【名師導學】高考數學一輪總復習 7.46 類和分步計數原理與排列、組合的基本問題課件 理

第七章計數原理、概率與統(tǒng)計第46講分類和分步計數原理與排列、組合的基本問題【學習目標】1．理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理；會用分類加法計數原理或分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題．2．理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式；能解決簡單的實際問題．【基礎檢測】1．現有4名同學去聽同時進行的3個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法有()

A．81種B．64種C．48種D．24種A【解析】每個同學都有3種選擇，所以不同選法共有34＝81(種)，故選A.2．如圖所示為一電路圖，從A到B不同的線路可通電共有()A．4條B．6條C．8條D．10條C【解析】∵按上、中、下三條線路可分為三類：上線路中有3條，中線路中有1條，下線路中有2×2＝4條，根據分類加法計數原理，共有3＋1＋4＝8(條)．故選C.3．若從1，2，3，…，9這9個數中同時取4個不同的數，其和為奇數，則不同的取法共有()A．66種B．63種C．61種D．60種D【解析】從1，2，3，…，9這9個數中同時取4個不同的數，其和為奇數的取法分為兩類：第一類取1個奇數，3個偶數，共有C51C43＝20種取法；第二類是取3個奇數，1個偶數，共有C53C41＝40種取法．故不同的取法共有60種，選D.4．有5名男生和3名女生，從中選出5人分別擔任語文、數學、英語、物理、化學學科的課代表，若某女生必須擔任語文課代表，則不同的選法共有____種．(用數字作答)840【解析】由題意知，從剩余7人中選出4人擔任4個學科課代表，共有A74＝840種．①②③④

【知識要點】1．分類加法計數原理完成一件事件有n____不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N＝

種不同的方法．類m1＋m2＋m3＋…＋mn2．分步乘法法計數原理理完成一件事事情需要分分成n個不同的，完成第一一步有m1種不同的方方法，完成成第二步有有m2種不同的方方法，…，完成第n步有mn種不同的方方法，那么么完成這件件事情共有有N＝種不同的方方法．步驟m1·m2·…·mn3．分類加法法計數原理理與分步乘乘法計數原原理的區(qū)別別與聯系分類加法計計數原理與與分步乘法法計數原理理，都涉及及的不同方法法的種數，，它們的區(qū)區(qū)別在于：：分類加法法計數原理理與有關，各種種方法，用其中的的任一種方方法都可以以完成這件件事；分步步乘法計數數原理與有關，各個個步驟_，只有各個個步驟都完完成了，這這件事才算算完成．完成一件事事情分類相互獨立分步相互依存4．排列(1)排列的定義義：從n個不同的元元素中任取取m(m≤n)個元素，，叫做從n個不同的元元素中取出出m個元素的一一個排列．．(2)排列數的定定義：從n個不同的元元素中任取取m(m≤n)個元素的的個數，叫叫做從n個不同的元元素中取出出m個元素的排排列數，用用符號Anm表示．(3)排列數公式式：Anm＝，這里n，m∈N*，并且m≤n.按照一定的的順序排成成一列所有排列n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)一個排列n！1并成一組所有組合1Cnn－mCnmCnm－151228【點評】理解排列數數和組合數數的意義，，靈活應用用組合數的的性質是解解決有關排排列數和組組合數方程程或恒等式式問題的關關鍵．C【解析】可分三步：：第一步，，填A、B方格的數字字，填入A方格的數字字大于B方格中的數數字有6種方式(若方格A填入2，則方格B只能填入1；若方格A填入3，則方格B只能填入1或2；若方格A填入4，則方格B只能填入1或2或3)；第二步，，填方格C的數字，有有4種不同的填填法；第三三步，填方方格D的數字，有有4種不同的填填法．由分分步計數原原理得，不不同的填法法總數為6×4×4＝96.(2)某出版社的的7名工人中，，有3人只會排版版，2人只會印刷刷，還有2人既會排版版又會印刷刷，現從7人中安排2人排版，2人印刷，有有幾種不同同的安排方方法．【解析】第一類：既既會排版又又會印刷的的2人全不被選選出，即從從只會排版版的3人中選2人，有3種選法；只只會印刷的的2人全被選出出，有1種選法，由由分步計數數原理知共共有3×1＝3種選法．第二類：既既會排版又又會印刷的的2人中被選出出1人，有2種選法．若若此人去排排版，則再再從會排版版的3人中選1人，有3種選法，只只會印刷的的2人全被選出出，有1種選法，由由分步計數數原理知共共有2×3×1＝6種選選法法；；若若此此人人去去印印刷刷，，則則再再從從會會印印刷刷的的2人中中選選1人，，有有2種選選法法，，從從會會排排版版的的3人中中選選2人，，有有3種選選法法，，由由分分步步計計數數原原理理知知共共有有2×3×2＝12種選選法法；；再再由由分分類類計計數數原原理理知知共共有有6＋12＝18種選選法法．．第三三類類：：既既會會排排版版又又會會印印刷刷的的2人全全被被選選出出，，同同理理共共有有16種選選法法．．所以以共共有有3＋18＋16＝37種選選法法．．【點評評】應用用分分類類加加法法原原理理的的題題時時，，分分類類標標準準要要明明確確，，分分類類時時應應不不重重不不漏漏，，應應用用分分步步計計數數原原理理解解題題時時，，要要合合理理分分步步，，各各步步互互不不干干擾擾，，難難度度較較大大．．【解析析】(1)只需需一一名名隊隊長長參參加加有有C21C84＝140(種)．(2)隊長長至至少少有有一一人人參參加加，，有有兩兩種種情情況況：：①只有有一一名名隊隊長長參參加加有有C21C84種；；②兩名名隊隊長長都都參參加加有有C22C83種，，所以以共共有有C21C84＋C22C83＝196(種)．(3)解法法一一：：可分分類類考考慮慮，，即即①1男4女；；②2男3女；；③3男2女；；④4男1女，，故故有有：：C41C64＋C42C63＋C43C62＋C44C61＝246(種)．解法法二二：：間接接法法，，10人中中取取5人的的組組合合為為C105，其其中中全全部部是是女女演演員員的的有有C65，所所以以符符合合題題意意的的有有C105－C65＝252－6＝246(種)．【點評】問題實實質是是具備備“無序性性”的組合合問題題．此此類問問題應應用組組合知知識求求解．．【解析】(1)利用元元素分分析法法，甲甲為特特殊元元素，，故先先安排排甲．．左、、右、、中共共三個個位置置可供供甲選選擇，，有A31種，其其余6人全排排列，，有A66種，由由乘法法原理理得A31A66＝2160種．(2)位置分分析法法，先先排最最左邊邊，除除去甲甲外，，有A61種，余余下的的6個位置置全排排有A66種，但但應剔剔除乙乙在最最右邊邊的排排法數數A51A55種，則則符合合條件件的排排法共共有A61A66－A51A55＝3720種．(3)捆綁法法：將將男生生看成成一個個整體體，進進行全全排列列，再再與其其他元元素進進行全全排列列．共共有A33A55＝720種．(4)插空法法：先先排好好男生生，然然后將將女生生插入入其中中的四四個空空位，，共有有A33A44＝144種．(5)插空法法：先先排女女生，，然后后在空空位中中插入入男生生，共共有A44A53＝1440種．【點評】問題實實質是是具備備“有序性性”的排列列問題題．有有序性性的檢檢驗方方法是是：將將其中中元素素互換換而結結果變變化為為有序序問題題，此此類問問題應應用排排列知知識求求解．．B【解析】分0個相同同，1個相同同，2個相同同進行行討論論：若若0個相同同，共共有1個，若若1個相同同，共共有C41＝4個，若若2個相同同，共共有C42＝6個，因因此共共有1＋4＋6＝11個，故故選B.【點評】本小題題主要要考查查分類類計數數原理理及分分類討討論思思想．．1．計數數重復復或遺遺漏的的原因因在于于分類類、分分步的的標準準不清清，一一般來來說，，應檢檢查分分類是是否是是按元元素的的性質質進行行，分分步是是否是是按事事件發(fā)發(fā)生的的過程程進行行．2．排列列與組組合的的定義義相近近，它它們的的區(qū)別別在于于是否否與順順序有有關．．處理理排列列組合合問題題的一一般思思想是是先選選元素素(組合)，后排排列，，按元元素的的性質質“分類”和按事事件發(fā)發(fā)生的的連續(xù)續(xù)過程程“分步”，始終終是處處理排排列組組合問問題的的基本本方法法和原原理，，要注注意積積累分分類與與分步步的基基本技技能．．3．分清清問題題與元元素順順序有有關還還是無無關，，是區(qū)區(qū)分排排列組組合問問題的的原則則；搞搞清解解決問問題的的方法法需分分步還還是需需分類類，是是統(tǒng)計計排列列與組組合問問題總總數的的依據據．1．(2013福建)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關關于x的方程程ax2＋2x＋b＝0有實數數解的的有序序數對對(a，b)的個數數為()A．14B．13C．12D．10B【命題立立意】本題考考查分分類加加法計計數原原理，，屬中中檔題題．2．(2013四川)從1，3，5，7，9這五個個數中中，每每次取取出兩兩個不不同的的數分分別為為a，b，共可可得到到lga－lgb的不同同值的的個數數是()A．9B．10C．18D．20C【解析】從1，3，5，7，9中，每每次取取出兩兩個不不同的的數作作為a，b可以得得到不不同的的差式式lga－lgb共計A52＝20個，但但其中中l(wèi)g9－lg3＝lg3－lg1，lg3－lg9＝lg1－lg3，故不不同的的值只只有18個．【命題立立意】本題考考查排排列知知識，，考查查思維維的全全面性性，屬屬中檔檔題．．1．有四四名同同學同同時參參加了了學校校的100m，800m，1500m三項跑跑步比比賽，，則獲獲得冠冠軍(無并列列名次次)的可能能性有有()A．43種B．34種C．12種D．24種A【解析】第一步步，100m冠軍有有4種可能能；第第二步步，800m冠軍也也有4種可能能；第第三步步，1500m冠軍有有4種可能能，根根據分分步計計數原原理，，共有有4×4×4＝43種可能能．故故選A.2．從6名志愿愿者中中選出出4名分別別從事事翻譯譯、導導游、、導購購、保保潔四四項不不同的的工作作，則則不同同的選選派方方案有有()A．180種B．360種C．15種D．30種B【解析】A64＝6×5×4×3＝360.3．某校校開設設A類選修修課3門，B類選修修課4門，一一位同同學從從中共共選3門，若若要求求兩類類課程程中各各至少少選一一門，，則不不同選選法共共有()A．30種B．35種C．42種D．48種A【解析】從7門課程程中選選3門的總總數為為C73＝35種，其其中不不滿足足條件件的選選法數數為C33＋C43＝5種，所所以滿滿足題題目條條件的的選法法數為為35－5＝30種，故故選A.4．將字字母a，a，b，b，c，c排成三三行兩兩列，，要求求每行行的字字母互互不相相同，，每列列的字字母也也互不不相同同，則則不同同的排排列方方法共共有()A．12種B．18種C．24種D．36種A【解析】利用分分步乘乘法計計數原原理求求解．．先排第第一列列，因因為每每列的的字母母互不不相同同，因因此共共有A33種不同同的排排法．．再排第第二列列，其其中第第二列列第一一行的的字母母共有有A21種不同同的排排法，，第二二列第第二、、三行行的字字母只只有1種排法法．因此共共有A33·A21·1＝12(種)不同的的排列列方法法．5．兩人人進行行乒乓乓球比比賽，，先贏贏3局者獲獲勝，，決出出勝負負為止止，則則所有有可能能出現現的情情形(各人輸贏贏局次的的不同視視為不同同情形)共有()A．10種B．15種C．20種D．30種C【解析】利用分類類討論法法求解．．由題意知知比賽場場數至少少為3場，至多多為5場．當為3場時，情情況為甲甲或乙連連贏3場，共2種．當為4場時，若若甲贏，，則前3場中甲贏贏2場，最后后一場甲甲贏，共共有C32＝3種情況；；同理，，若乙贏贏也有3種情況．．共有6種情況．．當為5場時，前前4場甲、乙乙各贏2場，最后后1場勝出的的人贏，，共有2C42＝12種情況．．由上綜合合知，共共有20種情況．．6．在某跳跳水運動動員的一一項跳水水實驗中中，先后后要完成成5個不同的的動作，，其中動動作P只能出現現在第一一步或最最后一步步，動作作Q和R必須相鄰鄰，則動動作順序序的編排排方法共共有____種．24【解析】P動作的排排法有A21種，捆綁綁動作R，Q的排法有有A22種，R，Q與余下兩兩個動作作有A33種排法，，故共有有編排方方法N＝A21A22A33＝24種．7．2名男生和和3名女生共共5名同學站站成一排排，若男男生甲不不站兩端端，3名女生中中有且只只有兩名名女生相相鄰，則則不同排排法的種種數是____．48【解析】從3名女生中中任取2人“捆”在一起記記作A(A共有C32A22＝6種不同排排法)，剩下一一名女生生記作B，兩名男男生分別別記作甲甲、乙．．為使男男生