中考數(shù)學二輪復習- 反比例函數(shù)綜合 講案

23/23反比例函數(shù)綜合【教學目標】學習內(nèi)容目標層級是否掌握反比例函數(shù)面積倍分★★★★☆☆反比例函數(shù)最值★★★★★☆反比例函數(shù)中一線三垂直的應用★★★★★☆反比例函數(shù)動點圖形存在性問★★★★★☆反比例函數(shù)線段比值★★★★★☆反比例函數(shù)與角★★★★★☆反比例函數(shù)面積倍分學習內(nèi)容目標層級是否掌握反比例函數(shù)面積倍分★★★★☆☆【知識點】此類型題，通常根據(jù)已知圖形面積將面積倍分問題可轉(zhuǎn)化成面積定值問題從而解決圖形面積倍分問題【例題講解】★★☆例題1．如圖，經(jīng)過點的直線與雙曲線交于點，過點，作軸的平行線分別交雙曲線和于點、．（1），直線的表達式；（2）若點的縱坐標為4，求證：；（3）是否存在實數(shù)，使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．★★☆練習1．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點和，與軸交于點．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）求當時，的取值范圍；（3）過點作軸于點，點是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點．設直線與線段交于點，當時，求點的坐標．★★★練習2．如圖，已知直線經(jīng)過點，與雙曲線交于點．過點，作軸的平行線分別交雙曲線和于點、．（1）求的值和直線的解析式；（2）若點在直線上，求證：；（3）是否存在實數(shù)，使得？若存在，請求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．【題型知識點總結(jié)】_____________________________________________________________二、反比例函數(shù)最值學習內(nèi)容目標層級是否掌握反比例函數(shù)最值★★★★★☆【知識點】（1）最短路線問題在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．若兩定點在直線異側(cè)，直接連接兩點，與動點所在直線交點即為所求點。當求解線段差（絕對值）最大值時，兩定點在同側(cè)時，直接連接，延長與動點所在直線交點即為所求點，若不在同側(cè)，通過對稱，轉(zhuǎn)化成同側(cè)，延長與動點所在直線交點即為所求點。（2）其他面積最值得類型可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題求解：確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．【例題講解】★★★例題1．如圖，矩形的頂點、分別在軸、軸上，，直線的解析式為，雙曲線經(jīng)過點，與邊相交于點．（1）填空：；（2）連接、，試求的面積；（3）在軸上有兩點、，其中點可以使的值最小，而點可以使的值最大，請直接寫出、兩點的坐標以及線段的長．★★★練習1．如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與軸相交于點．（1）求的值和的值以及點的坐標；（2）觀察反比例函數(shù)的圖象，當時，請直接寫出自變量的取值范圍；（3）以為邊作菱形，使點在軸正半軸上，點在第一象限，求點的坐標；（4）在軸上是否存在點，使的值最??？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．★★★例題2．【閱讀理解】對于任意正實數(shù)、，，，只有當時，等號成立．【數(shù)學認識】在、均為正實數(shù)）中，若為定值，則，只有當時，有最小值．【解決問題】若時，當時，有最小值為；（2）如圖，已知點在反比例函數(shù)的圖象上，點在反比例函數(shù)的圖象上，軸，過點作軸于點，過點作軸于點．求四邊形周長的最小值．★★★練習1．如圖，正方形在平面直角坐標系中，點為原點，點在反比例函數(shù)圖象上，的面積為8．（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）若動點從開始沿向以每秒1個單位的速度運動，同時動點從開始沿向以每秒2個單位的速度運動，當其中一個動點到達端點時，另一個動點隨之停止運動．若運動時間用表示，的面積用表示，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出當運動時間取何值時，的面積最大？（3）當運動時間為秒時，在坐標軸上是否存在點，使的周長最??？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．★★★例題3．如圖，平面直角坐標系中，為原點，點、分別在軸、軸的正半軸上．的兩條外角平分線交于點，在反比例函數(shù)的圖象上．的延長線交軸于點，的延長線交軸于點，連接．（1）求的度數(shù)及點的坐標；（2）求的面積；（3）的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請說明理由．★★★練習1．如圖1，已知直線與軸交于點，與軸交于點，將直線在軸下方的部分沿軸翻折，得到一個新函數(shù)的圖象（圖中的“形折線”．（1）類比研究函數(shù)圖象的方法，請列舉新函數(shù)的兩條性質(zhì)，并求新函數(shù)的解析式；（2）如圖2，雙曲線與新函數(shù)的圖象交于點，點是線段上一動點（不包括端點），過點作軸的平行線，與新函數(shù)圖象交于另一點，與雙曲線交于點．①試求的面積的最大值；②探索：在點運動的過程中，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時點的坐標；若不能，請說明理由．★★★練習2．如圖1，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，射線與反比例函數(shù)圖象交于另一點，射線與軸交于點，，軸，垂足為．（1）求的值；（2）求的值及直線的解析式；（3）如圖2，是線段上方反比例函數(shù)圖象上一動點，過作直線軸，與相交于點，連接，求面積的最大值．【題型知識點總結(jié)】_____________________________________________________________三、反比例函數(shù)中一線三垂直的運用學習內(nèi)容目標層級是否掌握反比例函數(shù)中一線三垂直的運用★★★★★☆【知識點】一線三垂直基本模型：【例題講解】★★★例題1．如圖，直線與雙曲線交于、兩點，點為第三象限內(nèi)一點．（1）若點的坐標為，求的值；（2）當，且，時，求點的坐標；（3）當為等邊三角形時，點的坐標為，試求、之間的關(guān)系式．★★★練習1．如圖，在平面直角坐標系中，是雙曲線在第一象限的分支上的一個動點，連接并延長與這個雙曲線的另一分支交于點，以為底邊作等腰直角三角形，使得點位于第四象限．（1）點與原點的最短距離是；（2）設點的坐標為，，點在運動的過程中，隨的變化而變化，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．★★★練習2．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為正方形，已知點，，點、在第二象限內(nèi)．（1）求點的坐標．（2）將正方形以每秒1個單位的速度沿軸向右平移秒，若存在某一時刻，使在第一象限內(nèi)點、兩點的對應點、正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請求出此時的值以及這個反比例函數(shù)的解析式；（3）在（2）的情況下，問是否存在軸上的點和反比例函數(shù)圖象上的點，使得以、、、四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點、的坐標；若不存在，請說明理由．【題型知識點總結(jié)】_____________________________________________________________四、反比例函數(shù)動點圖形存在性問學習內(nèi)容目標層級是否掌握反比例函數(shù)動點圖形存在性問★★★★★☆【知識點】等腰直角三角形存在性問題可結(jié)合一線三垂直的基本模型直接求解；動點產(chǎn)生的相似可依據(jù)相似三角形的判定（多數(shù)利用兩邊對應成比例且夾角相等判定）具體求解；動點產(chǎn)生的菱形可以結(jié)合菱形的判定或是找等腰三角形的方法求解；【例題講解】★★★例題1．如圖，邊長為3的正方形的頂點與原點重合，點，在軸，軸上．反比例函數(shù)的圖象交，于點，，連接，，，．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）過點作軸的平行線，點在直線上運動，點在軸上運動；①若是以為直角頂點的等腰直角三角形，求的面積；②將“①”中的“以為直角頂點的”去掉，將問題改為“若是等腰直角三角形”，的面積除了“①”中求得的結(jié)果外，還可以是．（直接寫答案，不用寫步驟）★★★練習1．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點．將線段先向右平移1個單位長度、再向上平移個單位長度，得到對應線段，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過、兩點，連接、．（1）求和的值；（2）求反比例函數(shù)的表達式及四邊形的面積；（3）點在軸正半軸上，點是反比例函數(shù)的圖象上的一個點，若是以為直角邊的等腰直角三角形時，求所有滿足條件的點的坐標．★★☆例題2.如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象的一個交點為．過點作的垂線，與反比例函數(shù)的圖象交于點．（1）求和的值；（2）若直線、分別交軸于點、，試問在軸上是否存在一個點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．★★★練習1.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于、兩點．（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式；（2）根據(jù)圖象寫出使該一次函數(shù)的值小于該反比例函數(shù)的值的的取值范圍；（3）過點作垂直于軸垂足為，連接，在軸是否存在一點（不與點重合），使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，直接寫出點的坐標；不存在，說明理由．★★☆例題3．如圖，平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖象相交于點，與軸的負半軸交于點，與軸的負半軸交于點．（1）求的度數(shù)；（2）若軸上一點的縱坐標是4，且，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，若點在軸上，點是平面直角坐標系中的一點，當以點、、、為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點的坐標．★★☆練習1．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象交于點，過點，作軸于點，且（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）反比例函數(shù)圖象上是否存在點，使四邊形為菱形？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由．【題型知識點總結(jié)】_____________________________________________________________五、反比例函數(shù)線段比值學習內(nèi)容目標層級是否掌握反比例函數(shù)線段比值★★★★★☆【知識點】可通過比值等數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化三角函數(shù)關(guān)系或相似從而求解；【例題講解】★★☆例題1．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點和．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）請直接寫出時，的取值范圍；（3）過點作軸，于點，點是直線上一點，若，求點的坐標．★★☆練習1．如圖1，的邊在軸的正半軸上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的．（1）求點的坐標和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）如圖2，直線分別與軸、軸的正半軸交于，兩點，若點和點關(guān)于直線成軸對稱，求線段的長；（3）如圖3，將線段延長交的圖象于點，過，的直線分別交軸、軸于，兩點，請?zhí)骄烤€段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【題型知識點總結(jié)】_____________________________________________________________六、反比例函數(shù)與角學習內(nèi)容目標層級是否掌握反比例函數(shù)與角★★★★★☆【知識點】直接利用三角函數(shù)或與一線三垂直模型結(jié)合構(gòu)建相似求解【例題講解】★★☆例題1．如圖，已知點在反比例函數(shù)的圖象上，過點作軸的平行線交軸于點，過點的直線與軸于點，且，．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）連接，試判斷線段與線段的關(guān)系，并說明理由；（3）點為軸上點左側(cè)的一點，且，連接交直線于點，求的值．★★☆練習1．如圖，點和點是反比例函數(shù)圖象上的兩點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸交于點，與軸交于點，過點作軸，垂足為，連接，．已知與的面積滿足．（1），；（2）已知點在線段上，當時，求點的坐標．【題型知識點總結(jié)】_____________________________________________________________【課后練習】★★☆1．在平面直角坐標系中（如圖），點為直線和雙曲線的一個交點．（1）求、的值；（2）若點，在直線上有一點，使得，請求出點的坐標；（3）在雙曲線上是否存在點，使得，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．★★★2．如圖，矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上，點在反比例函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖象上，，，動點在軸的上方，且滿足．（1）若點在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點的坐標；（2）連接、，求的最小值；（3）若點是平面內(nèi)一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，則請你直接寫出滿足條件的所有點的坐標．★★★3．如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，且為雙曲線上的一點，為坐標平面上一動點，垂直于軸，垂直于軸，垂足分別是、．（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當點在直線上運動時，直線上是否存在這樣的點，使得與面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，當點在第一象限中的雙曲線上運動時，作以、為鄰邊的平行四邊形，求平行四邊形周長的最小值．★★☆4．如圖，在平面直角坐標系中，直線為常數(shù)）與反比例函數(shù)交于點，與軸交于點，與軸交于點，且．（1）如圖①，若點的坐標為時，求點的坐標及直線的解析式；（2）如圖①，若，求點的坐標；（3）在（2）的條件下中，如圖②，△是等腰直角三角形，點在反比例函數(shù)的圖象上，斜邊都在軸上，求點的坐標．★★☆5．如圖，反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊相交于，兩點，連接，，且點．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求的面積；（3）在軸上是否存在一點，使以點，，為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【拔高練習】★★★1．【閱讀理解】對于任意正實數(shù)、，，，，（