【課件】4.3.1等比數(shù)列的概念（1）課件人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.3.1等比數(shù)列的概念選擇性必修第二冊第四章數(shù)列情景引入我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一個有趣的問題叫“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？”問題1你能寫出“出門望九堤”問題構(gòu)成的數(shù)列嗎？

構(gòu)成數(shù)列：9，92，93，94，95，96，97，98.問題2根據(jù)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，上述數(shù)列有什么特點(diǎn)？

上述數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是9，這種數(shù)列稱為等比數(shù)列.

請看下面幾個問題中的數(shù)列.

1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數(shù)列:

①

②

③

2.《莊子·天下》中提到：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之錘”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，每天得到的“錘”的長度依次是

④．．

3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細(xì)菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是

⑤

4.某人存入銀行元，存期為5年，年利率為，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是

⑥．．

探究

類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？上述六組數(shù)列中，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)．

類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？思考一、等比數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母

表示(顯然)．

例.

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列．如果是，寫出它的公比．

(1)3，9，15，21，27，33；

(4)1，1.1，1.21，1.331，1.4641；(3)，，，，，；

(2)4，-8，16，-32，-128.

思考：(1)等差數(shù)列的項(xiàng)、公差均可以是0嗎？等比數(shù)列呢？(2)常數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是等比數(shù)列嗎？(3)是否存在既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列？(4)q>0時，等比數(shù)列各項(xiàng)的符號有何特點(diǎn)？q<0時呢？常數(shù)列是等差數(shù)列，公差為0；非零常數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，公差為0，公比為1.q>0時，等比數(shù)列各項(xiàng)符號和首項(xiàng)a1保持一致；q<0時，等比數(shù)列各項(xiàng)符號正負(fù)間隔，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別同號。類比等差中項(xiàng)的定義，你能說出等比中項(xiàng)的定義嗎？說明：等比中項(xiàng)可能有兩個，那么什么時候是一個呢？二、等比中項(xiàng)應(yīng)用探究練習(xí)2

若a，2a＋2，3a＋3成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)

a的值．解：∵a，2a＋2，3a＋3成等比數(shù)列

∴(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得

a＝－1，或

a＝－4.當(dāng)a＝－1時，2a＋2，3a＋3均為0，舍去.∴

a＝－4.練習(xí)1(1)4與9的等比中項(xiàng)是______(2)-1，2，x，8，-16成等比數(shù)列，則x=______

6或-6-4探究

你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個等比數(shù)列的公比為．根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得所以

由此可得．

又，這就是說，當(dāng)時上式也成立．因此，首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

驗(yàn)證n=1不完全歸納法探究你還可以用其他方法推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個等比數(shù)列的公比為．根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得

即

．

所以

左右兩側(cè)分別依次相乘

化簡得到．

累乘法又，這就是說，當(dāng)時上式也成立．因此，首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

驗(yàn)證n=1三、等比數(shù)列通項(xiàng)公式

典型例題例1

若等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求的第5項(xiàng)．

分析：等比數(shù)列由，唯一確定，可利用條件列出關(guān)于，的方程(組)，進(jìn)行求解．解法1:

由，，得①②②的兩邊分別除以①的兩邊，得解得或把代入①，得．

此時把代入①，得．

此時因此，的第5項(xiàng)是24或

．

例1

若等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求的第5項(xiàng)．

解法2:

因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以所以．

因此，的第5項(xiàng)是24或．

例1

若等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求的第5項(xiàng)．

例2已知等比數(shù)列{an}，若a1＋a2＋a3=7，a1a2a3

=8，求an.解得

或

當(dāng)a1=1時，q=2；當(dāng)a1=4時，故an

=2n－1或an=23－n

.法一：由等比數(shù)列的定義知a2=a1q

，a3=a1q2

，代入已知得例2已知等比數(shù)列{an}，若a1＋a2＋a3=7，a1a2a3

=8，求an.法二：從而解之得a1=1，

a3=4或a1=4，

a3=1.當(dāng)a1=1時，

q=2；當(dāng)a1=4時，故an

=2n－1或an=23－n

.【歸納總結(jié)】如何判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？探究：類似于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列可以與哪類函數(shù)建立相似的關(guān)系？探究：類似于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列可以與哪類函數(shù)建立相似的關(guān)系？

等比數(shù)列的第項(xiàng)是指數(shù)函數(shù)當(dāng)時的函數(shù)值，即．

等比數(shù)列的序號和項(xiàng)對應(yīng)的點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)圖像上一系列離散的點(diǎn)。探究：類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷公比的等比數(shù)列的單調(diào)性？指數(shù)函數(shù)，時，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；

，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減．

①當(dāng)，因?yàn)?，則單調(diào)性與相同，即，等比數(shù)列單調(diào)遞增，

，等比數(shù)列單調(diào)性不變，，等比數(shù)列單調(diào)遞減．

②當(dāng)，因?yàn)椋瑒t單調(diào)性與單調(diào)性相反，即，等比數(shù)列單調(diào)遞減，

，等比數(shù)列單調(diào)性不變，，等比數(shù)列單調(diào)增．1、等比數(shù)列的定義2、