三角函數(shù)的應(yīng)用

人教A版（2019）數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)三角函數(shù)的應(yīng)用一、單選題1.在一幢20m高的樓頂，測(cè)得對(duì)面一塔吊頂?shù)难鼋菫椋母┙菫?，那么塔吊的高是?/p>

）A.

B.

C.

D.

2.如圖為一半徑為3m的水輪，水輪中心O距水面2m，已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y（m）與時(shí)間x（t）滿足函數(shù)關(guān)系y=Asin（ωx+φ）+2則（

）A.

ω=，A=5

B.

ω=，A=5

C.

ω=，A=3

D.

ω=，A=33.如圖，某地一天從6~14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)：，則中午12點(diǎn)時(shí)最接近的溫度為（

）A.

B.

C.

D.

4.水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個(gè)半徑為R的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)A（3，﹣3）出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)60秒．經(jīng)過(guò)t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），其縱坐標(biāo)滿足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜）．則下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A.

B.

當(dāng)t∈[35，55]時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6

C.

當(dāng)t∈[10，25]時(shí)，函數(shù)y=f（t）單調(diào)遞減

D.

當(dāng)t=20時(shí)，5.動(dòng)點(diǎn)A（x，y）在圓x2+y2=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，其初始位置為A0（，），12秒旋轉(zhuǎn)一周，則動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)解析式為（

）A.

B.

C.

D.

6.為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)秒針指向位置P（x，y），若初如位置為，秒針從P0（注：此時(shí)t=0）開(kāi)始沿順時(shí)針?lè)较蜃邉?dòng)，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為（）A.

B.

C.

D.

7.如圖，某大風(fēng)車的半徑為2m，每6s旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)O離地面m．風(fēng)車圓周上一點(diǎn)A從最低點(diǎn)O開(kāi)始，運(yùn)動(dòng)t（s）后與地面的距離為h（m），則函數(shù)h=f（t）的關(guān)系式（）A.

y=﹣2cos+

B.

y=﹣2sin+

C.

y=﹣2cos+

D.

y=﹣2sin+8.夏季來(lái)臨，人們注意避暑．如圖是成都市夏季某一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B，則成都市這一天中午12時(shí)天氣的溫度大約是（）A.

25°C

B.

26°C

C.

27°C

D.

28°C9.設(shè)y=f（x）是某港口水的深度y（米）關(guān)于時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)，其中0≤t≤24，下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系：t03691215182124y12經(jīng)長(zhǎng)期觀察，函數(shù)y=f（t）的圖象可以近似地看成函數(shù)y=k+Asin（ωt+φ）的圖象，下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是（t∈[0，24]）（）A.

B.

C.

D.

y=12+3sin二、填空題10.某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y=a+Acos[（x﹣6）]（x=1，2，3，…，12）來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高為28℃，12月份的月平均氣溫最低為18℃，則10月份的平均氣溫值為_(kāi)_______℃．11.某地一天6時(shí)至20時(shí)的溫度變化近似滿足函數(shù)y=10sin（）+20，（x∈[6，20]），其中x表示時(shí)間，y表示溫度，設(shè)溫度不低于20，某人可以進(jìn)行室外活動(dòng)，則此人在6時(shí)至20時(shí)中，可以進(jìn)行室外活動(dòng)的時(shí)間約為_(kāi)_______

小時(shí)．12.已知某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式f（t）=24sin160πt+110，其中f（t）為血壓（mmHg），t為時(shí)間（min），則此人每分鐘心跳次數(shù)為_(kāi)_______

13.國(guó)際油價(jià)在某一時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)出正弦波動(dòng)規(guī)律：P=Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，現(xiàn)采集到下列信息：最高油價(jià)80美元，當(dāng)t=150（天）時(shí)達(dá)到最低油價(jià)，則ω=________．14.某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)（x=1，2，3，…，12）來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的平均氣溫值為_(kāi)_______℃三、解答題15.某實(shí)驗(yàn)室白天的溫度（單位：）隨時(shí)間（單位：）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：，.（1）求實(shí)驗(yàn)室白天的最大溫差；（2）若要求實(shí)驗(yàn)室溫差不高于，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？16.如圖，一個(gè)水輪的半徑為,水輪圓心距離水面，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn))開(kāi)始計(jì)算時(shí)間。（1）將點(diǎn)距離水面的高度表示為時(shí)間的函數(shù)；（2）點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多少時(shí)間？

答案解析部分一、單選題1.答案：B解：由題意，AB=20米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米,再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=，AD=20∴塔高為DE+CD="20+20"=20（+1)故選B

【分析】本題考查已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是建立起符合條件的模型，然后再由三角形中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，解三角形的應(yīng)用一般是求距離（長(zhǎng)度問(wèn)題，高度問(wèn)題等)解題時(shí)要注意綜合利用所學(xué)的知識(shí)與題設(shè)中的條件，求解三角形的邊與角2.答案：D解：已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，∴ω=又∵半徑為3m，水輪中心O距水面2m，∴最高點(diǎn)為5，即A=3，故選D．【分析】根據(jù)題意，水輪旋轉(zhuǎn)一周所用的時(shí)間為一個(gè)周期，由周期公式，T=求解；A為最大振幅，由圖象知到最高點(diǎn)時(shí)即為A值．3.答案：B解：不妨令A(yù)＞0，B＞0，則由

得：A=10，B=20°C；又=14﹣6=8，∴T=16=，∴|ω|=，不妨取ω=．由圖可知，6×+φ=2kπ﹣（k∈Z），∴φ=2kπ﹣，不妨取φ=．∴曲線的近似解析式為：y=10sin（x+）+20，∴中午12點(diǎn)時(shí)最接近的溫度為：y=10sin（×12+）+20°C=10sin+20°C=20+10sin=5+20°C≈27°C．故答案為：B．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象求得函數(shù)的解析式，令，即可求解答案。4.答案：C解：由題意，R==6，T=60=，∴ω=，點(diǎn)A（3，﹣3）代入可得﹣3=6sinφ，∵|φ|＜），∴φ=﹣．故A正確；f（t）=6sin（t﹣），當(dāng)t∈[35，55]時(shí)，t﹣∈[π，]，∴點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6，正確；當(dāng)t∈[10，25]時(shí)，t﹣∈[π，]，函數(shù)y=f（t）單調(diào)遞減，不正確；當(dāng)t=20時(shí)，t﹣=，P的縱坐標(biāo)為6，|PA|==6，正確，故選C．【分析】求出函數(shù)的解析式，再分析選項(xiàng)，即可得出結(jié)論．5.答案：C解：設(shè)y關(guān)于t的函數(shù)：y=sin（ωt+θ）∵12秒旋轉(zhuǎn)一周，∴T==12，∴ω=，∵當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)A0（，），將該點(diǎn)代入，得到θ=，∴y=sin（t+），故選：C【分析】首先，設(shè)y關(guān)于t的函數(shù)：y=sin（ωt+θ），根據(jù)周期求出ω，再根據(jù)過(guò)點(diǎn)A求出φ，問(wèn)題得以解決6.答案：C解：∵秒針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴角速度ω＜0．又由每60秒轉(zhuǎn)一周，∴ω=﹣=﹣（弧度/秒），由P0（，），得cosφ=，sinφ=，解得φ=.故選：C．【分析】由秒針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每60秒轉(zhuǎn)一周，求出ω，由cosφ=，sinφ=．求出φ，由此能求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系．7.答案：C解：設(shè)h=f（t）=Asinωt+k或Acosωt+k，∵大風(fēng)車每6s旋轉(zhuǎn)一周，∴周期T=6，即T==6，解得ω==，排除A，B．則f（t）=Asint+k或Acost+k，∵大風(fēng)車的半徑為2m，它的最低點(diǎn)O離地面m，∴函數(shù)的最小值為，最大值為，則A+k=，﹣A+k=，解得A=2，k=，當(dāng)t=0時(shí)，f（0）=為最小值，若y=﹣2cos+，則當(dāng)t=0時(shí)，y=﹣2cos0+=﹣2=滿足條件．若y=﹣2sin+，則當(dāng)t=0時(shí)，y=﹣2sin0+=﹣0=不滿足條件．排除D，故選：C【分析】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立三角函數(shù)模型，求出函數(shù)的周期和最值分別進(jìn)行判斷即可．8.答案：C解：由題意以及函數(shù)的圖象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20∵，∴T=16∵T=，∴，∴y=10sin（x+φ）+20∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（14，30）∴30=10sin（×14+φ）+20∴sin（×14+φ）=1，∴φ可以取，∴y=10sin（x+）+20當(dāng)x=12時(shí)，y=10sin（×12+）+20=10×+20≈故選C．【分析】通過(guò)函數(shù)的圖象，求出A，B，求出函數(shù)的周期，推出ω，利用函數(shù)經(jīng)過(guò)（14，30）求出φ，得到函數(shù)的解析式，從而可求中午12時(shí)天氣的溫度．9.答案：C解：由于y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的圖象，根據(jù)港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系，可得函數(shù)的周期T=12可排除A、D，將（3，15）代入B，C，可排除B，則C滿足．故選C【分析】通過(guò)排除法進(jìn)行求解，由y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的圖象，故可以把已知數(shù)據(jù)代入y=k+Asin（ωx+φ）中，根據(jù)周期和函數(shù)值排除，即可求出答案．二、填空題10.答案：解：據(jù)題意得28=a+A，

=a﹣A

解得a=23，A=5

所以

令x=10得y=

=

故答案為：

【分析】根據(jù)題意列出方程組，求出a，A，求出年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)；將x=10代入求出10月份的平均氣溫值．11.答案：8解：由題意，10sin（）+20≥20

∴sin（）≥0

∴2kπ≤≤2kπ+π，∴16k﹣6≤x≤16k+2，

∵x∈[6，20]，∴10≤x≤18

∴此人在6時(shí)至20時(shí)中，可以進(jìn)行室外活動(dòng)的時(shí)間約為18﹣10=8小時(shí)

故答案為：8

【分析】利用溫度不低于20，建立不等式，結(jié)合x(chóng)的范圍，即可得到此人在6時(shí)至20時(shí)中，可以進(jìn)行室外活動(dòng)的時(shí)間．12.答案：80解：∵f（t）=24sin160πt+110，

∴T=，

∴此人每分鐘心跳次數(shù)為=80

故答案為：80．

【分析】頻率就是每分鐘心跳的次數(shù)．13.答案：解：因?yàn)閲?guó)際油價(jià)在某一時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)出正弦波動(dòng)規(guī)律：P=Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油價(jià)80美元，所以80=Asin（ωπt+）+60，因?yàn)閟in（ωπt+）≤1，所以A=20，

當(dāng)t=150（天）時(shí)達(dá)到最低油價(jià)，即sin（150ωπ+）=﹣1，

此時(shí)150ωπ+=2kπ﹣，k∈Z，

因?yàn)棣兀?，所以令k=1，150ωπ+=2π﹣，解得ω=．

故答案為：．

【分析】通過(guò)三角函數(shù)的最大值，利用最高油價(jià)80美元，求出A，通過(guò)當(dāng)t=150（天）時(shí)達(dá)到最低油價(jià)，求出ω．14.答案：16解：據(jù)題意得28=a+A，=a﹣A

解得a=20，A=8

所以

令x=10得y==16

故答案為：16

【分析】根據(jù)題意列出方程組，求出a，A，求出年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)；將x=10代入求出10月份的平均氣溫值．三、解答題15.答案：（1）解:已知，因?yàn)椋?，，所以在上取得最大值?2，取得最小值為9，故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為，最低溫度為，最大溫差為（2）解:依題意當(dāng)時(shí)，實(shí)驗(yàn)室需要降溫，即，，∴，，∴，，又∵，∴，即在10時(shí)到18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫【分析】（