質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動習(xí)題解答

14.一質(zhì)點(diǎn)沿X方向作直線運(yùn)動,t時(shí)刻的坐標(biāo)為

x=4.5t2-2t3,試求：

（1）第二秒內(nèi)的位移和平均速度；（2）一秒末和二秒末的瞬時(shí)速度：（3）第三秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)通過的路程；（4）第二秒內(nèi)的平均加速度以及0.5秒末和1秒末的瞬時(shí)加速度。解(1)x1=x|t=1s=2.5(m)x2=x|t=2s=2.0(m)第二秒內(nèi)的位移Δx=x2-x1=-0.5m平均速度v__=___ΔxΔt=-0.5m/s(2)v=___dxdt=9t-6t2V1=V|t=1s=3m/sV2=V|t=2s=-6m/s(3)V=___dxdt=9t-6t2當(dāng)___dxdt=0時(shí)X=Xmax即t=1.5s時(shí)X=Xmax=3.375m設(shè)第二秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)通過的路程S則S=(Xm–X1)+(Xm–X2)=2.25m(4)a__=V2–V1______t2–t1=-9m/s2a0.5=a|t=0.5=+3m/s2a1=a|t=1=-3m/s215.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為X=Rcoswt其中R、h、w都是大于零的常數(shù)。（1）用草圖畫出質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動的軌道，它是一條什么曲線？（2）求任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。解（1）帶電粒子在空間運(yùn)動的軌跡是一條空間螺旋線。在XOY平面上的投影為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為R的圓。繞一圈所需時(shí)間為T=螺距為h2πwY=RsinwtZ=h/2ZYXOhVx==-RwsinwtVY==RwcoswtVz=w

dx

dtdy

dth

2π(2)V=-Rwsinwti+Rwcoswtj+kax==-RwcoswtaY==-Rwsinwtaz=0dy

dtdx

dt222222h

2πa=-Rw(coswti+sinwtj)216.一質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動，已知加速度a=4t，初始條件為t=0，初速度V0=2，初始坐標(biāo)X0=10，試求其運(yùn)動方程（以上各量均為SI制單位）a==4tdVdtdV=4tdtdV=4tdt0tV0VV-V0=2t2V=2+2t2dX=2+2t2dt0tX0XV==2+2t2dXdtX-X0=2t+t323X=10+2t+t3(SI)23如圖所示，AB桿以等角速度w繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動，并帶動水平槽OC上的質(zhì)點(diǎn)M運(yùn)動，設(shè)起始時(shí)刻桿在豎直位置，OA=h（1）列出質(zhì)點(diǎn)M沿水平槽OC的運(yùn)動方程。（2）求質(zhì)點(diǎn)M沿槽OC滑動的速度大小。解：（1）設(shè)O點(diǎn)為軸坐標(biāo)原點(diǎn)，X正方向沿OC方向,則M的位置為XX=htgwt(2)V==whsec2wtdXdtMBCOA18一質(zhì)點(diǎn)按順時(shí)針方向沿半徑R為的圓運(yùn)動，其路程與時(shí)間的關(guān)系為S=V0t-bt2，式中V0和b都是常數(shù)，試求：（1）t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度。（2）t為何值時(shí)，加速度的值恰好等于b？此時(shí)質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)動了多少圈？（3）何時(shí)質(zhì)點(diǎn)開始按逆時(shí)針方向運(yùn)動？12解：（1）質(zhì)點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動，所以其加速度a=an+at2dS

dt2at==-ban=VtR2(Vt==V0-bt)dS

dt=(V0-bt)R2a=b2+(V0–bt)4R2(2)a=b則V0–bt=0t=V0bS=V0t-bt2t==12V0bV02b2(3)t=質(zhì)點(diǎn)開始逆時(shí)針方向運(yùn)動V0b19一升降積以加速度1.22米/秒2上升。當(dāng)上升到速度為2.44米/秒時(shí)，有一螺帽自升降機(jī)的天花板上松落，天花板與升降機(jī)的底面相距2.74米，計(jì)算：（1）螺帽從天花板落到底面所需的時(shí)間。（2）螺帽相對于升降機(jī)外固定柱子下降的距離。解：（1）以地面為參照系，并取螺帽松落時(shí)，升降機(jī)底面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為正。螺帽松落時(shí)以初速度V0=2.44米/秒作豎直上拋運(yùn)動。升降機(jī)以加速度a=1.22米/秒2作勻加速度運(yùn)動。X秒時(shí)，螺帽位置為y1，升降機(jī)底面位置為y2。t=0y0y0則y1=y0+V0t-gt212y2=V0t-at212y1=y2得y0=(g+a）t212t=0.71(秒)Y0=2.74(米)（2）有y1–y0=V0t-gt2=-0.74(米)1220質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動，軌道半徑R=0.2米，以角動量表示的運(yùn)動方程為q=10π

t+πt2(SI)，求（1）第3秒末的角速度和角加速度（2）第3秒末的切向加速度和法向加速度大小。12解：（1）{w==10π+πt=13π(1/s)dqdtt=3(2)at=R×β=0.2π(m/s2)β==π(1/s2)dwdtan=w2R=(13π)20.2=π2

(m/s2)169521有一和輕彈簧相聯(lián)的小球，沿軸作振幅為A的簡諧運(yùn)動，其表達(dá)式用余弦函數(shù)表示，若t=0時(shí)，球的運(yùn)動狀態(tài)為（1）x0=-A，（2）過平衡位置向x正方向運(yùn)動，（3）x0=過處向x負(fù)方向運(yùn)動，（4）過x=處向x正方向運(yùn)動，試用矢量圖示法確定相應(yīng)的初位相的值。A2A解：（1）AxAooφ=πφ=－π/2(2)Aoφ=π/3Aoφ=-π/4(3)(4)222一質(zhì)點(diǎn)沿x軸做簡諧運(yùn)動，其方程為x=6cos(4πt+)厘米。試求：（1）振動的圓頻率、周期、振幅、初相位、速度和加速度的最大值。（2）質(zhì)點(diǎn)從t=0時(shí)刻開始運(yùn)動到達(dá)x=3厘米處，并向正方向運(yùn)動所需的最短時(shí)間。（3）分別畫出位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系曲線。π3w=4π(1/s)解：（1）2πwT==0.5(s)A=0.06(m)φ=π3

V==-wAsin(wt+φ)dXdtVm=Aw=0.06×4π=0.24π=0.75(m/s)Am=Aw2=0.06×16π2=0.96π2=9.5(m/s2)(2)當(dāng)時(shí)刻為tX=0.03=0.06cos(4πt+)π3且V>04πt+=ππ353t=(s)13(3)avavxtxO3-96π2-24π-48π24π34π=13(s)π

3t=0π

323有兩個(gè)同方向的簡諧運(yùn)動，它們的方程(SI單位)如下：x1=0.05cos(10t+π),x2=0.06cos(10t+π)（1）求它們的合成振動的振幅和初相位。（2）若另有一振動x3=0.07cos(10t+φ)，問φ為何值時(shí)，x1+x3的振幅最大，φ為何值時(shí)，x2+x3的振幅最小。

34

14解:(1)A=A2+A2+2A1A2cos(φ2-φ1)12=0.078(米)φ=tg-1A1sinφ1+A2sinφ2A1cosφ1+A2cosφ2=84048’(2)φ-φ1=2Kπ(取K=0)則x1+x3振幅最大。φ=φ1=π

34φ-φ2=（2K+1)π(取K=0)則x2+x3振幅最大。φ=φ2+π=π

5424兩個(gè)同方向的簡諧運(yùn)動，周期相同，振幅A1=0.05m，A2=0.07m，兩者合成為一個(gè)振幅為A=0.09m的簡諧運(yùn)動，求兩個(gè)分振動的相位差。A2=A2+A2+2A1A2cos(φ1-φ2)cos(φ1-φ2)==0.1φ1-φ2=84016’（0.47π）2A1A212A2-A2-A221狹義相對論27.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在慣性系S'

中作勻速圓周運(yùn)動，其軌跡為:試證明在與S‘中相對運(yùn)動，且其相對速度沿X’方向，大小為

v的另一慣性系S

中測得質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動，橢圓中心以速度v運(yùn)動。證明：把洛侖茲變換式：y’=yz’=zx’=x

+vt

S相對S’運(yùn)動代入:

可得：可見在S系中，測得該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡為橢圓，其中心（--vt，0）在

z=0平面中沿著X

軸以速度v

運(yùn)動。128.在S系中觀察者測得相距600km的兩事件同時(shí)發(fā)生，在相對S系作勻速運(yùn)動的參照系S'中，測得它們的空間間隔是1200km，問在S'

系中測得這兩件事的時(shí)間差是多少？

x=x'即：解：由于兩件事的間距在S系中同時(shí)測定，因此它不是原長，而x'是原長，則：解之得：-vc2x-(/c)321/2=29.+

介子的平均壽命是2.610-8

s,如果它相對于實(shí)驗(yàn)室以0.8c的速度運(yùn)動，那么實(shí)驗(yàn)室中測得它的壽命為多長？在它衰變以前留下的徑跡是多長？

解：Sv2c212.61081()20.8cc=

30.設(shè)想一飛船以0.8c速度在地球上空飛行，如果此時(shí)從飛船上拋出一物體，它相對于飛船的速度為0.9c，方向與飛船飛行方向相同，問地面上測得該物體的速度有多大？解：

vx=

1+c2=0.8c+0.9c1+0.8c0.9cc2=0.988c解：當(dāng)棒沿其長度方向以運(yùn)動時(shí)，此人測得棒長縮短：質(zhì)量為：31.某人測得一靜止棒質(zhì)量為m,長為l,求得其線密度當(dāng)棒以速度v沿其長度方向運(yùn)動時(shí)，此人再測得棒的密度是多少？若棒沿垂直于其長度方向以同一速度運(yùn)動，其線密度又為多少？則棒的線密度為：

當(dāng)棒沿垂直于長度方向運(yùn)動時(shí)，其長度不收縮，則棒的線密度為：

32.一根米尺靜止在S‘

系中，與O’X‘軸成30度角，如果在沿X軸運(yùn)動的S系中測得該米尺與OX軸成45度角，試問S'相對于S的速度必需多大？S系中測得該米尺的長度等于多少？