自控原理-課件13chap

3.6.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定條件解：D(s)=1+G(s)H(s),D(s)=0即k=0.5或10,系統(tǒng)穩(wěn)定否?例如：單位負反饋系統(tǒng)的

求K=1時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。s3+s2+s+k=0,K=1s3+s2+s+1=0s2(s+1)+s+1=0(s2+1)(s+1)=0Roots-1,+j,–j系統(tǒng)穩(wěn)定？

系統(tǒng)穩(wěn)定k的取值范圍?第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法k1/s(s+2)R(s)C(s)閉環(huán)環(huán)傳遞函數(shù)例如，某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)4.1控制系統(tǒng)的根軌跡4.1.1根軌跡的基本概念根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上的變化軌跡。第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法極點性質(zhì)閉環(huán)極點閉環(huán)特征方程第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法K0.10.8124s1-0.005-0.4-1-1+j1.73-1+j3.87s2-1.995-1.6-1-1-j1.73-1-j3.87將特征根畫在s平面上將特征根隨增益的變化在s平面上軌跡稱為根軌跡-2-10-2jj-j-2jK=0.1k=1k=0.1K=2第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法根軌跡的作用-2-10-2jj-j-2jK=0.1k=1k=0.1K=2第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法G(s)H(s)R(s)C(s)4.1.2閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點的關(guān)系第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4.1.2閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點的關(guān)系第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4.1.2閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點的關(guān)系（1）系統(tǒng)的閉環(huán)零點由前向通道G(s)的零點和反饋通道H(s)的極點兩部分組成。單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)零點就是其開環(huán)零點。（2）系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于其前向通道的根軌跡增益。對于單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于其開環(huán)根軌跡增益。（3）閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點以及根軌跡增益有關(guān)。第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4.1.3根軌跡方程由特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0根軌跡方程G(s)H(s)=-1第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法模值條件幅角條件根軌跡的幅角方程是確定s平面上根軌跡的充分必要條件，這就是說，繪制根軌跡時，只需用使用幅角方程即可；而當需要確定根軌跡上各點的Kg值時，才需要使用模值方程。第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法模值條件相角條件ss-20S+2-1根軌跡方程說明第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法-2-10ReImS平面第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法首先：寫出特征方程并化成零極點的形式系統(tǒng)2：零點：-0.5極點為0,-5Kg=2k例如：某開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為1.G(s)H(s)=k(s+3)/s(s+2)2G(s)H(s)=k(2s+1)/s(s+5)寫出根軌跡方程，求出對應(yīng)的零點和極點。4.2根軌跡的繪制法則第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法【根軌跡性質(zhì)1】根軌跡是連續(xù)的4.2根軌跡的繪制法則【根軌跡性質(zhì)2】根軌跡關(guān)于實軸是對稱的【根軌跡性質(zhì)3】根軌跡的條數(shù)【根軌跡性質(zhì)4】根軌跡的起點與終點第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法根軌跡始于開環(huán)的極點，終止于開環(huán)的零點。起點終點對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，一般滿足，因此有n-m條根軌跡終止于無窮遠處n-m個無窮遠的零點第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法3個無窮遠的零點同理，對于例如：有三條根軌跡，無有限開環(huán)的零點,極點p=0,-2,-3,1個無窮遠的極點第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法【法則一】根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線限定了當根軌跡趨向于無窮遠時，根軌跡的走向與形狀。即根軌跡沿一組漸近線趨向于無窮遠處的開環(huán)零點。與正實軸的夾角記為與實軸的交點記為第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法n-m=1時，n-m=2時，n-m=3時，

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法-30S平面【法則二】實軸上的根軌跡分布-2-1s右方的實數(shù)極點與實數(shù)零點的總和為奇數(shù)時，s就是根軌跡上的點。第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法-2-1漸進線與實軸交點坐標0例4-1

設(shè)某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定系統(tǒng)根軌跡的條數(shù)、起點和終點、漸近線及實軸上的根軌跡分布。解

三條根軌跡，分別起始于0，-1，-2，沿漸近線區(qū)域無窮遠第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法畫出下列負反饋系統(tǒng)實軸上的根軌跡和漸進線第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法【法則三】根軌跡的分離點與會合點在復(fù)平面上，兩條或兩條以上的根軌跡相遇以后又立即分開的點稱為分離點或會合點。L為相遇根軌跡的條數(shù)在分離點或會合點上，根軌跡的切線與正實軸之間的夾角稱為根軌跡的分離角。分離角按下式計算：第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法z，p為有限開環(huán)零點和極點，無零點時左邊表達式為零。求例4-1的根軌跡的分離點分離點的位置可由下面幾種方法確定：

試探法、重根法、極值法（1）試探法：設(shè)分離點的坐標為d，則d滿足如下關(guān)系第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法解：方法1M(s)=1;N(s)=s(s+1)(s+2)=s3+3s2+2s由得S1,2=-1.577,-0.422用重根法求例4-1的根軌跡的分離點第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法解：由得d1d2

是否均為分離點嗎？d1,2=-1.577,-0.422第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法（2)重根法

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法解：由得例4-2：設(shè)負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求概略的根軌跡圖。兩條根軌跡，分別起始于0和-1，其中一條終止于-2，一條沿漸近線趨于無窮遠漸近線與實軸正方向的夾角為1800，即漸近線沿負實軸趨于無窮遠第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法解：由得畫出實軸上的根軌跡。存在分離點，為d,滿足d1d2

是否均為分離點嗎？概略畫出下列系統(tǒng)的根軌跡第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法【法則四】根軌跡與虛軸的交點1）在D(s)=0中，令s=jw，特征方程：1+k/s(s+1)(s+2)＝０s3+3s2+2s+k=0S312S23kS1(6-k)/3S0k(6-k)/3=0,k=62）應(yīng)用Routh判據(jù)求解，求特征方程的虛根。使Routh表發(fā)生特殊情況。（第一列的元素為零）3s2+k=0

s2=-k/3=-2s=j1.414,-j1.414第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法畫出下列負反饋系統(tǒng)實軸上的根軌跡和漸進線第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法畫出下列負反饋系統(tǒng)實軸上的根軌跡和漸進線根軌跡示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同學(xué)們，頭昏了吧？第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法【法則五】根軌跡的入射角和出射角-2-1-j為一對共軛開環(huán)復(fù)數(shù)極點，在該極點處根軌跡的出射角為第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法-2-1-j為一對共軛開環(huán)復(fù)數(shù)零點，在該極點處根軌跡的入射角為第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法-2-1-j某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為GH=k(s+1)/s(s+4)(s2+2s+2)，畫出概略的根軌跡。零點：-1極點：0，-4,–1+j,-1-j第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法零點：-1極點：0，-4,–1+j,-1-j漸進線:n-m=3,600,1800,-6000-4-1+j-1-j-(-1)/3=-5/3出射角:第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法練習(xí)：繪制下列系統(tǒng)的根軌跡圖第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法繪制根軌跡圖的Matlab命令rlocus(num,den)或rlocus(num,den,k）計算根軌跡坐標值和增益的命令[k,p]=rlocfind()4.3.1參數(shù)根軌跡例題:某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)參數(shù)b變化的根軌跡.只要通過對系統(tǒng)閉環(huán)特征方程做簡單處理的基礎(chǔ)上，引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，則常規(guī)根軌跡的所有繪制法則，均可以用于參數(shù)根軌跡的繪制。以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡，與此對應(yīng)，稱以Kg為可變參數(shù)的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。

4.3.1參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡的繪制步驟是，首先將系統(tǒng)的特征方程進行等效變換，整理成如下形式等效開環(huán)傳遞函數(shù)繪制參數(shù)根軌跡的法則與繪制常規(guī)根軌跡的法則完全相同。4.3.1參數(shù)根軌跡解:寫出特征方程,求出等效傳遞函數(shù)。4.3參數(shù)根軌跡（參變量系統(tǒng)的根軌跡）出射角閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為4.3參數(shù)根軌跡（參變量系統(tǒng)的根軌跡）例如：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以把上式整理為如下形式例如：多項式方程的根軌跡4.3繪制00根軌跡根軌跡方程化為模值條件不變：相角條件為：根軌跡的漸進線；實軸上的根軌跡；根軌跡的出射角與入射角4.3繪制00根軌跡的基本法則根軌跡的漸進線；漸進線與實軸夾角的計算公式為實軸上的根軌跡；實軸上右側(cè)的開環(huán)零點和極點數(shù)和為偶數(shù)時，則是根軌跡段。如某系統(tǒng)的根軌跡方程為：4.3繪制00根軌跡的基本法則根軌跡的出射角與入射角4.3繪制00根軌跡的基本法則例題：單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)概略的根軌跡解：寫出閉環(huán)特征方程開環(huán)的零點、極點z1=-1,p1=-2,p2=-44.3.2繪制00根軌跡的基本法則漸進線可通過分離點公式求出具體坐標值。4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法

采用根軌跡分析方法，首先根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，然后在根軌跡圖上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、計算系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)定性能等。然而，在系統(tǒng)初步設(shè)計過程中，重要的方面往往不是如何求出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，而是如何根據(jù)已知的閉環(huán)零、極點定性地分析系統(tǒng)的性能。4.5.1閉環(huán)零極點與時間響應(yīng)4.5.2系統(tǒng)性能的定性分析

4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法接近虛軸，其鄰近沒有零點的閉環(huán)極點應(yīng)用根軌跡法，根據(jù)對系統(tǒng)的要求，確定系統(tǒng)在某一參數(shù)下，閉環(huán)的極點位置.根據(jù)閉環(huán)零極點定性分析系統(tǒng)的性能主導(dǎo)極點偶極子相距很近的零、極點。10相對距離<模值4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法主導(dǎo)極點法采用主導(dǎo)極點代替全部的閉環(huán)極點來估算系統(tǒng)的性能指標選留主導(dǎo)極點，略去不十分接近原點的偶極子，以及比主導(dǎo)極點距虛軸遠6倍以上的閉環(huán)零、極點。4.5.2系統(tǒng)性能的定性分析（1）穩(wěn)定性（2）運動形態(tài)（3）阻尼性（4）快速性在根軌跡圖上獲得4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法參看例題4-11解：繪制概略根軌跡圖，計算d=-1,Kd=4,Kw=54（1）穩(wěn)定性（2）運動形態(tài)（3）阻尼性（4）快速性4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法通過改變根軌跡圖來改變閉環(huán)極點分布(1)開環(huán)零極點的影響（2）偶級子的影響（3）參看例題4-124.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法開環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)根軌跡的影響4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法設(shè)某閉環(huán)系統(tǒng)的原開環(huán)傳遞函數(shù)為，其根軌跡如圖4-22所示。當在以下三種情況下，討論閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡和控制系統(tǒng)性能有哪些變化？（1）增加開環(huán)極點（2）增加開環(huán)實零極點（3）增加一對開環(huán)偶極子4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法解（1）增加開環(huán)極點如給G0(s)附加一個原點極點，即串接一個積分環(huán)節(jié),則開環(huán)傳遞函數(shù)為4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法（2）增加開環(huán)零點在原開環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)一個s=-3的零點后,開環(huán)傳遞函數(shù)成為4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法（3）增加開環(huán)偶極子在s平面原點附近的負實軸上增加一對開環(huán)偶極子，并使z0=γp0,γ>1(即零點在極點的左邊)。則可基本不改變原根軌跡的形狀，而使系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)提高到原來的γ倍，即若取p0=0.02，γ=5，z0=0.1，其根軌跡如圖4-25所示開環(huán)增益增加了5倍。4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法

(開環(huán)偶極子對根軌跡的影響)在開環(huán)傳遞函數(shù)中,合理配置偶極子,可改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能.不影響根軌跡的形狀不影響根軌跡點的根軌跡增益4.5參數(shù)根軌跡在比例微分控制中，分析當K=0.25,1,5,10時，Ta對系統(tǒng)性能的影響。閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程開環(huán)傳遞函數(shù)當k=0.254.5參數(shù)根軌跡在根軌跡上，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、計算系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能當k=1當k=10當k=5第四章習(xí)題簡答··4-3繪制下列系統(tǒng)負反饋系統(tǒng)的根軌跡，開環(huán)傳遞函數(shù)為解：m=0,無開環(huán)零點

n=4,開環(huán)極點p1=0,p2=-2,p3=-1+j,p4=-1-j漸進線：交點-1,交角450，1350，-1350，-450分離點：d=-1第四章習(xí)題簡答··4-3繪制下列系統(tǒng)負反饋系統(tǒng)的根軌跡，開環(huán)傳遞函數(shù)為解：m=1,開環(huán)零點z=-2

n=4,開環(huán)極點p1=0,p2=-3,p3=-1+j,p4=-1-j漸進線：交點-1,交角600，1800，-600出射角

：-26.70,26.70第四章習(xí)題簡答··4-6繪制下列系統(tǒng)負反饋系統(tǒng)的根軌跡，開環(huán)傳遞函數(shù)為解：化為根軌跡的標準形式漸進線：分離點

：d=-0.422,與虛軸的交點：k=3,s=j1.414系統(tǒng)穩(wěn)定：0<k<3第四章習(xí)題簡答··若阻尼=0.5，求系統(tǒng)的性能指標在根軌跡上找出閉環(huán)極點s1及對應(yīng)的其他極點第四章習(xí)題簡答··4-7單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫根軌跡（2）分析k對系統(tǒng)性能的影響，求最小阻尼比所對應(yīng)的閉環(huán)極點解：分離點

：d=-0.無需計算與虛軸的交點第四章習(xí)題簡答··最小阻尼比根據(jù)幾何關(guān)系求出根軌跡上閉環(huán)極點s1第四章習(xí)題簡答··4-10在負反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（1）畫根軌跡，討論穩(wěn)定性（2）H(s)=1+2s,分析H對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.解：m=0,無開環(huán)零點

n=4,開環(huán)極點p1=0,p2=0,p3=-2,p4=-5漸進線：交點-7/3,交角（度）45，135，-135，-45分離點：d=-4第四章習(xí)題簡答··第四章習(xí)題簡答··解：m=1,開環(huán)零點z=-0.5

n=4,開環(huán)極點

p1=0,p2=0,p3=-2,p4=-5漸進線：交點-6.5/3,交角600，1800，-600計算與虛軸的交點系統(tǒng)穩(wěn)定：0<k<22.45第四章習(xí)題已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為