《用樣本估計(jì)總體》設(shè)計(jì)

用樣本估計(jì)總體【教學(xué)目標(biāo)】1.會(huì)求樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差．2．理解用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的方法．3．會(huì)應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際統(tǒng)計(jì)問題．【教學(xué)重點(diǎn)】1.會(huì)求樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差2．理解用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的方法【教學(xué)難點(diǎn)】會(huì)應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際統(tǒng)計(jì)問題．【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過(guò)程】認(rèn)知初探1．用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征一般情況下，如果樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法又合理的話，樣本的特征能夠反映總體的特征．特別地，樣本平均數(shù)(也稱為樣本均值)、方差(也稱為樣本方差)與總體對(duì)應(yīng)的值相差不會(huì)太大．大數(shù)定律可以保證，當(dāng)樣本的容量越來(lái)越大時(shí)，估計(jì)的誤差很小的可能性將越來(lái)越大．在估計(jì)總體的數(shù)字特征時(shí)，只需直接算出樣本對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征即可．2．用樣本的分布估計(jì)總體的分布如果樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法又合理的話，樣本的分布與總體分布會(huì)差不多．特別地，每一組的頻率與總體對(duì)應(yīng)的頻率相差不會(huì)太大．同數(shù)字特征的估計(jì)一樣，分布的估計(jì)一般也有誤差．如果總體在每一個(gè)分組的頻率記為π1，π2，…，πn，樣本在每一組對(duì)應(yīng)的頻率記為p1，p2，…，pn，一般來(lái)說(shuō)，eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)[(π1－p1)2＋(π2－p2)2＋…＋(πn－pn)2]不等于零．同樣，大數(shù)定律可以保證，當(dāng)樣本的容量越來(lái)越大時(shí)，上式很小的可能性將越來(lái)越大．小試牛刀1．如圖是總體密度曲線，下列說(shuō)法正確的是()A．組距越大，頻率分布折線圖越接近于它B．樣本容量越小，頻率分布折線圖越接近于它C．陰影部分的面積代表總體在(a，b)內(nèi)取值的百分比D．陰影部分的平均高度代表總體在(a，b)內(nèi)取值的百分比C[當(dāng)樣本容量越大，組距越小時(shí)，頻率分布折線圖越接近總體密度曲線，但它永遠(yuǎn)達(dá)不到總體密度曲線．在總體密度曲線中，陰影部分的面積代表總體在(a，b)內(nèi)取值的百分比．]2．對(duì)于數(shù)據(jù)3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列結(jié)論：①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不相等；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的數(shù)值相等．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4A[在這一組數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)次數(shù)最多，有6次，故眾數(shù)是3；將數(shù)據(jù)按從小到大順序排列后，最中間的數(shù)據(jù)是3，故中位數(shù)是3；平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(2×2＋3×6＋6×2＋10,11)＝4，故只有①正確．]3.如圖是甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員某賽季一些場(chǎng)次得分的莖葉圖，據(jù)圖可知()A．甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)好于乙運(yùn)動(dòng)員B．乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)好于甲運(yùn)動(dòng)員C．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)沒有明顯的差異D．甲運(yùn)動(dòng)員的最低得分為0分解析：選A.由莖葉圖可以看出甲的成績(jī)都集中在30～50分，且高分較多．而乙的成績(jī)只有一個(gè)高分52分，其他成績(jī)比較低，故甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)好于乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)．4.為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽測(cè)了其中60株樹木的底部周長(zhǎng)(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的60株樹木中，有________株樹木的底部周長(zhǎng)小于100cm.40解析：60×＋×10＝24.莖葉圖估計(jì)平均數(shù)和方差例1為了快速了解某學(xué)校學(xué)生體重(單位：kg)的大致情況，隨機(jī)抽取了10名學(xué)生稱重，得到的數(shù)據(jù)整理成莖葉圖如圖所示．估計(jì)這個(gè)學(xué)校學(xué)生體重的平均數(shù)和方差.【解析】將樣本中的每一個(gè)數(shù)都減去50，可得－5，－1，－3，－1，－4，－4,1,8,9,10，這組數(shù)的平均數(shù)為eq\f(－5－1－3－1－4－4＋1＋8＋9＋10,10)＝1，方差為eq\f(62＋22＋42＋22＋52＋52＋02＋72＋82＋92,10)＝.因此可估計(jì)這個(gè)學(xué)校學(xué)生體重平均數(shù)為51，方差為.方法總結(jié)在日常生活中，當(dāng)面對(duì)一組數(shù)據(jù)時(shí)，相比每一個(gè)觀測(cè)值，有時(shí)我們更關(guān)心的是能反映這組數(shù)據(jù)特征的一些值，例如上述數(shù)據(jù)，我們可以從平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等角度進(jìn)行比較.當(dāng)堂練習(xí)1對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們每次的最大速度(m/s)如下：甲：27,38,30,37,35,31乙：33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰(shuí)的成績(jī)比較穩(wěn)定．解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝eq\f(1,6)×94≈，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝eq\f(1,6)×76≈.所以eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，這說(shuō)明甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員的最大速度的平均值相同，但乙的成績(jī)比甲的穩(wěn)定，故乙的成績(jī)比較穩(wěn)定．分層抽樣估計(jì)總體的數(shù)字特征例2.某高校欲了解在校學(xué)生用于課外進(jìn)修(如各種考證輔導(dǎo)班、外語(yǔ)輔導(dǎo)班等)的開支，在全校8000名學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣抽出了一個(gè)200人的樣本，根據(jù)學(xué)生科的統(tǒng)計(jì)，本科生人數(shù)為全校學(xué)生的70%，調(diào)查最近一個(gè)學(xué)期課外進(jìn)修支出(元)的結(jié)果如下：層樣本量樣本均值樣本方差本科140231研究60367試估計(jì)全校學(xué)生用于課外進(jìn)修的平均開支和開支的方差．解.把本科生樣本記為x1，x2，…，x140，其平均數(shù)記為eq\x\to(x)，方差記為seq\o\al(2,x)；把研究生記為y1，y2，…，y60，其平均數(shù)為eq\x\to(y)，方差記為seq\o\al(2,y)；把總體數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為eq\x\to(z)，方差記為s2.則eq\x\to(x)＝eq\f(1,140)，seq\o\al(2,x)＝eq\f(1,140)－；eq\x\to(y)＝eq\f(1,60)，seq\o\al(2,y)＝eq\f(1,60)－eq\x\to(y)2.所以,＝[140eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,x)＋\x\to(x)2))+60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,y)＋\o(y,\s\up6(－))2))]總樣本平均數(shù)為：eq\x\to(z)＝eq\f(140,200)×＋eq\f(60,200)×＝(元)總樣本方差為：s2＝－eq\o(z,\s\up6(－))2＝eq\f(1,200)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(140\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,x)＋\o(x,\s\up6(－))2))＋60\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,y)＋\o(y,\s\up6(－))2))))－eq\o(z,\s\up6(－))2.＝eq\f(1,200)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(140231＋＋60367＋))－＝1.由于分層隨機(jī)抽樣是按比例分配的，所以可以估計(jì)全校學(xué)生用于課外進(jìn)修的平均開支為元，開支的方差為1.方法總結(jié)假設(shè)第一層有個(gè)數(shù)，分別為，平均數(shù)為，方差為；第二層有個(gè)數(shù)，分別為，平均數(shù)為，方差為，則如果記樣本均值為，樣本方差為，則可以計(jì)算出當(dāng)堂練習(xí)2在一個(gè)文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)判小組，給參賽選手打分．在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，觀眾代表打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為和，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算這名選手得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差．解把專業(yè)人士打分樣本記為x1，x2，…，x8，其平均數(shù)記為eq\x\to(x)，方差記為seq\o\al(2,x)；把觀眾代表打分樣本記為y1，y2，…，y12，其平均數(shù)為eq\x\to(y)，方差記為seq\o\al(2,y)；把總體數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為eq\x\to(z)，方差記為s2.[則總樣本平均數(shù)為：eq\x\to(z)＝eq\f(8,20)×＋eq\f(12,20)×＝(分)，總樣本方差為：s2＝eq\f(1,20)[(xi－eq\x\to(z))2＋(yj－eq\x\to(z))2]＝eq\f(1,20)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(s\o\al(2,x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)－\x\to(z)))2))＋12[s\o\al(2,y)＋\x\to(y)－\x\to(z)2]))＝eq\f(1,20)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8[＋－2]＋12[＋－2]))＝，總樣本標(biāo)準(zhǔn)差s≈.所以計(jì)算這名選手得分的平均數(shù)為分，標(biāo)準(zhǔn)差約為.頻率分布直方圖總體的.估計(jì)數(shù)字特征例3.我們是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)家庭用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得了某年100個(gè)家庭的月均用水量（單位，t）,將數(shù)據(jù)按照分層5組，支撐了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的a的值；（2）設(shè)該市有10萬(wàn)個(gè)家庭，估計(jì)全市月均用水量不低于3t的家庭數(shù)；（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)全市家庭月均用水量的平均數(shù).解：（1）因?yàn)轭l率分布直方圖所有矩形的面積之和為1，所以 解得：（2）抽取的樣本中，月均用水量不低于3t的家庭所占比例為因此估計(jì)全市月均用水量不低于3t的家庭所占比例也為30%，所求家庭數(shù)位100000.（3）因?yàn)橐虼斯烙?jì)全市家庭月均用水量的平均數(shù)位.方法總結(jié)1．利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn)；(2)中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等；(3)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．2．利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一致，但它們能粗略估計(jì)其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．當(dāng)堂練習(xí)3某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)；(2)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)(3)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分．(4)試估計(jì)80分以上的學(xué)生人數(shù)．解(1)由圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75.(2)由圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個(gè)矩形面積之和為，第四個(gè)矩形面積為,＋＞，因此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi)，得＝(x－70)，所以x≈.(3)由圖知這次數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為：eq\f(40＋50,2)××10＋eq\f(50＋60,2)××10＋eq\f(60＋70,2)××10＋eq\f(70＋80,2)××10＋eq\f(80＋90,2)××10＋eq\f(90＋100,2)××10＝72.(4)[80,90)分的頻率為：×10＝，頻數(shù)為：×80＝20.[90,100]分的頻率為：×10＝，頻數(shù)為：×80＝4.所以估計(jì)80分以上的學(xué)生人