【公開課課件】選修2-1-第三章 3.2 第1課時

第三章

§3.2立體幾何中的向量方法第1課時用空間向量解決立體幾何中的平行問題問題導學知識點一直線的方向向量與平面的法向量(1)用向量表示直線的位置條件直線l上一點A表示直線l方向的向量a(即直線的

)形式作用定位置點A和向量a可以確定直線的_____定點可以具體表示出l上的任意_____位置一點方向向量(2)用向量表示平面的位置①通過平面α上的一個定點O和兩個向量a和b來確定：條件平面α內兩條相交直線的方向向量a，b和交點O形式②通過平面α上的一個定點A和法向量來確定：平面的法向量直線l⊥α，直線l的

，叫做平面α的法向量確定平面位置過點A，以向量a為法向量的平面是完全確定的方向向量(3)直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量能平移到直線上的

向量a，叫做直線l的一個方向向量平面的法向量直線l⊥α，取直線l的

，叫做平面α的法向量方向向量n非零知識點二平面的法向量及其求法在空間直角坐標系下，求平面的法向量的一般步驟：(1)設平面的法向量為n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面內的兩個

的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；(3)根據法向量的定義建立關于x，不共線(4)解方程組，取其中的

，即得平面的一個法向量.一組解知識點三用空間向量處理平行關系設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則線線平行l(wèi)∥m?

?a＝kb(k∈R)線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?_______面面平行α∥β?μ∥v?_____________a∥ba·μ＝0μ＝kv(k∈R)[思考辨析判斷正誤](1)若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反.(

)(2)兩直線的方向向量平行，則兩直線平行；兩直線的方向向量垂直，則兩直線垂直.(

)(3)若向量n1，n2為平面的法向量，則以這兩個向量為方向向量的直線一定平行.(

)(4)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行.(

)(5)若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，則l1⊥l2.(

)√√××√題型探究例1已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，試求出平面ABC的一個法向量.類型一求平面的法向量解

設平面ABC的法向量為n＝(x，y，z).解答故平面ABC的一個法向量為n＝(3,3,1).跟蹤訓練1如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝

，建立適當的空間直角坐標系，求平面SCD與平面SBA的一個法向量.解答解

以A為坐標原點，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設n＝(x，y，z)為平面SDC的一個法向量，取x＝2，得y＝－1，z＝1，故平面SDC的一個法向量為(2，－1,1).證明類型二利用空間向量證明平行問題例2已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別是BB1，DD1的中點，求證：(1)FC1∥平面ADE；證明

以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系Dxyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，設n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，令z1＝2，則y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2).又因為FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.證明(2)平面ADE∥平面B1C1F.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因為n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.解答跟蹤訓練2如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝求出E點的位置；若不存在，請說明理由.解

存在點E使CE∥平面PAB.以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Axyz，∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，∴存在E點，當點E為PD中點時，CE∥平面PAB.達標檢測答案解析123451.已知l1的方向向量為v1＝(1,2,3)，l2的方向向量為v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，則λ等于A.1 B.2 C.3 D.4√答案2.已知直線l1，l2的方向向量分別為a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若l1∥l2，則λ與μ的值可以分別是12345√解析答案解析3.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)12345√答案解析A.－4 B.－6 C.－8 D.812345√5.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1的一個法向量為_________________.12345(1,1,1)(答案不唯一)答案解析解析

不妨設正方體的棱長為1，以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，則A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，設平面ACD1的一個法向量a＝(x，y，z)，則a＝(1,1,1).(注：答案不唯一，只要與所給答案共線都對)123451.應用向量法證明線面平行問題的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)證明直線的方向向量與平面內的某一直線的方向向量共線.(3)證明直線的方向向量可用平面內的任兩個不共線的向量表示.即用平面向量基本