2023高考數學(理)專題練習：專題六綜合測試題

專題六綜合測試題(時間：120分鐘總分值：150分)一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．復數z的共軛復數為eq\x\to(z)，假設|eq\x\to(z)|＝4，那么z·eq\x\to(z)＝()A．4B．2C．16D．±2解析：設z＝a＋bi，那么z·eq\x\to(z)＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.又|eq\x\to(z)|＝4，得eq\r(a2＋b2)＝4，所以z·eq\x\to(z)＝16.應選C.答案：C2．(2023·湖北)如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)，當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，那么系統(tǒng)正常工作的概率為()[來源:Zxxk.Com]A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576解析：K正常工作，概率P(A)＝0.9A1A2正常工作，概率P(B)＝1－P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)＝1－0.2×0.2＝0.96∴系統(tǒng)正常工作概率P＝0.9×0.96＝0.864.答案：B3．(2023·課標)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，那么這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：古典概型，總的情況共3×3＝9種，滿足題意的有3種，故所求概率為P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：A4．對變量x，y有觀測數據(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖1；對變量u，v有觀測數據(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖2.由這兩個散點圖可以判斷()A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關解析：夾在帶狀區(qū)域內的點，總體呈上升趨勢的屬于正相關；反之，總體呈下降趨勢的屬于負相關．顯然選C.答案：C5．某個容量為100的樣本的頻率分布直方圖如下圖，那么在區(qū)間[4,5)上的數據的頻數為()A．15B．20[來源:學科網]C．25D．30解析：在區(qū)間[4,5)的頻率/組距的數值為0.3，而樣本容量為100，所以頻數為30.應選D.答案：D6.(2023·遼寧丹東模擬)甲、乙兩名同學在五次測試中的成績用莖葉圖表示如圖，假設甲、乙兩人的平均成績分別是x甲、x乙，那么以下結論正確的是()[來源:學科網]A．x甲>x乙；乙比甲成績穩(wěn)定B．x甲>x乙；甲比乙成績穩(wěn)定C．x甲<x乙；甲比乙成績穩(wěn)定D．x甲<x乙；乙比甲成績穩(wěn)定解析：由題意得，x甲＝eq\f(1,5)×(68＋69＋70＋71＋72)＝eq\f(1,5)×350＝70，x乙＝eq\f(1,5)×(63＋68＋69＋69＋71)＝eq\f(1,5)×340＝68，所以x甲>x乙．又seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×(22＋12＋02＋12＋22)＝eq\f(1,5)×10＝2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×(52＋0＋12＋12＋32)＝eq\f(1,5)×36＝7.2，所以甲比乙成績穩(wěn)定．應選B.答案：B7．如下圖的矩形，長為12，寬為5，在矩形內隨機地投擲1000顆黃豆，數得落在陰影局部的黃豆為600顆，那么可以估計陰影局部的面積約為()A．12B．20C．24D．36解析：設圖中陰影局部的面積為S.由幾何概型的概率計算公式知，eq\f(S,12×5)＝eq\f(600,1000)，解之得S＝36.應選D.答案：D8．如下圖的流程圖，最后輸出的n的值是()A．3B．4C．5D．6解析：當n＝2時，22>22不成立；當n＝3時，23>32不成立；當n＝4時，24>42不成立；當n＝5時，25>52成立．所以n＝5.應選C.答案：C9．正四面體的四個外表上分別寫有數字1,2,3,4，將3個這樣的四面體同時投擲于桌面上，與桌面接觸的三個面上的數字的乘積能被3整除的概率為()A.eq\f(1,64)B.eq\f(13,64)C.eq\f(37,64)D.eq\f(61,64)解析：將正四面體投擲于桌面上時，與桌面接觸的面上的數字是1,2,3,4的概率是相等的，都等于eq\f(1,4).假設與桌面接觸的三個面上的數字的乘積能被3整除，那么三個數字中至少應有一個為3，其對立事件為“與桌面接觸的三個面上的數字都不是3〞，其概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)，故所求概率為1－eq\f(27,64)＝eq\f(37,64).答案：C10．用系統(tǒng)抽樣法從160名學生中抽取容量為20的樣本，將160名學生隨機地從1～160編號，按編號順序平均分成20組(1～8號，9～16號，…，153～160號)，假設第16組抽出的號碼為126，那么第1組中用抽簽的方法確定的號碼是()A．5B．6C．7D．8解析：設第1組抽出的號碼為x，那么第16組應抽出的號碼是8×15＋x＝126，∴x＝6.應選B.答案：B11．(2023·杭州市第一次教學質量檢測)體育課的排球發(fā)球工程考試的規(guī)那么是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，那么停止發(fā)球，否那么一直發(fā)到3次為止．設學生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數為X，假設X的數學期望E(X)>1.75，那么p的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))[來源:Z.xx.k.Com]解析：發(fā)球次數X的分布列如下表，X123Pp(1－p)p(1－p)2所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，解得p>eq\f(5,2)(舍去)或p<eq\f(1,2)，又p>0，應選C.答案：C12．(2023·濟寧一中高三模擬)某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位的二進制數A＝eq\x(a1)eq\x(a2)eq\x(a3)eq\x(a4)eq\x(a5)，其中A的各位數中，a1＝1，ak(2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為eq\f(1,3)，出現(xiàn)1的概率為eq\f(2,3).記ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，當程序運行一次時，ξ的數學期望E(ξ)＝()A.eq\f(8,27)B.eq\f(16,81)C.eq\f(11,3)D.eq\f(65,81)解析：ξ＝1，P1＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＝eq\f(1,34)，ξ＝2時，P2＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3·eq\f(2,3)＝eq\f(8,34)，ξ＝3時，P3＝Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(24,34)，ξ＝4時，P4＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(32,34)，ξ＝5時，P5＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,34)，E(ξ)＝1×eq\f(1,34)＋2×eq\f(8,34)＋3×eq\f(24,34)＋4×eq\f(32,34)＋5×eq\f(16,34)＝eq\f(11,3).答案：C二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分，將答案填在題中的橫線上．13．(2023·廣東湛江十中模擬)在可行域內任取一點，規(guī)那么如流程圖所示，那么能輸出數對(x，y)的概率為________．解析：如下圖，給出的可行域即為正方形及其內部．而所求事件所在區(qū)域為一個圓，兩面積相比即得概率為eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)14．(2023·山東濰坊模擬)給出以下命題：(1)假設z∈C，那么z2≥0；(2)假設a，b∈R，且a>b，那么a＋i>b＋i；(3)假設a∈R，那么(a＋1)i是純虛數；(4)假設z＝eq\f(1,i)，那么z3＋1對應的點在復平面內的第一象限．其中正確的命題是________．解析：由復數的概念及性質知，(1)錯誤；(2)錯誤；(3)錯誤，假設a＝－1，(a＋1)i＝0；(4)正確，z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1.答案：(4)15．(2023·上海)隨機抽取的9位同學中，至少有2位同學在同一月份出生的概率為________．(默認每個月的天數相同，結果精確到0.001)解析：P＝1－eq\f(A\o\al(9,12),129)≈0.985.答案：0.98516．假設某程序框圖如下圖，那么該程序運行后輸出的y等于________．解析：由圖中程序框圖可知，所求的y是一個“累加的運算〞，即第一步是3；第二步是7；第三步是15；第四步是31；第五步是63.答案：63三、解答題：本大題共6小題，共74分．解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題總分值12分)某班主任對全班50名學生學習積極性和對待班級工作的態(tài)度進行了調查，統(tǒng)計數據如下表所示：積極參加班級工作不太主動參加班級工作合計學習積極性高18725學習積極性一般61925合計242650(1)如果隨機抽查這個班的一名學生，那么抽到積極參加班級工作的學生的概率是多少？抽到不太主動參加班級工作且學習積極性一般的學生的概率是多少？(2)試運用獨立性檢驗的思想方法分析：學生的學習積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關系？并說明理由．(參考下表)P(K2≥k)0.50[來源:學科網]0.4000.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)積極參加班級工作的學生有24人，總人數為50人，概率為eq\f(24,50)＝eq\f(12,25)；不太主動參加班級工作且學習積極性一般的學生有19人，概率為eq\f(19,50).(2)K2＝eq\f(50×18×19－6×72,25×25×24×26)＝eq\f(150,13)≈11.5，∵K2>10.828，∴有99.9%的把握說學生的學習積極性與對待班級工作的態(tài)度有關系．18．(本小題總分值12分)在1996年美國亞特蘭大奧運會上，中國香港風帆選手李麗珊以驚人的耐力和斗志，勇奪金牌，為香港體育史揭開了“突破零〞的新一頁．在風帆比賽中，成績以低分為優(yōu)勝．比賽共11場，并以最正確的9場成績計算最終的名次．前7場比賽結束后，排名前5位的選手積分如表一所示：根據上面的比賽結果，我們如何比擬各選手之間的成績及穩(wěn)定情況呢？如果此時讓你預測誰將獲得最后的勝利，你會怎么看？解：由表一，我們可以分別計算5位選手前7場比賽積分的平均數和標準差，分別作為衡量各選手比賽的成績及穩(wěn)定情況，如表二所示．表二排名運發(fā)動平均積分(eq\x\to(x))積分標準差(s)1李麗珊(中國香港)3.141.732簡度(新西蘭)4.572.773賀根(挪威)5.002.514威爾遜(英國)6.293.195李科(中國)6.573.33從表二中可以看出：李麗珊的平均積分及積分標準差都比其他選手的小，也就是說，在前7場比賽過程中，她的成績最為優(yōu)異，而且表現(xiàn)也最為穩(wěn)定．盡管此時還有4場比賽沒有進行，但這里我們可以假定每位運發(fā)動在各自的11場比賽中發(fā)揮的水平大致相同(實際情況也確實如此)，因此可以把前7場比賽的成績看做是總體的一個樣本，并由此估計每位運發(fā)動最后的比賽的成績．從已經結束的7場比賽的積分來看，李麗珊的成績最為優(yōu)異，而且表現(xiàn)最為穩(wěn)定，因此在后面的4場比賽中，我們有足夠的理由相信她會繼續(xù)保持優(yōu)異而穩(wěn)定的成績，獲得最后的冠軍．19．(本小題總分值12分)(2023·蘇州五中模擬)設不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6,0≤y≤6))表示的區(qū)域為A，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6,x－y≥0))表示的區(qū)域為B，在區(qū)域A中任意取一點P(x，y)．(1)求點P落在區(qū)域B中的概率；[來源:學科網ZXXK](2)假設x、y分別表示甲、乙兩人各擲一次正方體骰子所得的點數，求點P落在區(qū)域B中的概率．解：(1)設區(qū)域A中任意一點P(x，y)∈B為事件M.因為區(qū)域A的面積為S1＝36，區(qū)域B在區(qū)域A中的面積為S2＝18.故P(M)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).(2)設點P(x，y)落在區(qū)域B中為事件N，甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點P(x，y)的個數為36，其中在區(qū)域B中的點P(x，y)有21個．故P(N)＝eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).20．(本小題總分值12分)某中學局部學生參加全國高中數學競賽，取得了優(yōu)異成績，指導老師統(tǒng)計了所有參賽同學的成績(成績都為整數，試題總分值120分)，并且繪制了“頻率分布直方圖〞(如圖)，請答復：(1)該中學參加本次數學競賽的有多少人？(2)如果90分以上(含90分)獲獎，那么獲獎率是多少？(3)這次競賽成績的中位數落在哪段內？(4)上圖還提供了其他信息，請再寫出兩條．解：(1)由直方圖(如圖)可知：4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)；(2)90分以上的人數為7＋5＋2＝14(人)，∴eq\f(14,32)×100%＝43.75%.(3)參賽同學共有32人，按成績排序后，第16個、第17個是最中間兩個，而第16個和第17個都落在80～90之間．∴這次競賽成績的中位數落在80～90之間．(4)①落在80～90段內的人數最多，有8人；②參賽同學的成績均不低于60分．21．(本小題總分值12分)(2023·陜西)如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60L1的頻率0.20.2L2的頻率[來源:學+科+網Z+X+X+K]00.1現(xiàn)甲、乙兩人分別用40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．(1)為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對(1)的選擇方案，求X的分布列和數學期望．解：(1)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內趕到火車站〞．Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到火車站〞，i＝1,2.用頻率估計相應的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，[來源:Z*xx*k.Com]P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲應選擇L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)>P(B1)，∴乙應選擇L2，(2)A，B分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由題意知，A，B獨立，∴P(X＝0)＝P(eq\x\to(AB))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝P(eq\x\to(A)B＋Aeq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq\x\to(B))＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54，∴X的分布列為X012P0.040.420.54∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.22．(本小題總分值14分)(2023·濰坊市高考適應訓練)2023年3月，日本發(fā)生了9.0級地震，地震引發(fā)了海嘯及核泄漏．某國際組織方案派出12名心理專家和18名核專家赴日本工作，臨行前對這30名專家進行了總分為1000分的綜合素質測評，測評成績用莖葉圖進行了記錄，如圖(單位：分)．規(guī)定測評成績在976分以上(包括976分)為“尖端專家〞，測評成績在976分以下為“高級專家〞，且只有核專家中的“尖端專家〞才可以獨立開展工作．這些專家先飛抵日本的城市E，再分乘三輛汽車到達工作地點福島縣．從城市E到福島縣有三條公路，因地震破壞了道路，汽車可能受阻．據了解：汽車走公路Ⅰ或Ⅱ順利到達的概率都為eq\f(9,10)；走公路Ⅲ順利到達的概率為eq\f(2,5)，甲、乙、丙三輛車分別走公路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，且三輛汽車是否順利到達相互之間沒有影響．(1)如果用分層抽樣的方法從“尖端專家〞和“高級專家〞中選取6人，再從這6人中選2人，那么至少有一人是“尖端專家〞的概率是多少？(2)求至少有兩輛汽車順序到達福島縣的概率；(3)假設從所有“尖端專家〞中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能獨立開展工作的人數，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數學期望．解：(1)根據莖葉圖，有“尖端專家〞10人，“高級專家〞20人，每個人被抽中的概率是eq\f(6,30)＝eq\f(1,5)，所以用分層抽樣的方法，選出的“尖端專家〞有10×eq\f(1,5)＝2人，“高級專家〞有20×eq\f(1,5)＝4人．用事件A表示“至少有一名‘尖端專家’被選中〞，那么它的對立事件eq\x\to(A)，表示“沒有一名‘尖端專家’被