【學(xué)海導(dǎo)航】高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 9.8 空間的距離課件

第九章

直線、平面、簡單幾何體19.8空間的距離考點(diǎn)搜索●空間兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，兩條平行直線間的距離，兩條異面直線間的距離，直線到與它平行的平面的距離，兩個(gè)平行平面間的距離高2高考猜想1.用幾何法或向量法求點(diǎn)到平面的距離是考查的重點(diǎn).2.利用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，融計(jì)算與證明于一體解決有關(guān)距離的問題，是高考試題的基本走向.3

1.兩點(diǎn)間的距離——連結(jié)兩點(diǎn)的①______的長度.

2.點(diǎn)到直線的距離——從直線外一點(diǎn)向直線引垂線，②__________________的長度.3.點(diǎn)到平面的距離——從點(diǎn)向平面引垂線，③____________________的長度.

4.平行直線間的距離——從兩條平行線中一條上任意取一點(diǎn)向另一條直線引垂線，④_________________的長度.線段點(diǎn)與垂足的連線段點(diǎn)與垂足的連線段點(diǎn)與垂足的連線段4

5.異面直線間的距離——兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的⑤_____的長度.

6.直線與平面間的距離——如果一條直線和一個(gè)平面平行，從直線上任意一點(diǎn)向平面引垂線，⑥__________________的長度.

7.兩平行平面間的距離——夾在兩個(gè)平面之間的⑦_(dá)__________的長度.點(diǎn)與垂足的連線段線段公垂線段5

8.若線段AB∥平面α，則兩端點(diǎn)A、B到平面α的距離⑧______；若線段AB的中點(diǎn)在平面α內(nèi)，則兩端點(diǎn)A、B到平面α的距離⑨______.

9.設(shè)PA為平面α的一條斜線段，A為斜足，n為平面α的一個(gè)法向量，點(diǎn)P到平

面α的距離為d，則d=⑩________.相等相等6

10.如圖，AB為異面直線a、b的公垂

線,AC=m,BD=n,CD=l,a、b所成的角為θ,則AB=

___________________.

盤點(diǎn)指南：①線段；②點(diǎn)與垂足的連線段;③點(diǎn)與垂足的連線段;④點(diǎn)與垂足的連線段；⑤線段；⑥點(diǎn)與垂足的連線段；⑦公垂線段；⑧相等；⑨相等；⑩;11117

ABCD是邊長為2的正方形，以BD為棱把它折成直二面角A-BD-C，E是CD的中點(diǎn)，則異面直線AE、BC的距離為()A.B.C.D.1

解：易證CE是異面直線AE與BC的公垂線段，其長為所求.易得CE=1，所以選D.D8

在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一點(diǎn)P到A、B、C的距離都是14，則P到α的距離是()A.13B.11C.9D.7

解：作PO⊥α于點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB、OC.因?yàn)镻A=PB=PC，所以O(shè)A=OB=OC.所以O(shè)是△ABC的外心.所以所以,所以選B.B91.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn)，求點(diǎn)D1到平面BDE的距離.

解法1：連結(jié)B1D1，則B1D1∥BD，所以B1D1∥平面BDE.分別取BD、B1D1的中點(diǎn)M、N，題型1求點(diǎn)到平面的距離10連結(jié)MN、ME、MC.因?yàn)锽D⊥⊥MC，BD⊥⊥CC1，所以BD⊥平面MNC1C.所以平平面BDE⊥平面MNC1C，且ME為它們們的交交線.過點(diǎn)N作NH⊥⊥ME，垂足足為H，則NH⊥平面BDE，所以NH等于點(diǎn)點(diǎn)D1到平面面BDE的距離離.11由已知知可得得MN=2，MC=，CE=1，從而ME=.在Rt△△MHN中，NH=MNsin∠∠NMH=MNcos∠∠EMC=MN·故點(diǎn)D1到平面面BDE的距離離是.12解法2：設(shè)點(diǎn)D1到平面面BED的距離離為d.因?yàn)閂D1-BDE=VB-DD1E，BC⊥平面CC1D1D，所以S△BDE·d=S△DD1E·BC.取BD的中點(diǎn)點(diǎn)M，連結(jié)結(jié)EM，則EM⊥BD.由已知知可得得，BD=，所以S△BDE=BD·ME=.又S△DD1E=××2×1=1，BC=1，13所以d=1，則d=.故點(diǎn)D1到平面BDE的距離是.解法3：如圖所示建建立空間直直角坐標(biāo)系系,則B(1,1,0),E(0,1,1),D1(0,0,2).設(shè)n=(x，y，z)為平面BDE的一個(gè)法向向量.因?yàn)閚⊥，n⊥，所以，即14取x=1，則y=-1，z=1.所以n=(1，-1，1)，所以n·=2，|n|=.所以點(diǎn)D1到平面BDE的距離15點(diǎn)評：求點(diǎn)到平面面的距離，，一般是先先找到點(diǎn)在在平面內(nèi)的的射影，然然后轉(zhuǎn)化為為求這兩點(diǎn)點(diǎn)連線段的的長度，利利用解三角角形知識可可求得.若若用向量法法來解，先先求得平面面的一個(gè)法法向量，然然后求此點(diǎn)點(diǎn)與平面內(nèi)內(nèi)任意一點(diǎn)點(diǎn)連線的向向量在法向向量上的投投影長度即即為所求的的距離.16如圖，在四四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中點(diǎn)O為球心、AC為直徑的球球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N.求點(diǎn)N到平面ACM的距離.解法1：在Rt△PAC中，PC=.因?yàn)锳N⊥NC，由,得PN=.17所以NC∶∶PC=5∶9.故N點(diǎn)到平面ACM的距離等于于P點(diǎn)到平面ACM的距離的.依題設(shè)知，，AC是所作球面面的直徑，，則AM⊥MC.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面ＰＡＤＤ，則CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以AM⊥PD，又PA=AD,則M是PD的中點(diǎn).18所以P、D到平面ACM的距離相等等.易得AM=且M到平面ABCD的距離為2,則,S△ACD=4.設(shè)D到平面ACM的距離為h，由VD-ACM=VM-ACD，即h=8,可求得h=，所以所求距離離為.19解法2:如圖所示，建建立空間直角角坐標(biāo)系，則則A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),設(shè)平面面ACM的一個(gè)法向量量n=(x,y,z),由n⊥,n⊥，可得令z=1,則n=(2,-1,1).由條件可得，，AN⊥NC.20在Rt△PAC中，PA2=PN·PC,所以PN=,則NC=PC-PN=,所以,所以所求距離離等于點(diǎn)P到平面ACM的距離的.設(shè)點(diǎn)P到平面ACM的距離為h，則h=,所以所求的距距離為.212.在長方方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，求直直線AF到平面CD1E的距離.解法1：連結(jié)DE，交AF于點(diǎn)M.在矩形ABCD中，因?yàn)锳B=2，AD=1，E為AB的中點(diǎn)所以CE⊥DE.又D1D⊥CE，所以CE⊥平面D1DE，題型2求平行線面間間的距離22所以平面CD1E⊥平面D1DE，且它們的交線是D1E.過點(diǎn)M作MN⊥D1E，垂足為N，則MN⊥平面CD1E，所以MN的長即為點(diǎn)M到平面CD1E的距離.由已知，DE=，DD1=1，所以D1E=又F是CD的中點(diǎn)，所以以M是DE的中點(diǎn)，故ME=.23由△ENM∽△EDD1，得，所以MN=.因?yàn)锳F∥平面CD1E，所以點(diǎn)M到平面CD1E的距離即為直直線AF到平面CD1E的距離.故直線AF到平面CD1E的距離為.24解法2：如圖所示建立立空間直角坐坐標(biāo)系，則E(1，1，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)所以=(0，1，0)，=(1，-1，0)，=(0，-2，1).設(shè)n=(x，y，z)為平面CD1E的法向量.由得取y=1，則x=1，z=2.25所以n=(1，1，2)，所以以n·=1，|n|=.所以點(diǎn)點(diǎn)A到平面面CD1E的距離離.因?yàn)锳F∥∥平面CD1E，所以以點(diǎn)A到平面面CD1E的距離離即為為直線線AF到平面面CD1E的距離離.故直線線AF到平面面CD1E的距離

點(diǎn)評：求平行線面間的距離,也就是轉(zhuǎn)化為求該線上某點(diǎn)到平面的距離，然后求得的點(diǎn)面距離即為線面距離.26在棱棱長長為為4的的正正方方體體ABCD-A1B1C1D1中，，M、、N、、E、、F分別別是是A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中中點(diǎn)點(diǎn)，，求求平平面面AMN與平平面面BDEF間的的距距離離.解：：如圖圖所所示示建建立立空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系，，則E(0，，2，，4)，，B(4，，4，，0)，，A(4，，0，，0).所以以=(0，，2，，4)，，=(4，，4，，0)，，=(0，，4，，0).27設(shè)n=(x，，y，，z)為為平平面面BDEF的法法向向量量.由得取y=2，，則則x=-2，，z=-1.所以以n=(-2，，2，，-1)，，所所以以n·=8，，|n|=3.所以以點(diǎn)點(diǎn)A到平平面面BDEF的距距離離故平平面面AMN與平平面面BDEF間的的距距離離為為.281.四棱棱錐錐P-ABCD的底底面面是是邊邊長長為為a的正正方方形形，，PA⊥底面面ABCD，PA=a，求求異異面面直直線線PC和AB的距距離離.解法法1：分分別別取取AB、PC的中中點(diǎn)點(diǎn)M、N，連連結(jié)結(jié)PM、CM、MN.由已已知知可可得得△PAM≌≌△△CBM，所以以PM=CM，從從而而MN⊥⊥PC.連結(jié)結(jié)AC，取AC的中中點(diǎn)點(diǎn)E，連連結(jié)結(jié)ME、NE，則ME∥∥BC，NE∥∥PA.題型異異面直直線間的的距離29因?yàn)锳B⊥BC，AB⊥PA，所以AB⊥⊥ME，AB⊥NE，從而AB⊥平面MNE，所以AB⊥⊥MN，所以MN為異面直直線PC和AB的公垂線線.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以NE⊥平面ABCD.在Rt△MEN中，所以故異面直直線PC和AB的距離是是.30解法2：如圖所示示建立空空間直角角坐標(biāo)系系.由已知可可得，P(0，0，a)，B(a，0，0)C(a，a，0)，所以=(0，0，a)，=(a，0，0)，=(a，a，-a).設(shè)n=(x，y，z)為異面直直線PC和AB的公垂線線的一個(gè)個(gè)方向向向量.由得得31取z=1，則x=0，y=1.所以n=(0，1，1)，從而n·=a，|n|=.因?yàn)橄蛄苛吭趎方向上的的投影長長故異面直直線PC和AB的距離為為.322.在四棱錐錐P-ABCD中，底面面ABCD為矩形，，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn).過點(diǎn)E作平面PAC

解法1：在平面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線，交AB于F，則∠ADF=.題型點(diǎn)點(diǎn)到直線線的距離離33連結(jié)PF，則在Rt△ADF中，因?yàn)镈F⊥AC，DF⊥PA，所以DF⊥平面PAC.又因?yàn)镹E⊥平面PAC，且點(diǎn)E在側(cè)面PAB內(nèi)，所以NE∥DF且N為PF的中點(diǎn).所以點(diǎn)N到AB的距離為AP=1，故點(diǎn)N到AP的距離為.34解法2：如圖所示建建立空間由于點(diǎn)N在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x，0，z)，則

=(-x,12,1-z).由NE⊥平面PAC，可得即