【課件】4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式第二課時課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)選擇性必修第二冊_第1頁
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文檔簡介

4.3.2

等比數(shù)列的前n項和公式應(yīng)用1.等比數(shù)列前n項和公式:2.等比數(shù)列求和要考慮公比是否為1.3.等比數(shù)列求和的常用方法:錯位相減法.

若等比數(shù)列{an}的公比q≠1,前n項和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列,其中公比為qn.復(fù)習(xí)引入4.等比數(shù)列的片段和性質(zhì):消元方法:約分或兩式相除思考:你能發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項和公式Sn=

(q≠1)的函數(shù)特征嗎?探究新知??當(dāng)q≠1時,即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).當(dāng)q=1時,Sn=na1,即Sn是n的正比例函數(shù).結(jié)構(gòu)特點:qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).例1數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n-2.求{an}的通項公式,并判斷{an}是否是等比數(shù)列.解:當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2·3n-1.當(dāng)n=1時,a1=S1=31-2=1,不滿足上式.由于a1=1,a2=6,a3=18,所以a1,a2,a3不是等比數(shù)列,即{an}不是等比數(shù)列.典例分析思考:還有其他方法判斷{an}是否是等比數(shù)列嗎?思考:若{an}是公比為q的等比數(shù)列,S偶,S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和,則S偶,S奇之間有什么關(guān)系?(1)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n項,則(2)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n+1項,則S奇=a1+a3+…

+a2n-1+a2n+1=a1+(a3+…a2n-1+a2n+1)=a1+q(a2+a4+…+a2n)=a1+qS偶S奇=a1+qS偶S偶=a2+a4+…+a2nS奇=a1+a3+…+a2n-1S偶=a2+a4+…+a2n探究新知??S偶=qS奇??例2已知等比數(shù)列{an}共有2n項,其和為-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,求公比q.解:由題意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80∴S奇=-80,S偶=-160,典例分析變式:若等比數(shù)列{an}共有2n項,其公比為2,其奇數(shù)項和比偶數(shù)項和少100,則數(shù)列{an}的所有項之和為______.300

典例分析

例4去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸,其中14萬噸垃圾以填埋方式處理,6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理.預(yù)計每年生活垃圾的總量遞增5%,同時,通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預(yù)算,請你測算一下從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬噸).典例分析分析:由題意可知,每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列,而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列.因此,可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進行計算.

所以,從今年起5年內(nèi),通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸.小試牛刀分組求和法(1)求形如cn=an±bn的前n項和公式,其中{an}與{bn}是等差數(shù)列或等比數(shù)列;(2)

將等差數(shù)列和等比數(shù)列分開:Tn=c1

+c2+…+cn

=(a1

+a2+…+an

)±(b1

+b2+…+bn

)(3)利用等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項和公式來計算Tn.解:變式:

典例分析

(2)這是待定系數(shù)法的應(yīng)用,可以將它還原為(1)中的遞推公式形式,通過比較系數(shù),得到方程組;(3)利用(2)的結(jié)論可得出解答.

小試牛刀1.求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn(x≠0).當(dāng)x≠1時,Sn=x+

2x2+

3x3+

4x4

…+

nxnxSn=

x2+

2x3+

3x4+

…+

(n-1)xn+nxn+1∴(1-x)Sn=x+

x2+

x3+

x4

…+

xn

-nxn+1課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂小結(jié)1.等比數(shù)列前n項和公式Sn的函數(shù)特征:當(dāng)q=1時,Sn=na1,即Sn是n的正比例函數(shù).當(dāng)q≠1時,即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).(1)若等比數(shù)列{a

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