離散型隨機(jī)變量分布列

熱烈歡迎各位老師蒞臨指導(dǎo)Xx1x2....xi....xnPp1p2....pi....pn2、離散型隨機(jī)變量的分布列指出了什么？離散型隨機(jī)變量的分布列從概率的角度指出了隨機(jī)變量的分布規(guī)律3、離散型隨機(jī)變量分布列能否反映隨機(jī)變量取值的平均水平？思考：某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為18元/kg,24元/kg,36元/kg的三種糖果按3：2：1的比例混合銷售，如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？

2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值思考：如果混合糖果中的每一顆的質(zhì)量都相等，你能解釋權(quán)數(shù)的實(shí)際含義嗎？實(shí)質(zhì)：根據(jù)古典概型，這里的權(quán)數(shù)是每一種糖果被抽到的概率如果用X表示這顆糖果的價(jià)格，則可以得到其分布列為這樣合理價(jià)格就可以表示為18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(x=36）=23一般地，如果離散型隨機(jī)變量X的分布列為則稱EX=x1p1+x2p2+.......xipi+......xnpn

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望X182436PXx1x2....xi....xnPp1p2....pi....pn

離散型隨機(jī)變量的性質(zhì):

若Y=aX+b,其中ab為常數(shù)，則E(aX+b)=aEX+b

證明：因?yàn)镻(Y=aXi+b)=P(X=xi),i=1，2，3......,n

所以Y的分布列為于是EY=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+.....(axi+b)pi+.......(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+....+xipi+....xnpn)+b(p1+p2+......+pi+....pn)aEX+b即Yax1+bax2+b....axi+b....axn+bpp1p2....pi....pnE(aX+b)=aEX+b

例1、在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分。如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是多少？

分析：1、隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布2、根據(jù)定義計(jì)算均值解：因?yàn)镻(X=1)=0.7，P(X=0)=（1-0.7）=0.3所以

EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.7+0×0.3=0.7

一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么EX=1×P+0×（1-P)=P

兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布有何聯(lián)系？?jī)牲c(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即n=1時(shí)的二項(xiàng)分布，二項(xiàng)分布可以看作兩點(diǎn)分布的一般形式

若X服從兩點(diǎn)分布，則EX=P如果X~(n，p)，則EX=np證明過程如下：思考：隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值有何聯(lián)系和區(qū)別？區(qū)別：隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，而樣本的均值是隨著樣本不同而變化，卻是隨機(jī)變量。聯(lián)系：二者的計(jì)算方法實(shí)質(zhì)上是一樣的，都能反映各自取值的平均水平。例2、一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確，每題選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)不得分，滿分100分。學(xué)生甲選對(duì)任意一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選一個(gè)。分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值分析：學(xué)生甲每做一道題，相當(dāng)于進(jìn)行一次隨機(jī)試驗(yàn)，該試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果，即“對(duì)”和“錯(cuò)”回答了20道題相當(dāng)于做了20次獨(dú)立試驗(yàn)，這樣學(xué)生甲做對(duì)的題數(shù)X1服從二項(xiàng)分布B(20，0.9)，從而他的得分為5X1

同理，學(xué)生乙做對(duì)的題數(shù)X2服從二項(xiàng)分布B(20，0.25)

解：設(shè)學(xué)生甲、乙做對(duì)的分別為X1和X2，則X1~(20，0.9），X2~(20，0.25）所以EX1=20×0.9=18，EX2=20×0.25=5所以，甲、乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5X1和5X2，因此他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是E(5X1)=5EX1=5×18=90E(5X2)=5EX2=5×5=25思考：學(xué)生甲在這次單元測(cè)試中的成績(jī)一定是90分嗎？他的均值為90分的含義是什么？結(jié)論：學(xué)生甲在這次測(cè)試中成績(jī)當(dāng)然不一定會(huì)是90分，實(shí)際上他的成績(jī)是一個(gè)隨機(jī)變量，可能取值為0，5，10，...，95，100.一次測(cè)試只是相當(dāng)于做了一次試驗(yàn)。其含義是甲在多次類似這樣的考試中，他的平均分大約是90分。

例3、根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遭遇大洪水時(shí)要損失60000元，遭遇小洪水時(shí)要損失10000元，為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水。方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。試比較哪一種方案好分析：這是一個(gè)決策問題。決策的原則應(yīng)該是平均損失最小。這里的平均損失指的就是損失的隨機(jī)變量的均值。解：用X1

、X2、

X3

分別表示三種方案的損失采用第一種方案，無論有無洪水，都損失3800元，即

X1=3800采用第二種方案，遇到大洪水時(shí)，損失2000+60000=62000元，沒有大洪水時(shí)，損失2000元，即同樣，采用第三種方案，有

所以，

EX1=3800EX2=62000×P(x2=62000)+2000×p(x2=2000)

=62000×0.01+2000×（1-0.01)=2600EX3

=60000×p(x3=60000)+10000×p(x3=10000)+0×p(x3=0)

=60000×0.01+10000×0.25=3100采用方案2的平均損失最小，所以可選擇方案2思考：方案2一定是最好嗎？一般地，我們應(yīng)該這樣理解“平均損失”，假設(shè)問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案2將會(huì)使損失減小到最小程度，由于洪水是否發(fā)生及發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以一次決策采用方案2也不一定是最好的小結(jié)：1、離散型隨機(jī)變量的定義

2、二點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布的均值計(jì)算方法

3、離散型隨機(jī)變量的價(jià)值與樣本平均值聯(lián)系與區(qū)別

4、離散型隨機(jī)變量均值的含義與應(yīng)用