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人教A版(2019)數(shù)學(xué)必修第一冊三角函數(shù)的應(yīng)用一、單選題1.在一幢20m高的樓頂,測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?,塔基的俯角為,那么塔吊的高是?/p>
)A.
B.
C.
D.
2.如圖為一半徑為3m的水輪,水輪中心O距水面2m,已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈,水輪上的點P到水面距離y(m)與時間x(t)滿足函數(shù)關(guān)系y=Asin(ωx+φ)+2則(
)A.
ω=,A=5
B.
ω=,A=5
C.
ω=,A=3
D.
ω=,A=33.如圖,某地一天從6~14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù):,則中午12點時最接近的溫度為(
)A.
B.
C.
D.
4.水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具,是人類的一項古老的發(fā)明,也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為R的水車,一個水斗從點A(3,﹣3)出發(fā),沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn),且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒.經(jīng)過t秒后,水斗旋轉(zhuǎn)到P點,設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),其縱坐標(biāo)滿足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<).則下列敘述錯誤的是(
)A.
B.
當(dāng)t∈[35,55]時,點P到x軸的距離的最大值為6
C.
當(dāng)t∈[10,25]時,函數(shù)y=f(t)單調(diào)遞減
D.
當(dāng)t=20時,5.動點A(x,y)在圓x2+y2=1上繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn),其初始位置為A0(,),12秒旋轉(zhuǎn)一周,則動點A的縱坐標(biāo)y關(guān)于時間t(單位:秒)的函數(shù)解析式為(
)A.
B.
C.
D.
6.為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系,建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)秒針指向位置P(x,y),若初如位置為,秒針從P0(注:此時t=0)開始沿順時針方向走動,則點P的縱坐標(biāo)y與時間t的函數(shù)關(guān)系為()A.
B.
C.
D.
7.如圖,某大風(fēng)車的半徑為2m,每6s旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點O離地面m.風(fēng)車圓周上一點A從最低點O開始,運動t(s)后與地面的距離為h(m),則函數(shù)h=f(t)的關(guān)系式()A.
y=﹣2cos+
B.
y=﹣2sin+
C.
y=﹣2cos+
D.
y=﹣2sin+8.夏季來臨,人們注意避暑.如圖是成都市夏季某一天從6時到14時的溫度變化曲線,若該曲線近似地滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B,則成都市這一天中午12時天氣的溫度大約是()A.
25°C
B.
26°C
C.
27°C
D.
28°C9.設(shè)y=f(x)是某港口水的深度y(米)關(guān)于時間t(時)的函數(shù),其中0≤t≤24,下表是該港口某一天從0時至24時記錄的時間t與水深y的關(guān)系:t03691215182124y12經(jīng)長期觀察,函數(shù)y=f(t)的圖象可以近似地看成函數(shù)y=k+Asin(ωt+φ)的圖象,下面的函數(shù)中,最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是(t∈[0,24])()A.
B.
C.
D.
y=12+3sin二、填空題10.某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y=a+Acos[(x﹣6)](x=1,2,3,…,12)來表示,已知6月份的月平均氣溫最高為28℃,12月份的月平均氣溫最低為18℃,則10月份的平均氣溫值為________℃.11.某地一天6時至20時的溫度變化近似滿足函數(shù)y=10sin()+20,(x∈[6,20]),其中x表示時間,y表示溫度,設(shè)溫度不低于20,某人可以進(jìn)行室外活動,則此人在6時至20時中,可以進(jìn)行室外活動的時間約為________
小時.12.已知某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式f(t)=24sin160πt+110,其中f(t)為血壓(mmHg),t為時間(min),則此人每分鐘心跳次數(shù)為________
13.國際油價在某一時間內(nèi)呈現(xiàn)出正弦波動規(guī)律:P=Asin(ωπt+)+60(美元)[t(天),A>0,ω>0],現(xiàn)采集到下列信息:最高油價80美元,當(dāng)t=150(天)時達(dá)到最低油價,則ω=________.14.某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)(x=1,2,3,…,12)來表示,已知6月份的月平均氣溫最高,為28℃,12月份的月平均氣溫最低,為18℃,則10月份的平均氣溫值為________℃三、解答題15.某實驗室白天的溫度(單位:)隨時間(單位:)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系:,.(1)求實驗室白天的最大溫差;(2)若要求實驗室溫差不高于,則在哪段時間實驗室需要降溫?16.如圖,一個水輪的半徑為,水輪圓心距離水面,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動圈,如果當(dāng)水輪上點從水中浮現(xiàn)時(圖中點)開始計算時間。(1)將點距離水面的高度表示為時間的函數(shù);(2)點第一次到達(dá)最高點大約需要多少時間?
答案解析部分一、單選題1.答案:B解:由題意,AB=20米,∠DAE=60°,∠DAC=45°,可知ABCD是正方形,有此易得CD=AD=20米,再由,∠DAE=60°,在直角三角形ADE中可求得DE=,AD=20∴塔高為DE+CD="20+20"=20(+1)故選B
【分析】本題考查已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題,解答本題的關(guān)鍵是建立起符合條件的模型,然后再由三角形中的相關(guān)知識進(jìn)行運算,解三角形的應(yīng)用一般是求距離(長度問題,高度問題等)解題時要注意綜合利用所學(xué)的知識與題設(shè)中的條件,求解三角形的邊與角2.答案:D解:已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈,∴ω=又∵半徑為3m,水輪中心O距水面2m,∴最高點為5,即A=3,故選D.【分析】根據(jù)題意,水輪旋轉(zhuǎn)一周所用的時間為一個周期,由周期公式,T=求解;A為最大振幅,由圖象知到最高點時即為A值.3.答案:B解:不妨令A(yù)>0,B>0,則由
得:A=10,B=20°C;又=14﹣6=8,∴T=16=,∴|ω|=,不妨取ω=.由圖可知,6×+φ=2kπ﹣(k∈Z),∴φ=2kπ﹣,不妨取φ=.∴曲線的近似解析式為:y=10sin(x+)+20,∴中午12點時最接近的溫度為:y=10sin(×12+)+20°C=10sin+20°C=20+10sin=5+20°C≈27°C.故答案為:B.【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象求得函數(shù)的解析式,令,即可求解答案。4.答案:C解:由題意,R==6,T=60=,∴ω=,點A(3,﹣3)代入可得﹣3=6sinφ,∵|φ|<),∴φ=﹣.故A正確;f(t)=6sin(t﹣),當(dāng)t∈[35,55]時,t﹣∈[π,],∴點P到x軸的距離的最大值為6,正確;當(dāng)t∈[10,25]時,t﹣∈[π,],函數(shù)y=f(t)單調(diào)遞減,不正確;當(dāng)t=20時,t﹣=,P的縱坐標(biāo)為6,|PA|==6,正確,故選C.【分析】求出函數(shù)的解析式,再分析選項,即可得出結(jié)論.5.答案:C解:設(shè)y關(guān)于t的函數(shù):y=sin(ωt+θ)∵12秒旋轉(zhuǎn)一周,∴T==12,∴ω=,∵當(dāng)t=0時,點A0(,),將該點代入,得到θ=,∴y=sin(t+),故選:C【分析】首先,設(shè)y關(guān)于t的函數(shù):y=sin(ωt+θ),根據(jù)周期求出ω,再根據(jù)過點A求出φ,問題得以解決6.答案:C解:∵秒針是順時針旋轉(zhuǎn),∴角速度ω<0.又由每60秒轉(zhuǎn)一周,∴ω=﹣=﹣(弧度/秒),由P0(,),得cosφ=,sinφ=,解得φ=.故選:C.【分析】由秒針是順時針旋轉(zhuǎn),每60秒轉(zhuǎn)一周,求出ω,由cosφ=,sinφ=.求出φ,由此能求出點P的縱坐標(biāo)y與時間t的函數(shù)關(guān)系.7.答案:C解:設(shè)h=f(t)=Asinωt+k或Acosωt+k,∵大風(fēng)車每6s旋轉(zhuǎn)一周,∴周期T=6,即T==6,解得ω==,排除A,B.則f(t)=Asint+k或Acost+k,∵大風(fēng)車的半徑為2m,它的最低點O離地面m,∴函數(shù)的最小值為,最大值為,則A+k=,﹣A+k=,解得A=2,k=,當(dāng)t=0時,f(0)=為最小值,若y=﹣2cos+,則當(dāng)t=0時,y=﹣2cos0+=﹣2=滿足條件.若y=﹣2sin+,則當(dāng)t=0時,y=﹣2sin0+=﹣0=不滿足條件.排除D,故選:C【分析】根據(jù)實際問題建立三角函數(shù)模型,求出函數(shù)的周期和最值分別進(jìn)行判斷即可.8.答案:C解:由題意以及函數(shù)的圖象可知,A+B=30,﹣A+B=10,所以A=10,B=20∵,∴T=16∵T=,∴,∴y=10sin(x+φ)+20∵圖象經(jīng)過點(14,30)∴30=10sin(×14+φ)+20∴sin(×14+φ)=1,∴φ可以取,∴y=10sin(x+)+20當(dāng)x=12時,y=10sin(×12+)+20=10×+20≈故選C.【分析】通過函數(shù)的圖象,求出A,B,求出函數(shù)的周期,推出ω,利用函數(shù)經(jīng)過(14,30)求出φ,得到函數(shù)的解析式,從而可求中午12時天氣的溫度.9.答案:C解:由于y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的圖象,根據(jù)港口某一天從0時至24時記錄的時間t與水深y的關(guān)系,可得函數(shù)的周期T=12可排除A、D,將(3,15)代入B,C,可排除B,則C滿足.故選C【分析】通過排除法進(jìn)行求解,由y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的圖象,故可以把已知數(shù)據(jù)代入y=k+Asin(ωx+φ)中,根據(jù)周期和函數(shù)值排除,即可求出答案.二、填空題10.答案:解:據(jù)題意得28=a+A,
=a﹣A
解得a=23,A=5
所以
令x=10得y=
=
故答案為:
【分析】根據(jù)題意列出方程組,求出a,A,求出年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù);將x=10代入求出10月份的平均氣溫值.11.答案:8解:由題意,10sin()+20≥20
∴sin()≥0
∴2kπ≤≤2kπ+π,∴16k﹣6≤x≤16k+2,
∵x∈[6,20],∴10≤x≤18
∴此人在6時至20時中,可以進(jìn)行室外活動的時間約為18﹣10=8小時
故答案為:8
【分析】利用溫度不低于20,建立不等式,結(jié)合x的范圍,即可得到此人在6時至20時中,可以進(jìn)行室外活動的時間.12.答案:80解:∵f(t)=24sin160πt+110,
∴T=,
∴此人每分鐘心跳次數(shù)為=80
故答案為:80.
【分析】頻率就是每分鐘心跳的次數(shù).13.答案:解:因為國際油價在某一時間內(nèi)呈現(xiàn)出正弦波動規(guī)律:P=Asin(ωπt+)+60(美元)[t(天),A>0,ω>0],最高油價80美元,所以80=Asin(ωπt+)+60,因為sin(ωπt+)≤1,所以A=20,
當(dāng)t=150(天)時達(dá)到最低油價,即sin(150ωπ+)=﹣1,
此時150ωπ+=2kπ﹣,k∈Z,
因為ω>0,所以令k=1,150ωπ+=2π﹣,解得ω=.
故答案為:.
【分析】通過三角函數(shù)的最大值,利用最高油價80美元,求出A,通過當(dāng)t=150(天)時達(dá)到最低油價,求出ω.14.答案:16解:據(jù)題意得28=a+A,=a﹣A
解得a=20,A=8
所以
令x=10得y==16
故答案為:16
【分析】根據(jù)題意列出方程組,求出a,A,求出年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù);將x=10代入求出10月份的平均氣溫值.三、解答題15.答案:(1)解:已知,因為,所以,,所以在上取得最大值為12,取得最小值為9,故實驗室這一天最高溫度為,最低溫度為,最大溫差為(2)解:依題意當(dāng)時,實驗室需要降溫,即,,∴,,∴,,又∵,∴,即在10時到18時實驗室需要降溫【分析】(
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