南京工業(yè)大學(xué)材料力學(xué)課件-2-軸向拉伸及壓縮

NanjingUniversityofTechnology材料力學(xué)(2)第2章軸向拉伸和壓縮材料力學(xué)

2.2軸力與軸力圖2.5軸向荷載作用下桿件的應(yīng)力與變形算例

2.4拉（壓）桿的變形分析

2.8應(yīng)力集中的概念

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力

2.7拉伸和壓縮時材料的力學(xué)性能第2章軸向拉伸和壓縮

2.6拉（壓）桿的強度計算

2.1工程中的軸向拉伸與壓縮問題第2章軸向拉伸和壓縮

2.1工程中的軸向拉伸與壓縮問題在緊固時，要對螺栓施加預(yù)緊力，螺栓承受軸向拉力，將發(fā)生伸長變形。

2.1工程中的軸向拉伸與壓縮問題機器和結(jié)構(gòu)中所用的各種緊固螺栓由汽缸、活塞、連桿所組成的機構(gòu)中，不僅連接汽缸缸體和汽缸蓋的螺栓承受軸向拉力，帶動活塞運動的連桿由于兩端都是鉸鏈約束，因而也是承受軸向荷載的桿件。第2章軸向拉伸和壓縮汽缸、活塞、連桿所組成的機構(gòu)中的螺栓和鏈桿斜拉橋承受拉力的鋼纜第2章軸向拉伸和壓縮長江二橋第2章軸向拉伸和壓縮

2.2軸力與軸力圖第2章軸向拉伸和壓縮

2.2軸力與軸力圖（1）內(nèi)力的合力FN＝FP；（2）內(nèi)力的合力FN的作用線與桿件的軸線重合。+軸力（normalforce）：外力合力的作用線與桿件軸線重合，桿的橫截面上內(nèi)力合力的作用線與桿件的軸線重合，這個內(nèi)力的合力即為軸力，用FN

表示。軸力正負(fù)號規(guī)定：使桿件受拉的軸力為正，受壓的軸力為負(fù)。FNFN－

2.2軸力與軸力圖軸力圖（diagramofnormalforces）：表示軸力沿桿軸線方向變化的圖形。

繪制軸力圖的方法與步驟如下：

（2）確定分段點（和控制面）；在集中力作用處為軸力圖的分段點；（3）應(yīng)用截面法；未知軸力，并假設(shè)為正方向

（4）建立FN－x坐標(biāo)系，畫出軸力圖。x軸表示橫截面的位置，F(xiàn)N表示相應(yīng)截面的軸力。

（1）分析外荷載與約束力；

2.2軸力與軸力圖CAB

直桿A端固定，在B、C兩處作用有集中荷載F1和F2，其中F1＝5kN，F(xiàn)2＝10kN。F1F2ll試畫出：桿件的軸力圖。

例題1

2.2軸力與軸力圖CABF1F2llCABllF1F2FA解：1.確定A處的約束力

求得FA＝5kN

由平衡方程

2.2軸力與軸力圖2.確定分段點3.應(yīng)用截面法求控制面上的軸力CABllF1F2FA

2.2軸力與軸力圖CBF1F2FNABFNBCCF2FN/kNOxCABF1F2ll105

2.2軸力與軸力圖4.建立坐標(biāo)系，畫出軸力圖510

繪制軸力圖的方法與步驟如下：

（2）確定分段點（和控制面）；在集中力作用處為軸力圖的分段點；（3）應(yīng)用截面法；未知軸力，并假設(shè)為正方向

（4）建立FN－x坐標(biāo)系，畫出軸力圖。x軸表示橫截面的位置，F(xiàn)N表示相應(yīng)截面的軸力。

（1）分析外荷載與約束力；

2.2軸力與軸力圖

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力第2章軸向拉伸和壓縮只根據(jù)軸力并不能判斷桿件有足夠的強度。例如這說明，拉桿的強度不僅與軸力的大小有關(guān)，而且與橫截面積有關(guān)。所以用應(yīng)力來度量桿件的受力程度。

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力1、橫截面上的應(yīng)力通過實驗，觀察受拉桿件的變形發(fā)現(xiàn)。變形前為平面的橫截面，變形后仍為平面且仍垂直于軸線，即為平面假設(shè)。由材料均勻性假設(shè)，所有縱向纖維的力學(xué)性能相同。由于各縱向纖維的變形一致，力學(xué)性能又相同，因此可以推斷各縱向纖維受力一樣。即桿件橫截面上的應(yīng)力均勻分布，這時橫截面上的正應(yīng)力為其中FN——橫截面上的軸力，由截面法求得；A——橫截面面積。

桿件上的應(yīng)力是如何分布的呢？

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力由于加載方式的不同，對端部的應(yīng)力分布有影響。距離加載端較遠處，上述影響逐漸消失，應(yīng)力趨于均勻，其影響深度和1～2倍的橫向尺寸相當(dāng)，此為圣.維南原理。

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力考察一橡皮拉桿模型，其表面畫有一正置小方格和一斜置小方格。受力后，正置小方塊的直角并未發(fā)生改變，而斜置小方格變成了菱形，直角發(fā)生變化。這種現(xiàn)象表明，在拉、壓桿件中，雖然橫截面上只有正應(yīng)力，但在斜截面方向卻產(chǎn)生剪切變形，這種剪切變形必然與斜截面上的剪應(yīng)力有關(guān)。2、斜截面上的應(yīng)力

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力為了確定拉(壓)桿斜截面上的應(yīng)力，可以用假想截面沿斜截面方向?qū)U截開，斜截面法線與桿軸線的夾角設(shè)為?？疾旖亻_后任意部分的平衡，求得該斜截面上的總內(nèi)力。

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力力FR對斜截面而言，既非軸力又非剪力，故需將其分解為沿斜截面法線和切線方向上的分量：FN和FQ。

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力

FN和FQ分別由整個斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力所組成。在軸向均勻拉伸或壓縮的情形下，兩個相互平行的相鄰斜截面之間的變形也是均勻的，因此，可以認(rèn)為斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力都是均勻分布的。于是斜截面上正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為x——桿橫截面上的正應(yīng)力Aθ——斜截面面積。

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力拉壓桿斜截面上的應(yīng)力公式也可以通過考察桿件上的微元而求得。以相距很近的兩橫截面和兩縱截面從桿內(nèi)截取微小單元體，簡稱微元。所取微元只有左、右面上受到正應(yīng)力x。

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力將微元沿指定斜截面（）截開，令斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為和。并令微元斜截面的面積為dA。根據(jù)平衡方程有據(jù)此可以得到與前面完全相同的結(jié)果。

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力總結(jié)：

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力1、桿件承受拉伸或壓縮時：橫截面上只有正應(yīng)力；斜截面上則既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力。2、對于不同傾角的斜截面，其上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力各不相同。

在＝0的截面（即橫截面）上，取最大值，即

在＝45°的斜截面上，取最大值，即

在這一斜截面上，除剪應(yīng)力外，還存在正應(yīng)力，其值為

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力注意：由于微元取得很小，上述微元斜面上的應(yīng)力，實際上就是過一點處不同方向面的應(yīng)力。因此，當(dāng)論及應(yīng)力時，必須指明是哪一點處、哪一個方向面上的應(yīng)力。

2.3桿件在軸向荷載作用下的應(yīng)力

2.4拉（壓）桿的變形分析

第2章軸向拉伸和壓縮等截面直桿（l、A），承受軸向荷載后，其長度變?yōu)閘十l。實驗結(jié)果表明：在彈性范圍內(nèi)，桿的伸長量l與桿所承受的軸向荷載成正比。寫成關(guān)系式為

1、絕對變形彈性模量

2.4拉（壓）桿的變形分析

即為描述彈性范圍內(nèi)桿件承受軸向荷載時力與變形的胡克定律。E——桿材料的彈性模量，它與正應(yīng)力具有相同的單位；EA——桿件的拉伸（或壓縮）剛度；式中“＋”號表示伸長變形；“－”號表示縮短變形。

2.4拉、壓桿件的變形分析

1）承受幾個軸向荷載的情況：2）承受軸向均勻分布荷載的情況：正應(yīng)變：描述桿件沿長度方向均勻變形的情形，用

x

表示。即2、相對變形正應(yīng)變

2.4拉、壓桿件的變形分析

注：上述關(guān)于正應(yīng)變的表達式適用于桿件各處均勻變形的情形。對于各處變形不均勻的情形，必須考察桿件上沿軸向的微段dx的變形，并以微段dx的相對變形作為桿件局部的變形程度。即

2.4拉、壓桿件的變形分析

無論變形均勻還是不均勻，正應(yīng)力與正應(yīng)變之間的關(guān)系都是相同的。3、橫向變形與泊松比橫向變形：桿件承受軸向荷載時，除了軸向變形外，在垂直于桿件軸線方向也同時產(chǎn)生的變形。實驗結(jié)果表明：若在彈性范圍內(nèi)加載，軸向應(yīng)變x與橫向應(yīng)變y之間存在下列關(guān)系為材料的另一個彈性常數(shù)，稱為泊松比(Poissonratio)。泊松比為無量綱量?？紤]到軸向應(yīng)變與橫向應(yīng)變的正負(fù)號恒相反

2.4拉、壓桿件的變形分析

2.5軸向荷載作用下桿件的應(yīng)力與變形算例

第2章軸向拉伸和壓縮例題2試求：（1）直桿橫截面上的絕對值最大的正應(yīng)力；（2）直桿的總變形量。2.5軸向荷載作用下桿件的應(yīng)力與變形算例

變截面直桿，ADE段為銅制,EBC段為鋼制；在A、D、B、C等4處承受軸向荷載。已知：ADEB段桿的橫截面面積AAB＝10×102mm2，BC段桿的橫截面面積ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；銅的彈性模量Ec＝100GPa，鋼的彈性模量Es＝210GPa；各段桿的長度如圖中所示，單位為mm。解：1．

作軸力圖應(yīng)用截面法，可以確定AD、DEB、BC段桿橫截面上的軸力分別為：FNAD＝－2FP＝－120kNFNDB＝－FP＝－60kNFNBC＝FP＝60kN2.5軸向荷載作用下桿件的應(yīng)力與變形算例

2．計算直桿橫截面上絕對值最大的正應(yīng)力2.5軸向荷載作用下桿件的應(yīng)力與變形算例

3．計算直桿的總變形量

注：在上述計算中，DE和EB段桿的橫截面面積以及軸力雖然都相同，但由于材料不同，所以需要分段計算變形量。

2.5軸向荷載作用下桿件的應(yīng)力與變形算例

例題3

三角架結(jié)構(gòu)尺寸及受力如圖所示。其中FP＝22.2kN；鋼桿BD的直徑dl＝25.4mm；鋼梁CD的橫截面面積A2＝2.32×103mm2。試求：桿BD與CD的橫截面上的正應(yīng)力。2.5軸向荷載作用下桿件的應(yīng)力與變形算例

其中負(fù)號表示壓力。

解：1．受力分析，確定各桿的軸力2．計算各桿的應(yīng)力2.5軸向荷載作用下桿件的應(yīng)力與變形算例

2.6拉(壓)桿的強度計算

第2章軸向拉伸和壓縮1、失效的概念失效：工程結(jié)構(gòu)與設(shè)備以及它們的構(gòu)件和零部件，由于各種原因而喪失其正常工作能力的現(xiàn)象。

2.6拉(壓)桿的強度計算

2、強度條件、安全因數(shù)與許用應(yīng)力為了讓桿件正常工作，要求桿中的最大應(yīng)力限制在允許的范圍內(nèi)，以保證桿件正常工作，不僅不發(fā)生強度失效，而且還要具有一定的安全裕度。桿件在軸向荷載作用下的強度條件為式中為材料的極限應(yīng)力或危險應(yīng)力(criticalstress)，由材料的拉伸實驗確定；n為安全因數(shù)，對于不同的機器或結(jié)構(gòu)，在相應(yīng)的設(shè)計規(guī)范中都有不同的規(guī)定。

[s]——許用應(yīng)力(allowablestress)，與桿件的材料力學(xué)性能以及工程對桿件安全裕度的要求有關(guān)，由下式確定2.6拉(壓)桿的強度計算

3、三類強度計算問題

強度校核?

尺寸設(shè)計

確定許用荷載2.6拉(壓)桿的強度計算

例題5可以繞鉛垂軸OO1旋轉(zhuǎn)的吊車中斜拉桿AC由兩根50mm×50mm×5mm的等邊角鋼組成，水平橫梁AB由兩根10號槽鋼組成。AC桿和AB梁的材料都是Q235鋼，許用應(yīng)力σ=150MPa。當(dāng)行走小車位于A點時(小車的兩個輪子之間的距離很小，小車作用在橫梁上的力可以看作是作用在A點的集中力)，桿和梁的自重忽略不計。

求：允許的最大起吊重量FW（包括行走小車和電動機的自重）。4、應(yīng)用舉例2.6拉(壓)桿的強度計算

解：1．建立模型因為所要求的是小車在A點時所能起吊的最大重量，這種情形下，AB梁與AC兩桿的兩端都可以簡化為鉸鏈連接。因而，可以得到吊車的計算模型。其中AB和AC都是二力桿，二者分別承受壓縮和拉伸。FW2.6拉(壓)桿的強度計算

2．確定二桿的軸力以節(jié)點A為研究對象，并設(shè)AB和AC桿的軸力均為正方向，分別為FN1和FN2。根據(jù)節(jié)點A的受力圖，由平衡條件

FWFW2.6拉(壓)桿的強度計算

3．

確定最大起吊重量對于AB桿，查槽鋼表：單根10號槽鋼的橫截面面積為12.74cm2由強度條件，得到

2.6拉(壓)桿的強度計算

由此解出保證AB桿強度安全所能承受的最大起吊重量由強度條件，得到

由此解出保證AC桿強度安全所能承受的最大起吊重量對于AC桿，查型鋼表查得單根50mm×50mm×5mm號等邊角鋼的橫截面面積為4.803cm22.6拉(壓)桿的強度計算

解：3．

確定最大起吊重量于是，吊車的最大起吊重量:

FW＝57.6kN

2.6拉(壓)桿的強度計算

4．本例討論其中A1為單根槽鋼的橫截面面積。根據(jù)以上分析，在最大起吊重量FW＝57.6kN的情形下，顯然AB桿的強度尚有富裕。因此，為了節(jié)省材料，同時還可以減輕吊車結(jié)構(gòu)的重量，可以重新設(shè)計AB桿的橫截面尺寸。根據(jù)強度條件，有

2.6拉(壓)桿的強度計算

4．本例討論由型鋼表可以查得，5號槽鋼即可滿足這一要求。這種設(shè)計實際上是一種等強度的設(shè)計，是在保證構(gòu)件與結(jié)構(gòu)安全的前提下，最經(jīng)濟合理的設(shè)計。

2.6拉(壓)桿的強度計算

2.7拉伸和壓縮時材料的力學(xué)性能第2章軸向拉伸和壓縮1、首先需要將被試驗的材料按國家標(biāo)準(zhǔn)制成標(biāo)準(zhǔn)試樣(standardspecimen)。1、標(biāo)準(zhǔn)試樣dl工作段長度先在試樣中間等直部分上劃兩條橫線,這一段桿稱為工作段。l=10d（長試樣），或l=5d（短試樣）實驗設(shè)備主要有兩類，一類是使試樣發(fā)生變形和測定試樣抗力的萬能試驗機；另一類設(shè)備是用來測試變形的變形儀。2、將試樣安裝在試驗機上，使試樣承受軸向荷載。3、通過緩慢的加載過程，試驗機自動記錄下試樣所受的荷載和變形，將它們分別除以試樣的橫截面積和工作段的原長，即得到應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系曲線，稱為應(yīng)力-應(yīng)變曲線(stress-straincurve)。

2.7拉伸和壓縮時材料的力學(xué)性能通過拉伸與壓縮實驗，可以測得材料在軸向荷載作用下的應(yīng)力－應(yīng)變曲線。應(yīng)力－應(yīng)變曲線全面描述了材料從開始受力到最后破壞過程中的力學(xué)行為。由此即可確定不同材料發(fā)生強度失效時的應(yīng)力值（稱為強度指標(biāo)）和表征材料塑性變形能力的韌性指標(biāo)。

2.7拉伸和壓縮時材料的力學(xué)性能2、單向拉伸時材料的力學(xué)行為脆性材料拉伸時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線韌性金屬材料拉伸時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線工程塑料拉伸時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

2.7拉伸和壓縮時材料的力學(xué)性能

應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的初始階段通常都有一直線段，稱為線性彈性區(qū)，在這一區(qū)段內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系，其比例常數(shù)，即直線的斜率稱為材料的彈性模量（楊氏模量，modulusofelasticityorYoungmodulus），用E

表示。

3、韌性材料單向拉伸時的彈性力學(xué)性能應(yīng)力-應(yīng)變曲線上線性彈性區(qū)段的應(yīng)力最高限稱為比例極限(proportionallimit)，用σp表示。彈性階段（I）（彈性模量、比例極限與彈性極限）

2.7拉伸和壓縮時材料的力學(xué)性能比例極限與彈性極限線性彈性階段之后，應(yīng)力-應(yīng)變曲線上有一小段微彎的曲線，這表示應(yīng)力超過比例極限以后，應(yīng)力與應(yīng)變不再成正比關(guān)系。但是，如果在這一階段，卸去試樣上的荷載，試樣的變形將隨之消失。這表明這一階段內(nèi)的變形都是彈性變形，因而包括線性彈性階段在內(nèi)，統(tǒng)稱為彈性階段（I）

。彈性階段的應(yīng)力最高限稱為彈性極限(elasticlimit)，用σe表示。

2.5拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能大部分韌性材料比例極限與彈性極限極為接近，只有通過精密測量才能加以區(qū)分。因此在實際工程中統(tǒng)稱為彈性極限。

在許多韌性材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線中，在彈性階段之后，出現(xiàn)近似的水平段，這一階段中應(yīng)力幾乎不變，而變形急劇增加，這種現(xiàn)象稱為屈服(yield)。這一階段曲線的最低點對應(yīng)的應(yīng)力值稱為屈服應(yīng)力或屈服強度(yieldstress)，用σs表示。屈服階段（II）（屈服強度）

2.5拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能0.2對于沒有明顯屈服階段的韌性材料，工程上規(guī)定產(chǎn)生0.2％塑性應(yīng)變時的應(yīng)力值為其屈服應(yīng)力，稱為材料的條件屈服應(yīng)力(offsetyieldstress)，用σ0.2表示。條件屈服應(yīng)力

2.5拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能

2.5拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能屈服階段的變形是不可恢復(fù)的塑性變形。試樣表明看到由最大剪應(yīng)力面發(fā)生滑移而引起的45°滑移線。應(yīng)變硬化

應(yīng)力超過屈服應(yīng)力或條件屈服應(yīng)力后，要使試樣繼續(xù)變形，必須再繼續(xù)增加荷載。這一階段應(yīng)力的最高限稱為強度極限(strengthlimit)，用σb表示。

強化階段（III）（強度極限）

2.5拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能某些韌性材料(例如低碳鋼和銅)，應(yīng)力超過強度極限以后，試樣開始發(fā)生局部變形，局部變形區(qū)域內(nèi)橫截面尺寸急劇縮小，這種現(xiàn)象稱為頸縮(neck)。出現(xiàn)頸縮之后，試樣變形所需拉力相應(yīng)減小，應(yīng)力-應(yīng)變曲線出現(xiàn)下降階段，直至試樣被拉斷。

局部變形階段（IV）（頸縮）

2.5拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能通過拉伸試驗還可得到衡量材料韌性性能的指標(biāo)——延伸率和斷面收縮率：

其中，l0為試樣原長（規(guī)定的標(biāo)距）；A0為試樣的初始橫截面面積；l1和A1分別為試樣拉斷后長度(變形后的標(biāo)距長度)和斷口處最小的橫截面面積。延伸率和截面收縮率的數(shù)值越大，表明材料的韌性越好。工程上一般認(rèn)為δ>5％者為韌性材料；δ＜5％者為脆性材料。4、韌性指標(biāo)

2.5拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能

對于脆性材料，從開始加載直至試樣被拉斷，試樣的變形都很小。而且，在大多數(shù)脆性材料拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變曲線上，都沒有明顯的直線段，幾乎沒有塑性變形，也不會出現(xiàn)屈服和頸縮現(xiàn)象，因而只有斷裂時的應(yīng)力值——強度極限。

2.5拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能5、脆性材料拉伸時的彈性力學(xué)性能材料壓縮實驗，通常采用短試樣。6、單向壓縮時材料的力學(xué)行為

2.5拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能低碳鋼壓縮時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與拉伸時的相比較，拉伸和壓縮屈服前的曲線基本重合，即拉伸、壓縮時的彈性模量及屈服應(yīng)力相同，但屈服后，由于試樣愈壓愈扁，應(yīng)力-應(yīng)變曲線不斷上升，試樣不會發(fā)生破壞。

鑄鐵壓縮時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，與拉伸時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線不同的是，壓縮時的強度極限遠遠大于拉伸時的數(shù)值，通常是拉伸強度極限的4～5倍。

2.5拉伸與壓縮時材料的力學(xué)性能

2.8應(yīng)力集中的概念第2章軸向拉伸和壓縮應(yīng)力集中（stressconcentration）：幾何形狀不連續(xù)處應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象。

2.8應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中因數(shù)(factorofstressconcentration)：應(yīng)力集中的程度用應(yīng)力集中因數(shù)描述。應(yīng)力集中處橫截面上的最大應(yīng)力與視作均勻分布的名義應(yīng)力(稱為名義應(yīng)力)之比。用K表示：

截面尺寸改變的越急劇、角越尖、孔越小，應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)重。