概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)01-第一節(jié)-隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

隨機(jī)變量前面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù),從中知道隨機(jī)變量的分布數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.但在許多實(shí)際問題中,人們并不需要去全面察隨機(jī)變量的變化情而要知道它的某些數(shù)字特征即.例如在價(jià)地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平通只要知道該地區(qū)糧食的平均產(chǎn);又如,在價(jià)一批棉花的質(zhì)量時(shí),既要注意纖維的平均度又要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度之間的偏離程度,平長(zhǎng)度較大,偏程度小則量就較.等實(shí)際上描隨機(jī)變量的平均值和偏離程度的某些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要的意義,它能更直接、更簡(jiǎn)潔更清晰和更實(shí)用地反映出隨機(jī)變量的本.本章將要討論的隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征包:數(shù)期望、方差、相關(guān)系數(shù)、第一節(jié)隨變量的學(xué)期望內(nèi)容要：一離型機(jī)量數(shù)期平均值是日常生活中最常用的一個(gè)數(shù)字特,它評(píng)判事物決等具有重要作.定義設(shè)是離散型隨機(jī)變量的概率分布為P{X}p,iii如果p絕收斂,則義的學(xué)期望又均值為()p.iiiii二連型機(jī)量數(shù)期定義設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其度函數(shù)為(x)如

i

xf()dx絕對(duì)收斂,定的數(shù)學(xué)期望為E()

xf()三隨機(jī)量數(shù)數(shù)期設(shè)是隨機(jī)變量,()為實(shí)函數(shù),則Yg()也是一隨機(jī)變量,理上,雖可通過的布求出(X的布,再定義求出(的學(xué)期望E[g()]但種求法般比較復(fù)雜.下不加證明地引入有關(guān)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定.定理設(shè)X是個(gè)隨機(jī)變量,(),(Y)存在則（1若為散型隨機(jī)變量其率分布為P{X}iii則Y的學(xué)期望為E))]iii1（2）若X連續(xù)型隨機(jī)變,概率密度為Y學(xué)期望為)E)]注:的性在于E必知道的,只道X的布即可.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望來很大方;上理可推廣到二維以上情,即定理2是二維隨機(jī)向,Zg(X))存,（1）若為離散型隨機(jī)向,概率分布為P{Xy}i則Z的數(shù)望為g(x,y)p,ijijj1i1（2）若)為連續(xù)型隨機(jī)向量,率密度為Z的學(xué)期望為E)]四數(shù)期的質(zhì)C,E)．常數(shù)，則);E

1

)E212立,則E)E)注E)E)定能推出X獨(dú)例如，在10中計(jì)算得EE

94

，31但P{X1，顯然48P{XP{X故X與Y不立這質(zhì)可推廣到有限個(gè)隨變量之和的情例題選：離型機(jī)量數(shù)期例1講例1)甲乙人進(jìn)行打所得數(shù)記為121,02831i試評(píng)定他們的成績(jī)的好.

,們的分布律分別為解

我們來計(jì)算的期,得E)022)11這意味著,果甲進(jìn)行很多次的,那,分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均就接近而得4k0.814kk4k0.814kk分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為0.30.10.5().很明顯乙成績(jī)遠(yuǎn)不如甲的成績(jī).例(講例2)某產(chǎn)品的每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從參數(shù)

0.8的松分布,若定疵點(diǎn)數(shù)不超過個(gè)一等品價(jià)10元;疵數(shù)大于個(gè)不多為二等,價(jià)8元;疵點(diǎn)數(shù)超過個(gè)為廢求產(chǎn)品的廢品率;產(chǎn)品價(jià)值的平均.解設(shè)代表每件產(chǎn)品上的疵點(diǎn),由意知

因?yàn)閧4}P{X

k

0.8k!

e

所以產(chǎn)品的廢品率為

0.001411.(2)設(shè)代產(chǎn)品的價(jià)值,那Y概率分布為Y0P{P4}P{X4}所以產(chǎn)品價(jià)值的平均值為Y){X4}{10

ek!kk

k!

e9.61(元)例3按定某車站每天8:00~9:00和之都恰有輛客車到,但站的時(shí)刻是隨機(jī),且者到站的時(shí)間相互獨(dú)其律為8:00~9:00站時(shí)間9:00~10:00到站時(shí)間概率

:108:30:109:301/63/62/6一旅客8:20到站求候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期.解設(shè)客的候車時(shí)間為X(以分計(jì))的布律為pi

103050316

7016

90166在上表中例如P{70}AB)AP(B

13其為件“第班車在6:10到”B為第二班車在到”.候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望3E(X636

27.22(分)連型機(jī)量數(shù)期x例4講義例已知隨機(jī)變量的分布函數(shù))/4,x求().x412/101112/1011解

4,4隨機(jī)變量的分布密度為()F它故E)

)dx

1x48

X

例(講例4)某店對(duì)某種家用電器的銷售采用先使用后付款的記用壽命為(以年計(jì))規(guī)定:設(shè)壽命

X

一臺(tái)付1500;X一臺(tái)付款2元;2,一臺(tái)付款2元;一臺(tái)付000.X服從指數(shù)分布,概密度為e/10x0fx0.試求該商店一臺(tái)電器收費(fèi)的數(shù)學(xué)期望.解先出壽命落各個(gè)時(shí)間區(qū)間的概,即有{

0

110

dx

PX

1

110

dx

0.0861,P{2X

312

dx

0.0779,P{

3

110

dx

則Y的分布律為200030000.09520.08610.07790.7408得EY)即平均一臺(tái)收費(fèi)2732.15元例6

設(shè)隨機(jī)變量~f(),E()

,且,f(x)0,求a與b的,并分布函數(shù)().

解

由題意知

f(x)

0

()

a2

EX

xf(x)dx

0

x

a7,312解方程組得b1/2.2/x/2x/2/x/2x/當(dāng)0有F(x

1xxf(t)dt022所以x)

x(x2),0x例有2相互獨(dú)立工作的電子裝置,它的壽命概率密度為

(

服從統(tǒng)一指數(shù)分其f(

e,x0,

0.若將這電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整,求機(jī)壽命(以小時(shí)計(jì))N的數(shù)學(xué)期解

/x0X(分布函數(shù)為F(),0,xNX}的分布函數(shù)為min

(x)(x)],因而N的率密度為f

min

(x)Fmin

()

e

x于是N的學(xué)期望為E()

xf

min

(x)

0

2

x/

2

隨變函的學(xué)望例8(講義例設(shè)X,Y)的合概率分布:Y03X03/801/81/8求E(),(),().解要E(X)E(Y),需求出X和Y的邊緣分關(guān)X和Y的邊緣分布為3233/4P1/81/8則有E(X

334421333(Y)8823(X(38

18

/4.2022232x3x1/x432022232x3x1/x43例9(講義設(shè)隨機(jī)變量

X在

上從均勻分布求E(sin),(

2

)及[()]解

根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公有E)

xf()

0

x

1

2

sinxfx

sin(x)|0

2,(X)

xf(x)

x

1

3

E[X(X)]E

1dx012

例10設(shè)隨機(jī)變量X,Y)的率密度f()

xx0,

它.求數(shù)學(xué)期望E(Y),

1解

(Y)

yf(x,y)dydx11/x

32

1[lny]dxxx

3ln2

1xE

1

xy)1x

3.5例講例設(shè)際市場(chǎng)上對(duì)我國(guó)某種出口商品的每年需求量是隨機(jī)變量X(單位噸它從區(qū)間[4000]上均勻分布每售出一噸商可國(guó)家賺取外匯萬;若銷售不出,則噸商品需貯存費(fèi)1萬,問組織多少貨才使國(guó)家收益最?解設(shè)織貨源噸,顯應(yīng)要求20004000,國(guó)收單:萬元是的數(shù)Y(表式為(X

tX

XX

2000,x設(shè)的概率密度函數(shù)為f(則f(x0,

于Y的望為E(Y)

()f()dx

40002000

(2222222ii202020202222222ii20202020

12000

t1x)dx3tdx(t

2

14000t

6

考慮的值使(Y)達(dá)最大,易t

3500,因組織噸商品為好.例12設(shè)((

)均在，證明E[()]

2

(X

2

)E(X)]

2

證

因?yàn)閇X()]

2

X

2

X)(X)]

2

,于是[(X)]{XX)E()]}()())E(X)]()E()]例13（二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望）若Xb,),求().解因(n,p),則X表n重努利試驗(yàn)中的“成功次數(shù).如第i成功若設(shè)X第i驗(yàn)失敗

(i

1,2,

,)則X,12因?yàn)镻{p,P{0}pEX)p,iiin所以E(XE()ii可見服參為n和p的項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的學(xué)期望是.數(shù)期的質(zhì)例14講義8)一航送各車載有位旅客自機(jī)場(chǎng)開出,旅有10個(gè)站可以如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停.以表示停車的次數(shù),求(X(每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并各旅客是否下車互獨(dú)).解

i站沒有人下車引入隨機(jī)變量1,i站沒有人下車

i

易知.1210現(xiàn)在來求().按意任旅客不在第i站車的概率為因