2022年重慶市南岸區(qū)高三3月份模擬考試數(shù)學試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若為過橢圓中心的弦,為橢圓的焦點,則△面積的最大值為()A.20 B.30 C.50 D.602.已知是過拋物線焦點的弦,是原點,則()A.-2 B.-4 C.3 D.-33.給出下列四個命題:①若“且”為假命題,則﹑均為假命題;②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角;③若命題,,則命題,;④設集合,,則“”是“”的必要條件;其中正確命題的個數(shù)是()A. B. C. D.4.已知數(shù)列的通項公式是,則()A.0 B.55 C.66 D.785.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過何種變換可以得到的圖象()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位6.已知復數(shù),則的虛部是()A. B. C. D.17.復數(shù)的虛部為()A. B. C.2 D.8.在中,角的對邊分別為,若,則的形狀為()A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形9.一個正三棱柱的正(主)視圖如圖,則該正三棱柱的側(cè)面積是()A.16 B.12 C.8 D.610.是邊長為的等邊三角形,、分別為、的中點,沿把折起,使點翻折到點的位置,連接、,當四棱錐的外接球的表面積最小時,四棱錐的體積為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),其中,記函數(shù)滿足條件:為事件,則事件發(fā)生的概率為A. B.C. D.12.設、,數(shù)列滿足,,,則()A.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立B.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立C.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立D.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,若,則________.14.已知向量與的夾角為,||=||=1,且⊥(λ),則實數(shù)_____.15.已知數(shù)列遞增的等比數(shù)列,若,,則______.16.正方體的棱長為2,是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動點,當弦的長度最大時,的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,.(1)求cosC;(2)若b=7,D是BC邊上的點,且△ACD的面積為,求sin∠ADB.18.(12分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查,其中女性有55名,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關?非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63519.(12分)三棱柱中,平面平面,,點為棱的中點,點為線段上的動點.(1)求證:;(2)若直線與平面所成角為,求二面角的正切值.20.(12分)2019年12月以來,湖北省武漢市持續(xù)開展流感及相關疾病監(jiān)測,發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,均診斷為病毒性肺炎/肺部感染,后被命名為新型冠狀病毒肺炎(CoronaVirusDisease2019,COVID—19),簡稱“新冠肺炎”.下圖是2020年1月15日至1月24日累計確診人數(shù)隨時間變化的散點圖.為了預測在未釆取強力措施下,后期的累計確診人數(shù),建立了累計確診人數(shù)y與時間變量t的兩個回歸模型,根據(jù)1月15日至1月24日的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次1,2,…,10)建立模型和.(1)根據(jù)散點圖判斷,與哪一個適宜作為累計確診人數(shù)y與時間變量t的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及附表中數(shù)據(jù),建立y關于x的回歸方程;(3)以下是1月25日至1月29日累計確診人數(shù)的真實數(shù)據(jù),根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:時間1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累計確診人數(shù)的真實數(shù)據(jù)19752744451559747111(ⅰ)當1月25日至1月27日這3天的誤差(模型預測數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)差值的絕對值與真實數(shù)據(jù)的比值)都小于0.1則認為模型可靠,請判斷(2)的回歸方程是否可靠?(ⅱ)2020年1月24日在人民政府的強力領導下,全國人民共同采取了強力的預防“新冠肺炎”的措施,若采取措施5天后,真實數(shù)據(jù)明顯低于預測數(shù)據(jù),則認為防護措施有效,請判斷預防措施是否有效?附:對于一組數(shù)據(jù)(,,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.參考數(shù)據(jù):其中,.5.53901938576403152515470010015022533850721.(12分)如圖,在四棱錐中,平面ABCD平面PAD,,,,,E是PD的中點.證明:;設,點M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為,求二面角的余弦值.22.(10分)已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù),).(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;(3)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點,且恒成立,求滿足條件的的最小值(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

先設A點的坐標為,根據(jù)對稱性可得,在表示出面積,由圖象遏制,當點A在橢圓的頂點時,此時面積最大,再結(jié)合橢圓的標準方程,即可求解.【詳解】由題意,設A點的坐標為,根據(jù)對稱性可得,則的面積為,當最大時,的面積最大,由圖象可知,當點A在橢圓的上下頂點時,此時的面積最大,又由,可得橢圓的上下頂點坐標為,所以的面積的最大值為.故選:D.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程及簡單的幾何性質(zhì),以及三角形面積公式的應用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應用.2.D【解析】

設,,設:,聯(lián)立方程得到,計算得到答案.【詳解】設,,故.易知直線斜率不為,設:,聯(lián)立方程,得到,故,故.故選:.【點睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積,設直線為可以簡化運算,是解題的關鍵.3.B【解析】

①利用真假表來判斷,②考慮內(nèi)角為,③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷,④利用集合間的包含關系判斷.【詳解】若“且”為假命題,則﹑中至少有一個是假命題,故①錯誤;當內(nèi)角為時,不是象限角,故②錯誤;由特稱命題的否定是全稱命題知③正確;因為,所以,所以“”是“”的必要條件,故④正確.故選:B.【點睛】本題考查命題真假的問題,涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識,是一道基礎題.4.D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出的值,可進一步得到數(shù)列的通項公式,然后代入轉(zhuǎn)化計算,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,當為奇數(shù)時,,當為偶數(shù)時,所以當為奇數(shù)時,;當為偶數(shù)時,,所以故選:D【點睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題,以及數(shù)列求和,考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應用,等差數(shù)列的求和公式,屬于中檔題.5.D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個解析式為,再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設函數(shù)解析式為,根據(jù)圖像:,,故,即,,,取,得到,函數(shù)向右平移個單位得到.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式,三角函數(shù)平移,意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.6.C【解析】

化簡復數(shù),分子分母同時乘以,進而求得復數(shù),再求出,由此得到虛部.【詳解】,,所以的虛部為.故選:C【點睛】本小題主要考查復數(shù)的乘法、除法運算,考查共軛復數(shù)的虛部,屬于基礎題.7.D【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算,化簡出,即可得出虛部.【詳解】解:=,故虛部為-2.故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算和復數(shù)的概念.8.C【解析】

利用正弦定理將邊化角,再由,化簡可得,最后分類討論可得;【詳解】解:因為所以所以所以所以所以當時,為直角三角形;當時即,為等腰三角形;的形狀是等腰三角形或直角三角形故選:.【點睛】本題考查三角形形狀的判斷,考查正弦定理的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬于基礎題.9.B【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖,以及長度,可知該幾何體的底面正三角形的邊長,然后根據(jù)矩形的面積公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側(cè)面均為邊長為2的正方形,所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選:B【點睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計算以及三視圖的認識,關鍵在于求得底面正三角形的邊長,掌握一些常見的幾何體的三視圖,比如:三棱錐,圓錐,圓柱等,屬基礎題.10.D【解析】

首先由題意得,當梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,通過圖形發(fā)現(xiàn),的中點即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設為梯形的外接圓圓心,當也為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過作的垂線交于點,交于點,連接,點必在上,、分別為、的中點,則必有,,即為直角三角形.對于等腰梯形,如圖:因為是等邊三角形,、、分別為、、的中點,必有,所以點為等腰梯形的外接圓圓心,即點與點重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【點睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題,關鍵是要找到外接球球心的位置,這個是一個難點,考查了學生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.11.D【解析】

由得,分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系,由圖可知,.12.D【解析】

取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況,進而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數(shù)列恒單調(diào)遞增,且不存在最大值,故排除AB選項;由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個不動點,且,,因為當時,數(shù)列單調(diào)遞增,則;當時,數(shù)列單調(diào)遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡得且.故選:D.【點睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運用,考查邏輯推理能力,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.10【解析】

根據(jù)垂直得到,代入計算得到答案.【詳解】,則,解得,故,故.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),向量模,意在考查學生的計算能力.14.1【解析】

根據(jù)條件即可得出,由即可得出,進行數(shù)量積的運算即可求出λ.【詳解】∵向量與的夾角為,||=||=1,且;∴;∴λ=1.故答案為:1.【點睛】考查向量數(shù)量積的運算及計算公式,以及向量垂直的充要條件.15.【解析】

,建立方程組,且,求出,進而求出的公比,即可求出結(jié)論.【詳解】數(shù)列遞增的等比數(shù)列,,,解得,所以的公比為,.

故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式,屬于基礎題.16.【解析】

由弦的長度最大可知為球的直徑.由向量的線性運用表示出,即可由范圍求得的取值范圍.【詳解】連接,如下圖所示:設球心為,則當弦的長度最大時,為球的直徑,由向量線性運算可知正方體的棱長為2,則球的半徑為1,,所以,而所以,即故答案為:.【點睛】本題考查了空間向量線性運算與數(shù)量積的運算,正方體內(nèi)切球性質(zhì)應用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)誘導公式和二倍角公式,將已知等式化為角關系式,求出,再由二倍角余弦公式,即可求解;(2)在中,根據(jù)面積公式求出長,根據(jù)余弦定理求出,由正弦定理求出,即可求出結(jié)論.【詳解】(1),,;(2)在中,由(1)得,,由余弦定理得,,在中,,.【點睛】本題考查三角恒等變換求值、面積公式、余弦定理、正弦定理解三角形,考查計算求解能力,屬于中檔題.18.(1)無關;(2),.【解析】

(1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而可得列聯(lián)表如下:非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算,得.因為3.030<3.841,所以我們沒有充分理由認為“體育迷”與性別有關.(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率.由題意知X~B(3,),從而X的分布列為X0123PE(X)=np==.D(X)=np(1-p)=19.(1)見解析;(2)【解析】

(1)可證面,從而可得.(2)可證點為線段的三等分點,再過作于,過作,垂足為,則為二面角的平面角,利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標系,利用兩個平面的法向量來計算二面角的平面角的余弦值,最后利用同角三角函數(shù)的基本關系式可求.【詳解】證明:(1)因為為中點,所以.因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,而平面,故,又因為,所以,則,又,故面,又面,所以.(2)由(1)可得:面在面內(nèi)的射影為,則為直線與平面所成的角,即.因為,所以,所以,所以,即點為線段的三等分點.解法一:過作于,則平面,所以,過作,垂足為,則為二面角的平面角,因為,,,則在中,有,所以二面角的平面角的正切值為.解法二:以點為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,設點,由得:,即,,,點,平面的一個法向量,又,,設平面的一個法向量為,則,令,則平面的一個法向量為.設二面角的平面角為,則,即,所以二面角的正切值為.【點睛】線線垂直的判定可由線面垂直得到,也可以由兩條線所成的角為得到,而線面垂直又可以由面面垂直得到,解題中注意三種垂直關系的轉(zhuǎn)化.空間中的角的計算,可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結(jié)為向量的夾角的計算,也可以構(gòu)建空間角,把角的計算歸結(jié)平面圖形中的角的計算.20.(1)適宜(2)(3)(ⅰ)回歸方程可靠(ⅱ)防護措施有效【解析】

(1)根據(jù)散點圖即可判斷出結(jié)果.(2)設,則,求出,再由回歸方程過樣本中心點求出,即可求出回歸方程.(3)(?。├帽碇袛?shù)據(jù),計算出誤差即可判斷回歸方程可靠;(ⅱ)當時,,與真實值作比較即可判斷有效.【詳解】(1)根據(jù)散點圖可知:適宜作為累計確診人數(shù)與時間變量的回歸方程類型;(2)設,則,,,;(3)(?。r,,,當時,,,當時,,,所以(2)的回歸方程可靠:(ⅱ)當時,,10150遠大于7111,所以防護措施有效.【點睛】本題考查了函數(shù)模型的應用,在求非線性回歸方程時,現(xiàn)將非線性的化為線性的,考查了誤差的計算以及用函數(shù)模型分析數(shù)據(jù),屬于基礎題.21.(1)見解析;(2)【解析】

(1)由

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