎn)是證證明與正整數(shù)數(shù)有關(guān)的不等等式以及與數(shù)數(shù)列有關(guān)的命命題，其中用用數(shù)學(xué)歸納法法證明與數(shù)列列有關(guān)的命題題是高考的熱熱點(diǎn)，題型為為解答題，主主要考查用數(shù)數(shù)學(xué)歸納法證證明數(shù)學(xué)命題題的能力，同同時(shí)考查學(xué)生生分析問題、、解決問題的的能力，難度度中、高檔．．預(yù)測(cè)2012年高考可能以以與數(shù)列有關(guān)關(guān)的等式或不不等式的證明明為主要考點(diǎn)點(diǎn)，重點(diǎn)考查查學(xué)生運(yùn)用數(shù)數(shù)學(xué)歸納法解解決問題的能能力．真題透析例(本題滿分12分)(2010年高考江蘇卷卷)已知△ABC的三邊長(zhǎng)都是是有理數(shù)．(1)求證：cosA是有理數(shù)；(2)求證：對(duì)任意意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，8分sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，由①和歸納假設(shè)，，知cos(k＋1)A與sinA·sin(k＋1)A都是有理數(shù)．．即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立立.10分綜合①②可知，對(duì)任意意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù).12分【名師點(diǎn)評(píng)】本題易失誤誤的是：①歸納假設(shè)使使用不當(dāng)致致誤；②沒有證明sinA·sinnA或sinA·sinA為有理數(shù)，，直接應(yīng)用用致誤；③步驟不全，，造成失分分．名師預(yù)測(cè)已知(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…an(x－1)n(其中n∈N＋)．(1)求a0及Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an；(2)試比較Sn與(n－2)2n＋2n2的大小，并并說明理由由．解：(1)取x＝1，則a0＝2n；取x＝2，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－2n.(2)要比較Sn與(n－2)2n＋2n2的大小，即即比較3n與(n－1)·2n＋2n2的大小，當(dāng)n＝1時(shí)，3n>(n－1)2n＋2n2；當(dāng)n＝2,3時(shí)，3n<(n－1)2n＋2n2；當(dāng)n＝4,5時(shí)，3n>(n－1)2n＋2n2；猜想：當(dāng)n≥4時(shí)，3n>(n－1)2n＋2n2，下面用數(shù)數(shù)學(xué)歸納法法證明：由上述過程程可知，當(dāng)當(dāng)n＝4時(shí)結(jié)論成立立，假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥4)時(shí)結(jié)結(jié)論論成成立立，，即即3k>(k－1)2k＋2k2，兩邊邊同同乘乘以以3，得得3k＋1>3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]，而(k－3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k