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文檔簡介
第五章
大數(shù)定律及中心極限定理§5.1大數(shù)定律§5.2中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科.隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現(xiàn)出來.也就是說,要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則,應該研究大量隨機現(xiàn)象.第五章大數(shù)定律及中心極限定理
研究大量的隨機現(xiàn)象,常常采用極限形式,由此導致對極限定理進行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛,其中最重要的有兩種:與大數(shù)定律中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律
§5.1大數(shù)定律則稱隨機變量序列Y1,Y2,…,Yn
,...依概率收斂于a
,記為:若對任意正數(shù),有定義1
設Y1,Y2…,Yn
,...為一隨機變量序列,a是常數(shù),例如:意思是:當a而意思是:時,Xn落在內(nèi)的概率越來越大.,當定理1
(切比雪夫定理的特殊情況)設隨機變量序
列X1,X2,…,Xn,...相互獨立,且具有相同的數(shù)學期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,...),則對任意此定理表明:相互獨立具有相同期望和方差的隨機變量X1,X2,…,Xn的算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學期望值.即的>0,有提示:利用切比雪夫不等式證.證由切比雪夫不等式即關于定理1的說明:(這個接近是概率意義下的接近)即在定理條件下,n個隨機變量的算術(shù)平均,當n無限增加時,幾乎變成一個常數(shù).定理2
(伯努利大數(shù)定律)設nA是n次獨立重復試驗中A發(fā)生的次數(shù).p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率,則對任意>0,有證:因而E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p),(k=1,2,...),由定理1,因為有即即:事件A發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率p.這個定理以嚴格的數(shù)學形式表達了頻率的穩(wěn)定性.此定理表明:
伯努利大數(shù)定律就是頻率穩(wěn)定性的理論依據(jù).因而在實際應用中,當試驗次數(shù)很大時,往往用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率.定理3(辛欽定理)設隨機變量序列X1,X2,…,Xn,...相互獨立且同分布,數(shù)學期望:E(Xk)=,則對任意正數(shù),有
伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況.[注](證明略)
在客觀實際中有許多隨機變量,它們是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的,而其中每一個別因素在總的影響中起到的作用都是微小的.這種隨機變量往往近似的服從正態(tài)分布.這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景.
本節(jié)只介紹三個常用的中心極限定理.§5.2中心極限定理實例:考察射擊命中點與靶心距離的偏差.
這種偏差是大量微小的偶然因素造成的微小誤差的總和,這些因素包括:瞄準誤差、測量誤差、子彈制造過程方面(如外形、重量等)的誤差以及射擊時武器的振動、氣象因素(如風速、風向、能見度、溫度等)的作用,所有這些不同因素所引起的微小誤差是相互獨立的,并且它們中每一個對總和產(chǎn)生的影響不大.問題:
某個隨機變量是由大量相互獨立且均勻小的隨機變量相加而成的,研究其概率分布情況.定理1
設隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立,服從同一分布,且E(Xk)=,D(Xk)=20(k=1,2,...),則定理表明,當n充分大時,Yn近似服從標準正態(tài)分布.的分布函數(shù)Fn(x)滿足:對任意實數(shù)x,有(證明略)獨立同分布的中心極限定理例1
一盒同型號螺絲釘共100個,已知該型號的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機變量,期望值是100g,標準差是10g,求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2kg的概率.解:設Xi
為第i個螺絲釘?shù)闹亓?i=1,2,…,100,且相互獨立,于是,一盒螺絲釘?shù)闹亓繛榍矣芍行臉O限定理定理2(李雅普諾夫定理)設隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立,且具有數(shù)學期望和方差:E(Xk)=k,D(Xk)=2k0(k=1,2,...),
此定理表明,當n充分大時,Zn的分布近似于標準正態(tài)分布.記,若存在>0,使得則隨機變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意x,有(證明略)證由§4.2例知,n可以看成n個相互獨立的服從同一(0-1)分布的隨機變量X1,...,Xn之和,即定理3(德莫佛-拉普拉斯定理)設隨機變量n(n=1,2,…)服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項分布,則對任意x,恒有此定理表明,正態(tài)分布是二項分布的極限分布,所以當n充分大時,我們可以用標準正態(tài)分布近似二項分布.由定理1知,下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項分布的逼近.中心極限定理的意義
在后面的課程中,我們還將經(jīng)常用到中心極限定理.
中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一,它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法,而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實.例2
某車間有200臺車床獨立工作,設每臺車床的開工率為0.6,開工時耗電1千瓦,問供電所至少要供多少電才能以不小于
99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?
至少供電142千瓦,才能保證以不小于99.9%的概率正常工作.,由定理3解記X為200臺車床中工作著的車床臺數(shù),則X~b(200,0.6).按題意,要求最小的k,使P{Xk}0.999
即例3
在人壽保險公司里,有3000個同一年齡的人參加保險.設在一年內(nèi)這些人的死亡率為0.1%,參加保險的人在一年的頭一天交付保險費10元,死亡時,家屬可從保險公司領取2000元.求(1)保險公司一年中獲利不小于10000元的概率;(2)保險公司虧本的概率是多少?解設一年中死亡人數(shù)為X,X=0,1,…,3000,死亡率=0.001,則
而由拉普拉斯定理,有(1)P{保險公司獲利不小于10000元}=P{30000-2000X10000}=P{0X10},即一年中保險公司獲利10000元以上的概率為96%.X~b(3000,0.001).而保險公司每年獲利=300010-2000X(元)由此可見保險公司虧本的概率是很小的.(2)P{保險公司虧本}=P{2000X>30000}=P{X>15}解由中心極限定理,隨機變量Z近似服從正態(tài)分布N(0,1),例3其中
例3
高爾頓釘板試驗
如圖是高爾頓釘板,常常在賭博游戲中見到,現(xiàn)在可用中心極限定理來揭穿這個賭博中的奧秘.Yn=X1+X2+…+XnXi=
1,第i次碰釘后小球從左落下,
-1,第i次碰釘后小球從右落下.則Xi服從兩點分布,
E(Xi)=0,D(Xi)=1由中心極限定理知,Yn~N(0,n)由正態(tài)分布的特征知,小球落在中間的概率遠遠大于落在兩邊的概率.設為釘子的排數(shù),Yn表示第次碰釘后小球的位置,對于一個學生而言,來參加家長
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