概率課件-第一章1-5獨(dú)立事件

一、事件的相互獨(dú)立性二、獨(dú)立試驗(yàn)序列概型第五節(jié)事件的獨(dú)立性一、事件的相互獨(dú)立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件A

的發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率有影響.1.問(wèn)題的提出問(wèn)：在任何情形下，式子都成立嗎？則有引例盒中有5個(gè)球(3綠2紅)，每次取出一個(gè)，有放回地取兩次，記A

＝第一次抽取，取到綠球，B

＝第二次抽取，取到綠球，這說(shuō)明，在有些情形下，事件A

的發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率并沒(méi)有影響.2.兩個(gè)事件的獨(dú)立注

1o說(shuō)明

事件A與B相互獨(dú)立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無(wú)關(guān).(1)定義1.92o獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個(gè)不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如二者之間沒(méi)有必然聯(lián)系獨(dú)立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關(guān)系11由此可見(jiàn)兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥.由此可見(jiàn)兩事件互斥但不獨(dú)立.又如:兩事件相互獨(dú)立.兩事件互斥可以證明：

特殊地，A與B

獨(dú)立A與B

相容(不互斥),

或A與B

互斥A與B

不獨(dú)立.證若A與B獨(dú)立,則

即A與B

不互斥(相容).若A與B互斥，則AB=,B發(fā)生時(shí)，A一定不發(fā)生.這表明:B的發(fā)生會(huì)影響A發(fā)生的可能性(造成A不發(fā)生),即B的發(fā)生造成A發(fā)生的概率為零.所以A與B不獨(dú)立.BA逆否命題的理解:1)必然事件

及不可能事件與任何事件A相互獨(dú)立.證∵A=A,P()=1,∴P(A)=P(A)=1?P(A)=P()P(A).即與A獨(dú)立.∵A=,P()=0,∴P(A)=P()=0=P()P(A).即與A獨(dú)立.(2)性質(zhì)1.52)

若事件A與B相互獨(dú)立,則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立.①②③證①注

稱(chēng)此為二事件的獨(dú)立性關(guān)于逆運(yùn)算封閉.又∵A與B相互獨(dú)立,③的概率為0.6,乙擊中敵機(jī)的概率為0.5,求敵機(jī)不被擊中的概率.解設(shè)A={甲擊中敵機(jī)},B={乙擊中敵機(jī)},C={敵機(jī)不被擊中},由于甲，乙同時(shí)射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以A與B獨(dú)立,則例1甲,乙兩人同時(shí)向敵人炮擊,已知甲擊中敵機(jī)依題設(shè),3.多個(gè)事件的獨(dú)立性

(1)

三事件兩兩相互獨(dú)立的概念定義定義1.10(2)三事件相互獨(dú)立的概念

一個(gè)均勻的正四面體,其第一面染成紅色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以A,B,C

分別記投一次四面體出現(xiàn)紅,白,黑顏色朝下的事件,問(wèn)A,B,C是否相互獨(dú)立?解

因此又由題意知伯恩斯坦反例例2由于在四面體中紅,白,黑分別出現(xiàn)兩面,故有因此A、B、C不相互獨(dú)立.則三事件A,B,C兩兩獨(dú)立.由于

若事件A1，A2，…，An

中任意兩個(gè)事件相互獨(dú)立，即對(duì)于一切1≤i<j≤n,有定義(3)n

個(gè)事件的獨(dú)立性注

設(shè)A1，A2，…，An為n個(gè)事件，若對(duì)于任意k(2≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n

定義1.11（4）兩個(gè)結(jié)論n個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式:設(shè)事件相互獨(dú)立,則

也相互獨(dú)立即n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于1減去各自對(duì)立事件概率的乘積.結(jié)論的應(yīng)用假設(shè)每個(gè)人血清中是否含有肝炎病毒相互獨(dú)立，混合100個(gè)人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.解則例3若每個(gè)人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%,依題設(shè)，一個(gè)元件的可靠性：該元件正常工作的概率.一個(gè)系統(tǒng)的可靠性：由元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率.

設(shè)一個(gè)元件的可靠性為r.如果一個(gè)系統(tǒng)由2n個(gè)元件組成，每個(gè)元件能否正常工作是相互獨(dú)立的.(1)

求下列兩個(gè)系統(tǒng)Ⅰ和Ⅱ的可靠性；(2)問(wèn)：哪個(gè)系統(tǒng)的可靠性更大？事件的獨(dú)立性在可靠性理論中的應(yīng)用：例4系統(tǒng)Ⅰ.系統(tǒng)Ⅱ.設(shè)B1={系統(tǒng)Ⅰ正常工作},①②…n+22nn+1…12n…n+22nn+112n解

B2={系統(tǒng)Ⅱ正常工作}設(shè)C={通路①正常工作}，D={通路②正常工作}∵每條通路正常工作通路上各元件都正常工作,而系統(tǒng)Ⅰ正常工作兩條通路中至少有一條正常工作.系統(tǒng)Ⅰ.①②…n+22nn+1…12n考察系統(tǒng)Ⅰ:∴

系統(tǒng)Ⅰ正常工作的概率:系統(tǒng)Ⅱ正常工作通路上的每對(duì)并聯(lián)元件正常工作.

B2={系統(tǒng)Ⅱ正常工作}考察系統(tǒng)Ⅱ:…n+22nn+112n所以，系統(tǒng)Ⅱ正常工作的概率：(2)問(wèn)：哪個(gè)系統(tǒng)的可靠性更大？即系統(tǒng)Ⅱ的可靠性比系統(tǒng)Ⅰ的大.二、獨(dú)立試驗(yàn)序列概型1.定義1.12(獨(dú)立試驗(yàn)序列)設(shè){Ei

}(i=1,2,…)是一列隨機(jī)試驗(yàn),Ei的樣本空間為i,設(shè)Ak

是Ek中的任一事件,Ak

k,若Ak發(fā)生的概率都不依賴(lài)于其它各次試驗(yàn)Ei(ik)的結(jié)果,則稱(chēng){Ei

}是相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)序列,簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立試驗(yàn)序列.例5解

令表示此k個(gè)數(shù)字中最大者不大于m這一事件，則顯然，，令，則從1,2,...,10個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，取后還原，連取k次，獨(dú)立進(jìn)行試驗(yàn)，試求此k個(gè)數(shù)字中最大者是m(m≤10)這一事件Bm的概率.則稱(chēng)這n次重復(fù)試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).若n

次重復(fù)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：1)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)A或2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，(在各次試驗(yàn)中p是常數(shù)，保持不變）2.n

重伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)實(shí)例3

(球在盒中的分配問(wèn)題)設(shè)有n

個(gè)球，N個(gè)盒子.試驗(yàn)E：觀(guān)察一個(gè)球是否投進(jìn)某一指定的盒中.A={該球進(jìn)入指定的盒中},實(shí)例1

拋一枚硬幣觀(guān)察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗(yàn).實(shí)例2

拋一顆骰子n次,觀(guān)察是否“出現(xiàn)

1點(diǎn)”,就是

n重伯努利試驗(yàn).B={某指定的盒中恰有m個(gè)球},求P(B).易知，設(shè)En:觀(guān)察n個(gè)球是否投進(jìn)某一指定的盒中,則En是將E重復(fù)了n次，是伯努利試驗(yàn).解一般地，對(duì)于伯努利試驗(yàn)，有如下公式：如果在伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),則在n次試驗(yàn)中，A恰好發(fā)生k

次的概率為：3.二項(xiàng)概率公式定理推導(dǎo)如下:且兩兩互不相容.稱(chēng)上式為二項(xiàng)概率公式.記為經(jīng)計(jì)算得解例6個(gè)可供選擇的答案，其中一個(gè)為正確答案，今有一考生僅會(huì)做6道題，有4道題不會(huì)做.于是隨意填寫(xiě)，試問(wèn)能碰對(duì)m(m=0,1,2,3,4)道題的概率.設(shè)某考卷上有10道選擇題，每道選擇題有4幾何公式4.幾何公式解例7把能打開(kāi)這個(gè)門(mén)，他隨機(jī)地選取一把鑰匙開(kāi)門(mén)，即每次以1/n的概率被選中，求該人在第k次打開(kāi)門(mén)的概率.一個(gè)人開(kāi)門(mén)，他共有n把鑰匙，其中僅有一內(nèi)容小結(jié)4.二項(xiàng)分布

5.幾何分布再見(jiàn)備用題例1-1設(shè)A,B相互獨(dú)立，且兩個(gè)事件僅A發(fā)生的概率或僅B發(fā)生的概率都是1/4，求P(A)與P(B).解例1-2解四張卡片上依次標(biāo)有下列各組數(shù)字：110，101，011，000.

從袋中任取一張卡片，記證明Ai={取到的卡片第i位上的數(shù)字為1},i=1,2,3.設(shè)一個(gè)口袋里裝有四張形狀相同的卡片.在這例2-1(1)110，101，011，000證例2-2染紅色，1,2,3,5面染白色，1,6,7,8面染上黑色,以A，B，C表示投擲一次正八面體出現(xiàn)紅,白,黑色的事件，則但兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立若有一個(gè)均勻正八面體，其1,2,3,4面0.2,若10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,問(wèn)擊落飛機(jī)的概率是多少?解事件B為“擊落飛機(jī)”,射擊問(wèn)題例3-1設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是例3-2(小概率事件)試證當(dāng)購(gòu)買(mǎi)次數(shù)n→∞時(shí),A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.證以表示在第k次中出現(xiàn)，則若某種博彩獲頭獎(jiǎng)這一事件A的概率為ε=10-8,擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.解

A,B,C

分別表示甲、乙、丙擊中敵機(jī),例3-3甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人因而,由全概率公式得飛機(jī)被擊落的概率為該批樂(lè)器中隨機(jī)地取3件測(cè)試(設(shè)3件樂(lè)器的測(cè)試是相互獨(dú)立的),如果3件中至少有一件在測(cè)試中被認(rèn)為音色不純,則這批樂(lè)器就被拒絕接收.設(shè)一件音色不純的樂(lè)器經(jīng)測(cè)試查出其為音色不純的概率為0.95;而一件音色純的樂(lè)器經(jīng)測(cè)試被誤認(rèn)為不純的概率為0.01.如果已知這100件樂(lè)器中恰有4件是音色不純的.試問(wèn)這批樂(lè)器被接收的概率是多少?解例3-4要驗(yàn)收一批(100件)樂(lè)器.驗(yàn)收方案如下:自純的樂(lè)器,經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為音色純的概率為0.99,已知一件音色而一件音色不純的樂(lè)器,經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為音色純的概率為0.05,并且三件樂(lè)器的測(cè)試是相互獨(dú)立的,于是有例4-1設(shè)電路由A,B,C三個(gè)元件組成，若元件A,B,C發(fā)生故障的概率分別為0.3,0.2,0.2，且各元件獨(dú)立工作，是在以下情況下，求此電路發(fā)生故障的概率：(1)A,B,C三個(gè)元件串聯(lián)；(2)A,B,C三個(gè)元件并聯(lián)；(3)元件A與兩個(gè)并聯(lián)的元件B及C串聯(lián)而成.解

設(shè)事件A,B,C分別表示元件A,B,C發(fā)生故障.(1)因?yàn)榇?lián)電路中任一元件發(fā)生故障，則電路發(fā)生故障，于是所求概率為(2)因?yàn)椴⒙?lián)電路中所有元件發(fā)生故障，則電路發(fā)生故障，于是所求概率為(3)由題意知，所求概率為例4-2某系統(tǒng)如圖所示,各繼電器接點(diǎn)閉合的概率均為p，且各繼電器接點(diǎn)的閉合式相互獨(dú)立得的，求各系統(tǒng)是通路的概率.234（a）1234561（b）解將系統(tǒng)分為子系統(tǒng)，子系統(tǒng)又分為并聯(lián)與串聯(lián)，實(shí)行分步驟方法來(lái)求系統(tǒng)是通路的概率.(1)第一個(gè)子系統(tǒng)中2與3是串聯(lián)，線(xiàn)路接通是交事件，由獨(dú)立性，接通的概率為p2;而1與2，3是并聯(lián)第二個(gè)子系統(tǒng)接通的概率為p，與第一個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)是交事件，故通路的概率為(2)系統(tǒng)由三個(gè)大的系統(tǒng)并聯(lián)而成，逐個(gè)求出是通路的概率再合成求系統(tǒng)的概率.第一個(gè)子系統(tǒng)中1,2是并聯(lián)，1,2與3是串聯(lián)，所以是通路的概率為第二個(gè)子系統(tǒng)是通路的概率是p，第三個(gè)子系統(tǒng)由5,6串聯(lián)而成，是通路的概率為p2.例5-1

在一批N個(gè)產(chǎn)品中有M個(gè)次品，每次任取一件，觀(guān)察后放回，求：(1)n次都取得正品的概率；(2)n次中至少有一次取得正品的概率.解例5-2設(shè)4次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率相等，若已知A至少發(fā)生一次的概率為0.59，則A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為多少?解例6-1(保險(xiǎn)問(wèn)題)等于0.005，現(xiàn)有10000個(gè)這類(lèi)人參加投保，試求在未來(lái)一年中在這些保險(xiǎn)者里面：(1)有40個(gè)人死亡的概率；(2)死亡人數(shù)不超過(guò)70個(gè)人的概率.解(1)設(shè)A表示40個(gè)人死亡,則(2)設(shè)B表示死亡人數(shù)不超過(guò)70,

則若一年中某類(lèi)保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率解例6-2查，共取5件樣品，計(jì)算這5件樣品中(1)恰好有3件次品的概率,(2)至多有3件次品的概率.一批產(chǎn)品有20％的次品，進(jìn)行重復(fù)抽樣檢En:可看成將E

重復(fù)了n次,這是一個(gè)n重

貝努里試驗(yàn).解E

：觀(guān)察1局比賽甲是否獲勝,設(shè)在n次試驗(yàn)中，A恰好出現(xiàn)k

次的概率為：例6-3概率為p,p≥1/2,問(wèn)對(duì)甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利.設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球