結(jié)構(gòu)力學(xué) 力法(2)課件

§10.6對稱結(jié)構(gòu)(symmetricalstructure)的計(jì)算對稱結(jié)構(gòu)是幾何形狀、支座、剛度都對稱.EIEIEI1、結(jié)構(gòu)的對稱性：對稱軸對稱軸l/2l/2a/2a/2EI1EI1EI2EI22、荷載的對稱性：對稱荷載——繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的荷載等值、作用點(diǎn)重合、同向。反對稱荷載——繞對稱軸對這后，對稱軸兩邊的荷載等值、作用點(diǎn)重合、反向。對稱軸對稱軸EIEI對稱軸↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑qPP1

P1

m反對稱荷載對稱軸↓↓↓↓↓↓↓↓↓qPP1P1對稱荷載任何荷載都可以分解成對稱荷載+反對稱荷載。PP1P2一般荷載aP/2FF對稱荷載aaP/2WW反對稱荷載P/2aaP/2P1=F+W，P2=W—F3、利用對稱性簡化計(jì)算：1）取對稱的基本體系(荷載任意，僅用于力法)PP2一般荷載X3X2X1X2X1=1X2=1X2X3=1力法方程降階如果荷載對稱，MP對稱，Δ3P=0，X3=0；如果荷載反對稱，MP反對稱，Δ1P=0，Δ2P=0，X1=X2=0。對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，內(nèi)力、變形及位移是對稱的。對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，內(nèi)力、變形及位移是反對稱的。EIEIEI①對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，內(nèi)力、變形及位移是對稱的。a）位于對稱軸上的截面的位移，內(nèi)力PPCuc=0、θc=0PPQC=0QCPC等代結(jié)構(gòu)b）奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)的等代結(jié)構(gòu)是將對稱軸上的截面設(shè)置成定向支座。對稱：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPCCP等代結(jié)構(gòu)PPC對稱：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPCuc=0vc=0P等代結(jié)構(gòu)NCNCMC2）取等代結(jié)構(gòu)計(jì)算(對稱或反對稱荷載，適用于各種計(jì)算方法)c）偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載下等代結(jié)構(gòu)取法：將對稱軸上的剛結(jié)點(diǎn)、組合結(jié)點(diǎn)化成固定端；鉸結(jié)點(diǎn)化成固定鉸支座。PPC2EIEIEIEI②對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，內(nèi)力、變形及位移是反對稱的。

a）位于對稱軸上的截面的位移，

內(nèi)力PPvc=0PPNC=0，MC=0QCPC等代結(jié)構(gòu)P等代結(jié)構(gòu)P等代結(jié)構(gòu)CPPC2EIPPC2EIEIEINCNCMCc）偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)的等代結(jié)構(gòu)將中柱剛度折半，結(jié)點(diǎn)形式不變b）奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)的等代結(jié)構(gòu)是將對稱軸上的截面設(shè)置成支桿EIEIEIEIQCQC由于荷載是反對稱的，故C截面只有剪力QC當(dāng)不考慮軸向變形時(shí)，QC對原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形都無影響?？蓪⑵渎匀ィ“脒呌?jì)算，然后再利用對稱關(guān)系作出另半邊結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。等代結(jié)構(gòu)偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，其等代結(jié)構(gòu)的選法2EIPPC2EIEIPPPCPP198103.581135kNm例：繪制圖示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖?！麰IEIEI6m6m23kN/m103.581135MKkN·m198198103.581135kNm396207等代結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu)對稱（或反對稱）荷載作用時(shí)的計(jì)算要點(diǎn)：①選取等代結(jié)構(gòu)；②對等代結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，繪制彎矩圖；③利用對稱或反對稱性作原結(jié)構(gòu)的彎矩圖；EIEI2EIEIEI6m6m6m↑↑↑↑↑↑↑46kN/mPPEI=常數(shù)l/2l/2l/2P/2P/2l/2P/2

l/2l/4P/2l/2l/4X1基本體系l/2X1=1P/2l/21Mp解:11x1+Δ1P=011=Δ1P=X1=先疊加等代結(jié)構(gòu)的彎矩圖作圖示剛架的彎矩圖。EI=常數(shù)。PPPPPPABCPCBPl/8Pl/8Pl/8Pl/8PPPPl/2l/2l/2l/2ABCl/2l/2例題：用力法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)并作M圖。EI=常數(shù)。2kN4kN.m4m4m2m4m4kN.m4m4m4m4kN.m4kN.mX1X1=14MP4kN.m4解:11x1+Δ1P=0431111-=D-=dPX6444411=··=DPEIEI32564443424421111=ú?ùê?é··+····=dEIEI13341M圖(kN.m)2kN2kN

0.08Pl0.014Pl0.028Pl0.014Pl0.094Pl0.094PlPll/2l/2lAB對稱結(jié)構(gòu)在一般荷載作用下，如無法取對稱的基本體系，對稱和反對稱的未知力計(jì)算，可將荷載分為對稱和反對稱兩組，按等代結(jié)構(gòu)計(jì)算兩個(gè)問題，再疊加最后彎矩圖。P/2ABP/2P/2EIEIEIP/2AEIEI/20.014PlP/2ABP/20.027Pl0.108Pl對稱結(jié)構(gòu)對稱荷載作用下中柱無彎矩?zé)o剪力。Z1Z2X2X2PAB對稱結(jié)構(gòu)在一般荷載作用下，如無法取對稱的基本體系，對稱和反對稱的未知力計(jì)算，也可將處于對稱位置的未知力分解為對稱和反對稱兩組，力法方程也就解偶為兩組，一組只包含對稱未知力，一組只包含反對稱未知力，一次計(jì)算出最后彎矩圖。X1X13）組合未知力(僅適用于力法)Pll/2l/2lABEIEIEI0.107Pl0.080Pl0.027Pl0.197PlM圖Pll/2l/2lPZ1Z2X1X1X2X2X1=1X1=1lX2=1X2=1ll2lPPl/28kN/m3m3m↑↑↑↑↑↑↑3m3kN/m↑↑↑↑↑↑↑X1=133X2=13333用力法計(jì)算作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。184.54.59M圖(kN.m)X2X136對稱結(jié)構(gòu)非對稱荷載作用時(shí)的處理方法：

①在對稱軸上解除多余約束，取對稱和反對稱未知力直接計(jì)算。②將荷載分為對稱和反對稱兩組，選等代結(jié)構(gòu)計(jì)算，再疊加。集中結(jié)點(diǎn)力作用時(shí)常這樣處理。③在對稱位置解除約束，將多余未知力分為對稱和反對稱未知力兩組。無彎矩狀態(tài)的判定：在不考慮軸向變形的前提下，超靜定結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)集中力作用下有時(shí)無彎矩、無剪力，只產(chǎn)生軸力。常見的無彎矩狀態(tài)有以下三種：1）一對等值反向的集中力沿一直桿軸線作用，只有該桿有軸力。－PM=02）一集中力沿一柱軸作用，只有該柱有軸力.－PM=0M=03）無結(jié)點(diǎn)線位移的結(jié)構(gòu)，受結(jié)點(diǎn)集中力作用，只有軸力。MP=0MP=0Δ1P=0δ11>0X1=Δ1P/δ11=0M=M1X1+MP=0PPPPPEI2EI1EI1PlhP/2P/2P/2P/2求圖示對稱剛架在水平荷載作用下的彎矩圖。M=0－P/2P/2等代結(jié)構(gòu)X1基本體系l/2l/2X1=1MPP/2Pl/2EIlPhEIlhPh1211182221=·=DEIlEIhl2312244+=EIlllEIlhl211113222122····+··=dlIhIk12=lPhkk2166+-=XP1111D-=d41626Phkk·++4166Phkk·+41626Phkk·++4166Phkk·+41918Ph4Ph2Ph2Phk很小弱梁強(qiáng)柱k很大強(qiáng)梁弱柱4Ph41920Phk=3荷載作用下，內(nèi)力只與各桿的剛度比值有關(guān)，而與各桿的剛度絕對值無關(guān)。內(nèi)力分布與各桿剛度大小有關(guān)，剛度大者，內(nèi)力也大。lIhIk12=例：試用對稱性計(jì)算圖示剛架，并繪彎矩圖。EI=CEAPPaaaaEI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2解：將荷載分為正對承和反對稱兩組正對稱結(jié)點(diǎn)荷載作用下各桿彎矩為零反對稱荷載作用取等代結(jié)構(gòu)如下1、取基本結(jié)構(gòu)；2、力法方程：=+P/2P/2等代結(jié)構(gòu)00P/2P/2X1基本體系X1=1X1MP3、繪求系數(shù)自由項(xiàng)4、解方程：5、按繪彎矩圖。1512715127M圖a§10-7超靜定拱的計(jì)算方法16m3mX1d111HPD-=jcos1N-=1yM-=d01111Xp=D+d211dsEIy=òjcos2dsEA+ò01dsEIyMP-=Dò21dsEAN+òd2111dsEIM=òEI11dsMMPp=DòMP=M0X1=1xyX1=1由于拱是曲桿δ11Δ1P不能用圖乘法基本體系是曲梁，計(jì)算Δ1P時(shí)一般只考慮彎曲變形，計(jì)算δ11時(shí)，有時(shí)（在平拱中）還要考慮軸向變形jjcossin0HQN--=fjsincos0HQQ-=0HyMM-=求出H后，內(nèi)力的計(jì)算與三鉸拱相同即：三鉸拱中：兩鉸拱中：d111HPD-=MP=M000＝≠E1A1H=1X1=1d111HPD-=MP=M0ò=DdsEIMMPP11òò+=dsEANdsEIM212111d落地式拱帶拉桿的拱作為屋蓋結(jié)構(gòu)如果E1A1→∞，則H*→H，因而兩者的受力狀態(tài)基本相同。如果E1A1→0，則H*→0，這時(shí)，帶拉桿的三鉸拱實(shí)際一簡支曲梁，對拱肋的受力是很不利的。由此可見，為了減少拱肋的彎矩，改善拱的受力狀應(yīng)適當(dāng)?shù)募哟罄瓧U的剛度。H*=1例：EI=常數(shù)，求H。拱軸線方程為0.5l0.5lf↓↓↓↓↓↓↓qyxBA↓↓↓↓↓↓↓qql81ql83ql162()xlqlM810-=()lxl2<<qxqlxM221830-=fqlHP162111=D-=d()EIlfdxxlxlfEI???è?-=òddxyMdxyEIlpl10010211-=D=òòd解:簡化假定:只考慮彎曲變形;近似地取ds=dx,cos=1(平拱,f/l<0.2)?！?0<x<0.5l)ql642ql642Mxx上例，兩鉸拱與三鉸拱的內(nèi)力相等，這不是普遍性結(jié)論。如果在別的荷載作用下，或在計(jì)算位移時(shí)不忽略軸向變形的影響，兩者內(nèi)力不一定相等。但是，在一般荷載作用下，兩鉸拱的推力與三鉸拱的推力及內(nèi)力通常是比較接近的。M=M0－Hyql162M0－Hy例：圖示拱，EI=常數(shù)，求其水平推力H。拱軸線方程為0.5l0.5lf↓↓↓↓↓↓↓qyxBA↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2q/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2X1對稱荷載下，取三鉸拱為基本體系，其MP=0∴Δ1P=0，X1=Δ1P/δ11=0，而M=M對稱=0基本體系＝＋在反對稱荷載下，對稱未知力X1=0↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2q/2X1M反對稱=M1X1+MP=MP=M0-Hy而H==0＝＝↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑ql642ql642M0=M0＝M反對稱MP對稱無鉸拱的計(jì)算P1P2P1P2CC1OO1P1P2X1X2X3000333322221211212111=D+=D++=D++PPPXXXXXdddddX3X2X2X1X1對稱的基本體系=oyxjcos2-=-=N2yM001111===QNMd21212112++=òòòdsEANNdsGAQQkdsEIMMX1=1引起：X2=1引起：=0òò+￠-=dsEIadsEIy1ò-=dsEIy12dy‘yaò--=dsEIay￠òò￠=dsEIdsEIya1δ12=δ21=0→x’O點(diǎn)的物理含義：jsin2-=-=N2xMX3=1引起：òòò+=-=DdsEAdsEIydsEIyMPP22222cosjdEIEIòò==DdsdsMPP1111dòò==DdsxdsxMP2dEIEIP3331/EIaòò￠=dsEIdsEIya1y‘y‘x‘彈性中心O剛臂的端點(diǎn)O就是彈性面積的形心，叫彈性中心。例題10-3等截面圓弧無鉸拱求內(nèi)力。l=10mΦ0Φ0RRf=2.5m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ADOq=10kN/mx’X2X2X1X1Φ0Φ0RR↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓AOq=10kN/my‘yayx解:求R和φ0

R=6.25mxφRdsMEIRdsMEIyayMM027.0855.1132222211121====￠-=-==òòddmEIdsdsEIyaRayyRx39.5cossin=￠==+=￠=òòjj三鉸拱的水平推力505.2810108220=··===￠kNfqlfMHC350507.51=-=￠￠-HHH%qqRdsMMEIqRdsMMEIxMPPPPP0223.0224.024223112-==D-==D=òòmkNRaXXMMmkNaRXXMkNXHBA.98.6)cos(.76.2)(7.510212102=-+===--===jkNqRXmkNqRXPP7.51827.0.1.47121.0222221111==D-===D-=ddpΦ0Φ0RRDOΦX1X2X3合理拱軸線M=0，Q=0，N=－pRMP=0，QP=0，NP=－pR例10-4求等截面圓形無鉸拱在均勻水壓力作用下的內(nèi)力。解：1）忽略軸向變形，取三鉸拱為基本體系。Δ1P=0Δ2P=0Δ3P=0無鉸拱和三鉸拱均處于無彎矩狀態(tài)pRpRpR=2）考慮軸向變形，用彈性中心法計(jì)算將精確的內(nèi)力狀態(tài)分為：X1X2X2yxcos012211-====jN-yMNM①不計(jì)軸向變形產(chǎn)生無彎矩狀態(tài)②單由軸向變形產(chǎn)生的附加內(nèi)力狀態(tài)以無彎矩狀態(tài)作基本體系cos0221.==D=DòòjPPPdsEApRdsEANNMP=0，QP=0，NP=－pRMP=0，QP=0，NP=－pRMP=0，QP=0，NP=－pR基本體系cos22+=òòjdsEAEIdsy222222+=òòdEAdsNEIdsM如果在某一荷載作用下，三鉸拱處于無彎矩狀態(tài)，則在同一荷載作用下，與三鉸拱軸線形式相同的無鉸拱的內(nèi)力在忽略軸向變形時(shí)也處于無彎矩狀態(tài)；考慮軸向變形時(shí)產(chǎn)生不大的彎矩，接近無彎矩狀態(tài)。X2X2§10.9溫度改變、支座移動時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力由于超靜定結(jié)構(gòu)由多余約束，所以在無荷載作用時(shí)，只要有發(fā)生變形的因素，如溫度改變、支座移動、材料收縮、制造誤差等，都可以產(chǎn)生內(nèi)力（自內(nèi)力）。1、溫度內(nèi)力的計(jì)算（僅自由項(xiàng)計(jì)算不同）例9-6圖示剛架施工時(shí)的溫度為15°C，使用期間（冬季）溫度如圖。求溫度變化產(chǎn)生的內(nèi)力。EI=常數(shù)。－35°－35°－35°+15°+15°+15°40cm60cm8m6mδ11X1+Δ1t=001523515t--=)35(15t--=D50C=o1111XNNXMM==111174.154326800EIEIXt-=-=D-=aad94.2N=－15.74M&N×αEIX1基本體系+15°+15°+15°－35°－35°－35°??D±Δit=MNhttwawa0X1X1=166=－25°Ct0C2t0C2t0C2t0C2t0C圖示封閉框溫度變化如圖，畫出彎矩圖的大致形狀。2t0C2t0C2t0C2t0C2t0C－t0C2、支座移動時(shí)的計(jì)算aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aΔ1=δ11x1+Δ1c=θΔ1=δ11x1+Δ1c=0X1=1lX1=11Δ1c=δ11=X1=X1=1.51l/32l/3Δ1c=－θlδ11=a1）X1δ11=Δ1c=X1=MEIlaX12)aX13)X1=13)1/l1.5/l

θaθa2）系數(shù)計(jì)算同前；自由項(xiàng)ΔiC=－∑R·cc是基本體系支座位移。所以，基本體系的支座位移產(chǎn)生自由項(xiàng)。與多余未知力對應(yīng)的支座位移出現(xiàn)在方程的右邊。3）內(nèi)力全由多余未知力引起，且與桿件剛度EI的絕對值成正比。支座移動時(shí)的力法計(jì)算特點(diǎn)：1）取不同的基本體系計(jì)算時(shí)，不僅力法方程代表的位移條件不同，而且力法方程的形式也可能不一樣，方程的右邊可不為零（＝±與多余未知力對應(yīng)的支座位移）。用力法求解單跨超靜定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11D=D=DlCC21=-=·-=EIllEI6312112112dd==·=EIllEI3322112211ddú?ùê?éD-+=ú?ùê?éD-+=llEIXllEIXABBA32232221qqqq=D++-=D+-lXEIlXEIllXEIlXEIlBA36632121qqΔθAθBX2X1θθl/32l/3X2X1θX1=11/2θX23/21qlEIX21=qlEIX22-=qC232=DqC21-=DdEIl4322=dEIl411=θ4iθ2iθM

當(dāng)桿件兩端為剛結(jié)或固定，且無相對側(cè)移時(shí)，可在一端及距該端2/3處加鉸選基本體系，可使相應(yīng)付系數(shù)等零。§10.10超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIAB198103.581135MkNmq=23kN/mX1基本體系↑↑↑↑↑↑↑X1X2X2Δ1=0Δ2=0當(dāng){原結(jié)構(gòu)與基本體系受力和變形相同=36=－13.5求原結(jié)構(gòu)的位移就歸結(jié)求基本體系的位移。X=16MCDDD求ΔDH16=——（2×6×135－6×81）

EI61134=——EI虛擬的單位荷載可以加在任一基本體系上，計(jì)算結(jié)果相同。例：ΔGVGG13M6×1.581729=－———·—=－——2EI24EI11.5超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動和溫度改變下的位移計(jì)算c1c2MNQMNQRP=1MNQt1t2MNQP=1GAkQEANEIM===gekhtD+at+a0htD+at+a0htD+at+a0htD+at+a0?-cR綜合影響下的位移計(jì)算公式aEIlM例9-7求例9-5中超靜定梁跨中撓度。P=1l/41/2P=1l/2l/2求超靜定結(jié)構(gòu)因溫度改變、支座移動產(chǎn)生的位移時(shí)，若選原結(jié)構(gòu)建立虛擬力狀態(tài)，計(jì)算將會更簡單。cEI,l,t0,ΔtP=1①②而：T12=W12Δc=－∑R*×c3Pl/16P=1aEIl例：求超靜定梁跨中撓度。5P/16例：求超靜定結(jié)構(gòu)，各桿EI為常數(shù)，截面為矩形，h=0.1l，求A點(diǎn)水平位移。ll/2l/215°15°15°25°AP=11/21/2l/2l/2P=1－1/2＋1－1例：求超靜定結(jié)構(gòu)，各桿EI為常數(shù)截面為矩形，h=0.1l，求C點(diǎn)豎向位移。ll/2l/215°15°15°25°CP=1P=1403l403l－3/40－1/2－1/2解：在原超靜定結(jié)構(gòu)上虛擬單位荷載，并用力法求得其彎矩圖和軸力圖。1）重視校核工作，培養(yǎng)校核習(xí)慣。2）校核不是重算，而是運(yùn)用不同方法進(jìn)行定量校核；或根據(jù)結(jié)構(gòu)的性能進(jìn)行定性的判斷或近似的估算。3）計(jì)算書要整潔易懂，層次分明。4）分階段校核，及時(shí)發(fā)現(xiàn)小錯(cuò)誤，避免造成大返工。力法校核1）階段校核：①計(jì)算前校核計(jì)算簡圖和原始數(shù)據(jù)，基本體系是否幾何不變。②求系數(shù)和自由項(xiàng)時(shí)，先校核內(nèi)力圖，并注意正負(fù)號。③解方程后校核多余未知力是否滿足力法方程。§10.11超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的校核2）最后內(nèi)力圖總校核：a）平衡條件校核4m2m2m4m200kN751251522.511.3＋＋＋－－Q圖（kN)147.522.5－－＋＋3.711.3N圖（kN)1501006020301540I=2I=2I=1I=1M圖（kN.m)B6040100∑M=02003.77515147.511.322.5∑X=3.7+11.3－15=0∑Y=75+147.5－200－22.5=0力法基本體系與原結(jié)構(gòu)等價(jià)的條件是n個(gè)位移條件，(荷載作用下)Δ1=0、Δ2=0、……Δn=0將它們展開得到力法方程Δi=∑δijXj+Δ

iP=0i，j=1，2，……n其中：2)變形條件的校核+=?òòPijjidxEIMMdxXEIMM()+=ò?PjjidxMXMEIMEIòidxMM0=Di=0=D+?iPjijXd即：δijΔiPδijΔiPδijΔiPδijΔiP這樣，荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖，與任意基本體系的任一多余未知力的單位彎矩圖圖乘結(jié)果如果等于零，則滿足變形條件。變形條件的一般校核方法是：任選一基本體系，任選一多余未知力，由最后內(nèi)力圖計(jì)算出Xi方向的位移，并檢查是否與原結(jié)構(gòu)對應(yīng)位移相等。4m2m2m4m200kN1501006020301540I=2I=2I=1I=1M圖（kN.m)BAXA=144200