【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第1輪總復(fù)習(xí) 全國統(tǒng)編教材 12.1數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用（第1課時）課件 理

第十二章極限與導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用第講1（第一課時）1考點搜索●歸納法和數(shù)學(xué)歸納法的含義與作用●數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，及各步驟的作用高高考猜想1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列背景下的有關(guān)問題.2.利用“歸納——猜想——證明”探索有關(guān)結(jié)論.21.從一系列有限的①

得出②—————————的推理方法，叫做歸納法.2.對一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題：第一步：驗證當n取③

時命題成立；第二步：假設(shè)當④

時命題成立，證明當⑤

時命題也成立.在完成了這兩個步驟以后，就可以斷定命題對于從⑥

開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.特殊事例一般結(jié)論第一個值n0

n=k(k∈N*，k≥n0)n=k+1n0

33.數(shù)學(xué)歸納法需要完成兩個步驟的證明，缺一不可.其中第一步是奠基步驟，是⑦————————的基礎(chǔ)；第二步反映了無限遞推關(guān)系，即命題的正確性具有⑧

.若只有第一步，而無第二步，則只是證明了命題在特殊情況下的正確性；若只有第二步，而無第一步，那么假設(shè)n=k時命題成立就沒有根據(jù)，遞推無法進行.遞推歸納傳遞性41.設(shè)那么f(n+1)-f(n)等于()D5解：62.凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n+1邊形的對角線條數(shù)f(n+1)為(

)A.f(n)+n+1

B.f(n)+nC.f(n)+n-1

D.f(n)+n-2解：由n邊形到n+1邊形，增加的對角線是增加的一個頂點與原(n-2)個頂點連成的(n-2)條對角線，及原先的一條邊成了對角線.故選C.C

7題型1

用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式、不等式1.設(shè)n∈N*，求證：證明：(1)當n=1時，左邊=右邊所以等式成立.(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時等式成立，即8則當n=k+1時，所以當n=k+1時等式也成立.綜合(1)(2)知，對一切正整數(shù)n等式都成立.9點評：運用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式(不等式)的要點是“兩步一結(jié)論”，即第一步先驗證初始結(jié)論；第二步是先假設(shè)n=k時命題成立，再由n=k時的命題作條件，推導(dǎo)n=k+1時結(jié)論也成立；一結(jié)論是指最后歸納前面兩個步驟，得出原結(jié)論是成立的.10所以當n=k+1時，，不等式式也成立立.綜合(1)(2)知，，對于一一切大于于1的自自然數(shù),不等式都都成立.111213題型2用數(shù)學(xué)歸歸納法證證明整除除性問題題2.設(shè)設(shè)a為實實常數(shù)，，n∈N*，，證明:an+2+(a+1)2n+1能被a2+a+1整除除.證明：(1)當當n=1時，，a3+(a+1)3=(2a+1)［［a2-a(a+1)+(a+1)2］=(2a+1)(a2+a+1).它能被a2+a+1整除除，所以以n=1時命命題成立立.(2)假假設(shè)當n=k時，ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整整除，，則當n=k+1時時，ak+3+(a+1)2k+314=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a+1)2k+3-a(a+1)2k+1=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a2+a+1)(a+1)2k+1.因為ak+2+(a+1)2k+1與a2+a+1都都能被被a2+a+1整整除，，所以上上面的的和也也能被被a2+a+1整整除.即當n=k+1時，，ak+3+(a+1)2k+3能被a2+a+1整整除.綜合(1)(2)知知，命命題對對任何何n∈N*都成成立.15點評：：用數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法證證明整整除問問題的的關(guān)鍵鍵是第第二步步的配配湊變變形，，即把把n=k+1的的命題題形式式通過過添項項配湊湊成n=k時的結(jié)結(jié)論加加除式式的倍倍式的的形式式.16已知f(n)=(2n+7)·3n+9，是否否存在在自然然數(shù)m，使對對任意意n∈N*，都有有m整除f(n)？如果果存在在，求求出最最大的的m值，并并證明明你的的結(jié)論論；如如果不不存在在，說說明理理由.解：由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，f(4)=1224，猜想想f(n)被36整除.證明：：(1)當n=1時，猜猜想顯顯然成成立.(2)假設(shè)當當n=k時，f(k)能被36整除，，即(2k+7)·3k+9能被36整除.則當n=k+1時，17f(k+1)=［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1).由假設(shè)設(shè)知3［(2k+7)·3k+9］能被被36整除，，而3k-1-1是偶數(shù)數(shù)，所所以18(3k-1-1)能被36整除，，從而f(k+1)能被36整除.綜合(1)(2)知，對任意意n∈N*，f(n)能被36整除.由于f(1)=36，故36是整除除f(n)的自然然數(shù)m的最大大值.18平面內(nèi)內(nèi)有n個圓，，其中中每兩兩個圓圓都相相交，，任何何三個個圓都都無公公共點點，證證明：：這n個圓把把平面面分成成n2-n+2個區(qū)域域.證明：：(1)當n=1時，一一個圓圓把平平面分分成兩兩個區(qū)區(qū)域，，而12-1+2=2，所以以命題題成立立.(2)假設(shè)當當n=k時命題題成立立，即即k個圓把把平面面分成成k2-k+2個區(qū)域域.題型用用數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法證證明幾幾何命命題

參考題19則當n=k+1時，第第k+1個圓與與原有有的k個圓共共有2k個交點點，這這些交交點把把第k+1個圓分分成了了2k段弧，，其中中每段段弧都都把它它所在在的區(qū)區(qū)域分分成了了兩部部分，，因此此共增增加了了2k個區(qū)域域.所以這這k+1個圓把把平面面分成成k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2個區(qū)域域，即當n=k+1時命題題也成成立.綜合(1)(2)知，對對任意意n∈N*，命題題都成成立.201.數(shù)學(xué)歸歸納法法的第第一步步有時時要驗驗證從從n0開始的的多個個正整整數(shù)命命題成成立，，這主主要取取決于于從k到k+1的的奠基基是什什么數(shù)數(shù).如如果假假設(shè)當當n=k時命題題成立立，并并要求求當k≥m時才能能得出出n=k+1時時命題題也成成立，，則第第一步步必須須驗證證從n0到m的各個個正整整數(shù)命命題都都成立立.2.第二步步的證證明必必須運運用““歸納納假設(shè)設(shè)”作作為證證明n=k+1時時命題題成立立的條條件，，否則則就不不是數(shù)數(shù)學(xué)歸歸納法法了.213.“歸納假假設(shè)””可以以是一一個式式子(等式或或不等等式)，也可可以是是一段段具有有數(shù)學(xué)學(xué)意義義的數(shù)數(shù)學(xué)語語言，，有時時需要要對它它作適適當變變通，，而不不是機機械地地套用用.4.如果命命題是是對正正奇數(shù)數(shù)(或正偶偶數(shù))成立，，則假假設(shè)n=k時命題題成立立后，，要證證明n=k+2時也命命題成成立.若第(1)步證明明n=1和n=2時命題題成立立，22第(2)步假設(shè)設(shè)n=k時命題題成立立，證證明n=k+2時命題題也成成立，，則對