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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.2.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.13.拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A.2+1 B.22+3 C.4.已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A. B. C.4 D.5.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項和,,則()A.7 B.14 C.28 D.846.已知、分別為雙曲線:(,)的左、右焦點,過的直線交于、兩點,為坐標原點,若,,則的離心率為()A.2 B. C. D.7.設(shè)直線的方程為,圓的方程為,若直線被圓所截得的弦長為,則實數(shù)的取值為A.或11 B.或11 C. D.8.《周易》是我國古代典籍,用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個爻組成,其中“”表示一個陽爻,“”表示一個陰爻).若從含有兩個及以上陽爻的卦中任取兩卦,這兩卦的六個爻中都恰有兩個陽爻的概率為()A. B. C. D.9.已知集合,集合,則()A. B. C. D.10.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時,.設(shè)在上的最大值為(),且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.已知數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,設(shè),,則當(dāng)時,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.1112.已知是過拋物線焦點的弦,是原點,則()A.-2 B.-4 C.3 D.-3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)在上僅有2個零點,設(shè),則在區(qū)間上的取值范圍為_______.14.從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項活動,要求男生中的甲和乙不能同時參加,女生中的丙和丁至少有一名參加,則不同的選法種數(shù)為______.(用數(shù)字作答)15.設(shè),若關(guān)于的方程有實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍_____.16.邊長為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實線圍成的部分,將所留部分折成一個正四棱錐.當(dāng)該棱錐的體積取得最大值時,其底面棱長為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:的左、右焦點分別為,,焦距為2,且經(jīng)過點,斜率為的直線經(jīng)過點,與橢圓交于,兩點.(1)求橢圓的方程;(2)在軸上是否存在點,使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,請說明理由.18.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)設(shè)直線與曲線交于,兩點,求;(Ⅱ)若點為曲線上任意一點,求的取值范圍.19.(12分)已知;.(1)若為真命題,求實數(shù)的取值范圍;(2)若為真命題且為假命題,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C:ρcos2θ=4asinθ?(a>0),直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,y=-1+(I)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程(不要求具體過程);(II)設(shè)P(-2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.21.(12分)(1)已知數(shù)列滿足:,且(為非零常數(shù),),求數(shù)列的前項和;(2)已知數(shù)列滿足:(ⅰ)對任意的;(ⅱ)對任意的,,且.①若,求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證:數(shù)列是等比數(shù)列,其中.22.(10分)已知,其中.(1)當(dāng)時,設(shè)函數(shù),求函數(shù)的極值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求的取值范圍;(3)證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因為,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.2.A【解析】
由兩圓相外切,得出,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】因為兩圓和相外切所以,即當(dāng)時,取最大值故選:A【點睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù),屬于中檔題.3.A【解析】
先由題和拋物線的性質(zhì)求得點P的坐標和雙曲線的半焦距c的值,再利用雙曲線的定義可求得a的值,即可求得離心率.【詳解】由題意知,拋物線焦點F1,0,準線與x軸交點F'(-1,0),雙曲線半焦距c=1,設(shè)點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形,即PF所以PQ⊥拋物線的準線,從而PF⊥x軸,所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合,分析題目,畫出圖像,熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.4.B【解析】由,可得,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以,則,則,故選B.點睛:本題考查了等比數(shù)列的概念,等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,試題有一定的技巧,屬于中檔試題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用,尤其需要注意的是,等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時,應(yīng)該要分類討論,有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.5.D【解析】
利用等差數(shù)列的通項公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式和等差中項,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.6.D【解析】
作出圖象,取AB中點E,連接EF2,設(shè)F1A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,進而得到e的值【詳解】解:取AB中點E,連接EF2,則由已知可得BF1⊥EF2,F(xiàn)1A=AE=EB,設(shè)F1A=x,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,則EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,則e故選:D.【點睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用,考查離心率的求法,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.對于圓錐曲線中求離心率的問題,關(guān)鍵是列出含有中兩個量的方程,有時還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理,從而求出離心率.7.A【解析】
圓的圓心坐標為(1,1),該圓心到直線的距離,結(jié)合弦長公式得,解得或,故選A.8.B【解析】
基本事件總數(shù)為個,都恰有兩個陽爻包含的基本事件個數(shù)為個,由此求出概率.【詳解】解:由圖可知,含有兩個及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦,取出兩卦的基本事件有(巽,離),(巽,兌),(巽,乾),(離,兌),(離,乾),(兌,乾)共個,其中符合條件的基本事件有(巽,離),(巽,兌),(離,兌)共個,所以,所求的概率.故選:B.【點睛】本題滲透傳統(tǒng)文化,考查概率、計數(shù)原理等基本知識,考查抽象概括能力和應(yīng)用意識,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】
求出集合的等價條件,利用交集的定義進行求解即可.【詳解】解:∵,,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
由已知先求出,即,進一步可得,再將所求問題轉(zhuǎn)化為對于任意正整數(shù)恒成立,設(shè),只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當(dāng)時,則,,所以,,顯然當(dāng)時,,故,,若對于任意正整數(shù)不等式恒成立,即對于任意正整數(shù)恒成立,即對于任意正整數(shù)恒成立,設(shè),,令,解得,令,解得,考慮到,故有當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,有單調(diào)遞減,故數(shù)列的最大值為,所以.故選:C.【點睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題,涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識,是一道較為綜合的數(shù)列題.11.B【解析】
根據(jù)題意計算,,,解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,∴.∵是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴.∴.∵,∴,解得.則當(dāng)時,的最大值是9.故選:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,f分組求和,意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.12.D【解析】
設(shè),,設(shè):,聯(lián)立方程得到,計算得到答案.【詳解】設(shè),,故.易知直線斜率不為,設(shè):,聯(lián)立方程,得到,故,故.故選:.【點睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積,設(shè)直線為可以簡化運算,是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點,所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因為,所以,所以,所以,所以,,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解,關(guān)鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域,同時要注意新元的范圍.14.1【解析】
由排列組合及分類討論思想分別討論:①設(shè)甲參加,乙不參加,②設(shè)乙參加,甲不參加,③設(shè)甲,乙都不參加,可得不同的選法種數(shù)為9+9+5=1,得解.【詳解】①設(shè)甲參加,乙不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為9,②設(shè)乙參加,甲不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為9,③設(shè)甲,乙都不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為5,綜合①②③得:不同的選法種數(shù)為9+9+5=1,故答案為:1.【點睛】本題考查了排列組合及分類討論思想,準確分類及計算是關(guān)鍵,屬中檔題.15.【解析】
先求出,從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).即可得的最大值為,令,得函數(shù)取得最小值,由有實數(shù)解,,進而得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解:,當(dāng)時,;當(dāng)時,;函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).所以的最大值為,令,所以當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,又因為方程有實數(shù)解,那么,即,所以實數(shù)的取值范圍是:.故答案為:【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.16.【解析】
根據(jù)題意,建立棱錐體積的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】設(shè)底面邊長為,則斜高為,即此四棱錐的高為,所以此四棱錐體積為,令,令,易知函數(shù)在時取得最大值.故此時底面棱長.故答案為:.【點睛】本題考查棱錐體積的求解,涉及利用導(dǎo)數(shù)研究體積最大值的問題,屬綜合中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)存在;實數(shù)的取值范圍是【解析】
(1)根據(jù)橢圓定義計算,再根據(jù),,的關(guān)系計算即可得出橢圓方程;(2)設(shè)直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立方程組,求出的范圍,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點坐標,求出的中垂線與軸的交點橫,得出關(guān)于的函數(shù),利用基本不等式得出的范圍.【詳解】(1)由題意可知,,.又,,,橢圓的方程為:.(2)若存在點,使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形,則為線段的中垂線與軸的交點.設(shè)直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程組,消元得:,△,又,故.由根與系數(shù)的關(guān)系可得,設(shè)的中點為,,則,,線段的中垂線方程為:,令可得,即.,故,當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,,且.的取值范圍是,.【點睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18.(Ⅰ)6(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)化簡得到直線的普通方程化為,,是以點為圓心,為半徑的圓,利用垂徑定理計算得到答案.(Ⅱ)設(shè),則,得到范圍.【詳解】(Ⅰ)由題意可知,直線的普通方程化為,曲線的極坐標方程變形為,所以的普通方程分別為,是以點為圓心,為半徑的圓,設(shè)點到直線的距離為,則,所以.(Ⅱ)的標準方程為,所以參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè),,因為,所以,所以.【點睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標方程,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.19.(1)(2)或【解析】
(1)根據(jù)為真命題列出不等式,進而求得實數(shù)的取值范圍;(2)應(yīng)用復(fù)合命題真假判定的口訣:真“非”假,假“非”真,一真“或”為真,兩真“且”才真.【詳解】(1),且,解得所以當(dāng)為真命題時,實數(shù)的取值范圍是.(2)由,可得,又∵當(dāng)時,,.∵當(dāng)為真命題,且為假命題時,∴與的真假性相同,當(dāng)假假時,有,解得;當(dāng)真真時,有,解得;故當(dāng)為真命題且為假命題時,可得或.【點睛】本題主要考查結(jié)合不等式的含有量詞的命題的恒成立問題,存在性問題,考查復(fù)合命題的真假判斷,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.20.(I)x2=4aya>0,x-y+1=0【解析】
(I)利用所給的極坐標方程和參數(shù)方程,直接整理化簡得到直角坐標方程和普通方程;(II)聯(lián)立直線的參數(shù)方程和C的直角坐標方程,結(jié)合韋達定理以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】(I)曲線C:ρcos2可得ρ2cos2直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,x-y=-1,得x-y+1=0;(II)將x=-2+22t,y=-1+2t韋達定理:t1由題意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=【點睛】本題考查了極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標和普通方程的互化,以及參數(shù)方程的綜合知識,結(jié)合等比數(shù)列,熟練運用知識,屬于較易題.21.(1);(2)①;②證明見解析.【解析】
(1)由條件可得,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,運用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì),即可得到所求充要條件;②當(dāng),,,由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),化簡變形,即可得到所
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