4.1.1方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪課件2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

浮來(lái)山上“千年古剎定林寺”曾是南北朝時(shí)期杰出的文學(xué)評(píng)論家劉勰的故居,距今已有1500多年的歷史,院內(nèi)有一棵銀杏樹(shù),樹(shù)齡達(dá)3500多年,號(hào)稱“天下第一銀杏樹(shù)”．

樹(shù)齡達(dá)3500多年,樹(shù)高26.3米,周粗15.7米,號(hào)稱“天下第一銀杏樹(shù)”.

銀杏,葉子夏綠秋黃,是全球中最古老的樹(shù)種.在200多萬(wàn)年前,第四紀(jì)冰川出現(xiàn),大部分地區(qū)的銀杏毀于一旦,殘留的遺體成為了印在石頭里的植物化石.在這場(chǎng)大災(zāi)難中,只有中國(guó)保存了一部分活的銀杏樹(shù),綿延至今,成了研究古代銀杏的活教材.所以,人們把它稱為“世界第一活化石”.

考古學(xué)家根據(jù)什么推斷出銀杏于200多萬(wàn)年前就存在呢?

實(shí)際上，考古學(xué)家所用的數(shù)學(xué)知識(shí)就是本章將學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù).

為了研究指數(shù)函數(shù)，我們需要把指數(shù)的范圍拓展到全體實(shí)數(shù).初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)整數(shù)指數(shù)冪.在學(xué)習(xí)冪函數(shù)時(shí)，我們把正方形場(chǎng)地的邊長(zhǎng)c關(guān)于面積S的函數(shù)計(jì)作.像這樣以分?jǐn)?shù)為指數(shù)冪，其意義是什么呢?下面從已知的平方根、立方根的意義入手展開(kāi)研究.例如，(±2)2=4，±2叫4的平方根.我們知道:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根.例如，23=8，2叫8的立方根.②如果x3=a,那么x叫做a的立方根.類似地，(±2)4=16，我們把±2叫16的4次方根;由于25=32，2叫32的5次方根.如果xn=a,那么x叫做

a

的n次方根,其中n>1,且n∈N*.一、n次方根(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正數(shù)a的n次方根有兩個(gè),這兩

個(gè)數(shù)互為相反數(shù).(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)；

負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí),a的n次方根用符號(hào)

表示；例如，

如果xn=a,那么x叫做

a

的n次方根,其中n>1,且n∈N*.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正數(shù)a的n次方根有兩個(gè),這兩

個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫(xiě)成.例如，(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a的n次方根為；負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.0的任何次方根都是0,計(jì)作.正數(shù)的奇次方根是正數(shù).負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù).零的奇次方根是零.n次方根的性質(zhì)(1)奇次方根有以下性質(zhì)：(2)偶次方根有以下性質(zhì)：正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根，零的偶次方根是零.根指數(shù)根式二、根式的概念與性質(zhì)被開(kāi)方數(shù)式子叫根式，這里n叫根指數(shù)，a叫被開(kāi)方數(shù).根據(jù)n次方根的意義，可得例如，,

.結(jié)論:an開(kāi)奇次方根,則有結(jié)論:an開(kāi)偶次方根,則有探究！表示an的n次方根，=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么等于什么？可以得到：=-8;=10;例1

求下列各式的值：根據(jù)n次方根的定義和數(shù)的運(yùn)算，我們知道(下面中的a>0)這就是說(shuō)，當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí),根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.思考？當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí),根式是否也可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式？我們希望整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，如(ak)n=akn，對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪仍然適用.由此，我們規(guī)定:三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)3.規(guī)定0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，冪ax中的x的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于有理指數(shù)冪也同樣適用，即對(duì)于?r,s∈Q，均有下面的運(yùn)算性質(zhì).例2求下列各式的值：例3利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(其

中a>0)：