【課件】函數(shù)概念的綜合應(yīng)用（課件）- (人教A版2019 必修第一冊(cè))

第三章

函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.1函數(shù)的概念（第二課時(shí)）教材分析

本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第三章《函數(shù)的概念與性質(zhì)》的第一節(jié)《函數(shù)的概念及其表示》（第二課時(shí)）。教材通過具體的例子介紹了區(qū)間的概念，通過同一函數(shù)的概念加深學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解，會(huì)求函數(shù)的定義域、值域.

借助第一課時(shí)的理論依據(jù)得到同一函數(shù)的概念，通過例子讓學(xué)生掌握函數(shù)定義域，函數(shù)值的求法，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解區(qū)間的概念，并會(huì)用區(qū)間表示集合。2.函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則及值域。3.掌握判定函數(shù)和函數(shù)相等的方法。4.學(xué)會(huì)求函數(shù)的定義域與函數(shù)值。重點(diǎn)、難點(diǎn)1.

重點(diǎn)：理解函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則及值域，會(huì)求函數(shù)的定義域與函數(shù)值，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。2.

難點(diǎn)：進(jìn)一步理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

，體會(huì)函數(shù)相等的概念。（一）新知導(dǎo)入

創(chuàng)設(shè)情境、問題生成設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速高達(dá)350公里的京津城際列車呈現(xiàn)出超越世界的“中國(guó)速度”，使得新時(shí)速旅客列車的運(yùn)行速度值界定在200公里/時(shí)與350公里/時(shí)之間.（一）新知導(dǎo)入

創(chuàng)設(shè)情境、問題生成【想一想】1.如何表示列車的運(yùn)行速度的范圍？2.還可以用其他形式表示列車的運(yùn)行速度的范圍嗎？提示：1.我們已學(xué)習(xí)不等式、集合知識(shí)，所以用不等式可表示為

200<v<350，用集合可表示為{v|200<v<350}.2.還可以用區(qū)間表示為(200，350)，這是表示范圍的另一種方法.（一）新知導(dǎo)入

探索交流、解決問題【問題1】

燃放煙火市元宵佳節(jié)的傳統(tǒng)風(fēng)俗，此起彼伏的煙花在天空中綻放，絢麗多姿，爭(zhēng)奇斗艷，蔚為壯觀.你聽，煙火嗖嗖向空中竄去，在空中砰砰炸開；你看，五顏六色的煙花綻放了，美極了.已知：①煙花炸開的時(shí)間是10到26秒;②煙花炸開的高度是30到40米之間?！舅伎?】（1）煙花炸開的時(shí)間和炸開的高度都是一個(gè)大致范圍，我們能否有其他的表示方法呢？（2）區(qū)間能表示單獨(dú)的實(shí)數(shù)嗎？（3）區(qū)間表示實(shí)數(shù)有什么要求嗎？（二）區(qū)間的概念

區(qū)間的概念

：

設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a＜b，我們規(guī)定

（二）區(qū)間的概念（1）區(qū)間只能表示_________的實(shí)數(shù).如{3}不能用區(qū)間表示.（2）其他區(qū)間的表示方法。（3）注意端點(diǎn)的取舍，端點(diǎn)能取到是閉區(qū)間，端點(diǎn)取不到是開區(qū)間；_____和_____處一定是開區(qū)間。對(duì)概念的深度剖析：-∞+∞連續(xù)（二）區(qū)間的概念

【做一做】

用區(qū)間表示下列范圍：[解析]∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∴A=（-∞，5]；∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,+∞）∴A∩B=（-∞，5]∩(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,+∞）

=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},則用區(qū)間表示集合A、B、A∩B.（二）區(qū)間的概念【探究1】

用區(qū)間表示范圍的時(shí)候應(yīng)該注意什么？注意端點(diǎn)的取舍，端點(diǎn)能取到是閉區(qū)間，端點(diǎn)取不到是開區(qū)間；-∞和+∞處一定是開區(qū)間?！咎骄?】

當(dāng)范圍中有獨(dú)立的實(shí)數(shù)時(shí)該怎么表示呢？獨(dú)立的實(shí)數(shù)只能用集合來表示，也就是說區(qū)間的左端點(diǎn)一定小于右端點(diǎn)。（二）區(qū)間的概念【做一做】

若集合A=[2a-1,a+2],則實(shí)數(shù)a的取值范圍用區(qū)間表示為__________.【解析】由區(qū)間的定義知,區(qū)間(a,b)(或[a,b])成立的條件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,3).【答案】(-∞,3)（三）函數(shù)的相等提示：

1.由函數(shù)的概念可知是2個(gè)，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)的三要素是：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域。

2.根據(jù)函數(shù)的定義，函數(shù)值由自變量和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定，所以函數(shù)的值域由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定?！舅伎?】1.根據(jù)函數(shù)的定義，決定一個(gè)函數(shù)需要幾個(gè)要素？函數(shù)的三要素是哪些？2.函數(shù)的值域由哪些因素確定？（三）函數(shù)的相等

函數(shù)的相等

：

一般地，函數(shù)有三個(gè)要素：_______________________.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域________，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系_________，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)是_______函數(shù).

定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系與值域相同完全一致同一個(gè)1.兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同就決定了這兩個(gè)函數(shù)的值域也_________.2.定義域和值域分別相同的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)嗎？對(duì)概念的深度剖析：相同提示：不一定，如果對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，這兩個(gè)函數(shù)一定不是同一個(gè)函數(shù)（三）函數(shù)的相等【做一做】

判斷下列函數(shù)是否為相同的函數(shù)？（1）f(x)=(

)2,

g(x)=

；（2）y=x0與y=1(x≠0)；（3）y=2x+1(x∈Z)與y=2x-1(x∈Z).[解析](1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(

)2的定義域?yàn)閧x|x≥0},而g(x)=的定義域?yàn)閧x|x∈R},它們的定義域不同,所以它們不表示同一函數(shù).(2)因?yàn)閥=x0要求x≠0,且當(dāng)x≠0時(shí),y=x0=1,故y=x0與y=1(x≠0)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同,所以它們表示同一函數(shù).(3)y=2x+1(x∈Z)與y=2x-1(x∈Z)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同,故它們不表示同一函數(shù).（四）函數(shù)的定義域提示：

1.A

2.函數(shù)的定義域是指解析式中x的取值范圍，所以地位相同，范圍相同?！舅伎?】1.函數(shù)的定義域是函數(shù)定義中的哪個(gè)集合？2.已知函數(shù)的解析式，函數(shù)的定義域是指使解析式各部分都有意義的未知數(shù)的取值集合.如果函數(shù)的解析式未知呢？（四）函數(shù)的定義域

抽象函數(shù)的定義域

：

函數(shù)的解析式未知，求函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)該遵循“______________________”的原則求自變量的取值范圍。

地位相同，范圍相同【做一做】

如已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,5],求f(2x-1)的定義域。[解析]已知f(x)的定義域是[-1,5],即-1≤x≤4.故對(duì)于f(2x-1)應(yīng)有-1≤2x-1≤5,∴0≤2x≤6,∴0≤x≤3.∴函數(shù)f(2x+1)的定義域是[0,3]（五）函數(shù)的函數(shù)值、值域

2008年北京夏季奧運(yùn)會(huì)中中國(guó)隊(duì)獲得51枚金牌,列金牌榜首位.讓每個(gè)中國(guó)人都為之自豪!比賽進(jìn)行天數(shù)與金牌總數(shù)如下表所示:天數(shù)12345678金牌總數(shù)2691317222627天數(shù)910111213141516金牌總數(shù)3539434546474951（五）函數(shù)的函數(shù)值、值域提示：（1）x的取值為1,2,3,…,15,16;y的取值為2,6,9,13,17,22,26,27,35,39,43,45,46,47,49,51.（2）f(2)=6,f(10)=39.若1≤a≤16,則f(a)對(duì)應(yīng)y的一個(gè)值,否則無法表示.（3）不同.f(x)表示y是x的函數(shù),其中f為對(duì)應(yīng)關(guān)系;而f(a)表示函數(shù)f(x)當(dāng)自變量x取a時(shí)的一個(gè)函數(shù)值f(a).（4）定義域：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16},值域：{2,6,9,13,17,22,26,27,35,39,43,45,46,47,49,51}.【思考4】（1）設(shè)金牌總數(shù)是y,比賽天數(shù)為x,則該對(duì)應(yīng)關(guān)系可用y=f(x)來表示,則x取哪些值,y取哪些值?（2）f(2)等于多少?f(10)呢?f(a)呢?（3）f(x)與f(a)是否相同?為什么?（4）定義域與值域是多少?（五）函數(shù)的函數(shù)值、值域

函數(shù)的值域：

函數(shù)的定義中，與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做_______，函數(shù)值____________的集合叫做函數(shù)的_______；值域是集合B的_______。并且函數(shù)值由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定。

函數(shù)值值域子集【做一做】

已知(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，則________，

_______.[提示]（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用1.區(qū)間例1用區(qū)間的方法表示下列集合：表示為_____________；

表示為_____________.

[解析]表示為區(qū)間：[0,5)；表示為區(qū)間：（-∞，-1]∪[3,+∞)[答案][0,5)（-∞，-1]∪[3,+∞)（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用1.區(qū)間【延伸拓展】若集合A=[2a+1,a-2],則實(shí)數(shù)a的取值范圍用區(qū)間表示為______________.[解析]由區(qū)間的定義知,區(qū)間(a,b)(或[a,b])成立的條件是a<b.∵A=[2a+1,a-2],∴2a+1<a-2.∴a<-3,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-3).答案：(-∞,-3)（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用

如何用區(qū)間表示集合1.正確利用區(qū)間表示集合,要特別注意區(qū)間的端點(diǎn)值能否取到,即“小括號(hào)”和“中括號(hào)”的區(qū)別.2.用區(qū)間表示兩集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算時(shí),應(yīng)先求出相應(yīng)集合,再用區(qū)間表示.【類題通法】【提醒】1.-∞和+∞處一定是開區(qū)間；2.獨(dú)立的實(shí)數(shù)只能用集合來表示，也就是說區(qū)間的左端點(diǎn)一定小于右端點(diǎn)。3.區(qū)間和區(qū)間之間的連接和幾何相同，也用“∪”和“∩”來連接。1.區(qū)間【鞏固練習(xí)1】集合{x|0<x<1或2≤x≤11}用區(qū)間表示為__________.

[答案](0,1)∪[2,11]（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用2.函數(shù)相等例2.（多選題）（2020·安徽淮北市樹人高級(jí)中學(xué)高一期中）下列函數(shù)中與函數(shù)y＝x不相同的是()A．y＝ B．y＝C．y＝ D．y＝【解析】函數(shù)y＝x的定義域?yàn)镽，對(duì)于A，函數(shù)y＝x和y＝x2對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故不是相同函數(shù)；對(duì)于B，函數(shù)y＝=t，定義域?yàn)镽，故與函數(shù)y＝x是相同函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)y＝=|x|，和函數(shù)y＝x的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故不是相同函數(shù)；對(duì)于D，y＝的定義域?yàn)?，和函?shù)y＝x的定義域不同，故不是相同函數(shù).答案：ACD（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用2..函數(shù)相等

【類題通法】判斷函數(shù)相等的方法定義域優(yōu)先原則1.先看定義域，若定義域不同，則函數(shù)不相等.2.若定義域相同，則化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相等.（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用2.函數(shù)相等【鞏固練習(xí)2】試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù):[答案]⑤解析：①f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數(shù);②f(x)與g(x)的解析式不同,不是同一函數(shù);③f(x)=|x+3|,與g(x)的解析式不同,不是同一函數(shù);④f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數(shù);⑤f(x)與g(x)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系皆相同,是同一函數(shù).①f(x)=,g(x)=x-1;②f(x)=,g(x)=;③f(x)=,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;⑤汽車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系f(t)=80t(0≤t≤5)與一次函數(shù)g(x)=80x(0≤x≤5).其中表示相等函數(shù)的是___________(填上所有正確的序號(hào)).

（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用3.函數(shù)的定義域例3.求下列函數(shù)的定義域:(1)y=(2)f(x)=【解】(1)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足即解得x<0,且x≠-2.故原函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,-2)∪(-2,0).（2）要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足即故原函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,4].（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用3.函數(shù)的定義域例4.已知函數(shù)f(x)的定義域是[-1,4],求函數(shù)f(2x+1)的定義域.【解析】已知f(x)的定義域是[-1,4],即-1≤x≤4.故對(duì)于f(2x+1)應(yīng)有-1≤2x+1≤4,∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤∴函數(shù)f(2x+1)的定義域是[-1，].（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用3.函數(shù)的定義域

【類題通法】2.抽象函數(shù)的定義域：“地位相同，范圍相同”1.常見函數(shù)的定義域：函數(shù)類型整式函數(shù)分式函數(shù)根式函數(shù)0次函數(shù)定義域R分母≠0奇次根式：R偶次根式：被開方數(shù)≥0底數(shù)≠0（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用3.函數(shù)的定義域【鞏固練習(xí)3】求下列函數(shù)的定義域.【解析】（1）由已知可得即所以定義域?yàn)閧x|x≤1且x≠－1}．（2）由已知可得即

所以定義域?yàn)椋?∞，]∪[2,4)．（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用4.求函數(shù)的函數(shù)值、值域例5.（2021·江蘇高一專題練習(xí)）已知．（1）求，（a）+（3）的值；(2)若,求的值域．【解析】（1）因?yàn)?/p>

(2)因?yàn)?，又因?yàn)樗缘眉此院瘮?shù)的值域?yàn)閇-4,5]（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用4.求函數(shù)的函數(shù)值、值域例6.求下列函數(shù)的值域①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③；④【解析】①(觀察法)因?yàn)閤∈R，所以x＋1∈R，即函數(shù)值域是R.②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)閇2,6)．③(分離常數(shù)法)所以函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，3）∪（3，+∞）④(換元法)設(shè)t＝，則t≥0且x＝t2＋1所以y＝2(t2＋1)－t＝2（t-）2＋，由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)閇,+∞）（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用4.求函數(shù)的函數(shù)值、值域

【類題通法】1.求函數(shù)值的方法(1)已知f(x)的解析式時(shí)，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值.(2)已知f(x)與g(x)，求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.2.求函數(shù)值域常用的4種方法（1）觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；（2）配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時(shí)，可利用配方法或二次函數(shù)圖像求其值域；（3）分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域；（4）換元法：即運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.對(duì)于f（x）=ax+b+（其中a，b，c，d為常數(shù)，且a≠0）型的函數(shù)常用換元法.（六）函數(shù)概念的綜合應(yīng)用4.求函數(shù)的函數(shù)值、值域【鞏固練習(xí)4】求下列函數(shù)的值域（1）（2）【解析】（1）因?yàn)椤?，所以＋1≥1，即所求函數(shù)的值域?yàn)閇1，＋∞)．（2）因?yàn)橛趾瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以x2＋1≥1，所以0＜≤2，則y∈(－1,1]．所以所求函數(shù)的值域?yàn)?－1,1].（七）操作演練素養(yǎng)提升1．下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是()A．y＝x－1和y＝B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝(x－1)2