離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差

離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差1．(2019·嘉興一中質(zhì)檢)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝()X02aP1p163A.2B．3C．4D．5111解析：選C因?yàn)閜＝1－6－3＝2，111所以E(X)＝0×6＋2×2＋a×3＝2，解得a＝3，所以()＝(0－2)21(2－2121－3)＝22()＝4，故×＋2)×＋(3－2)×＝1，所以(2623選C.2．(2019·廣雅中學(xué)期中 )口袋中有 5個(gè)形狀和大小完全相同的小球，編號(hào)分別為0,1,2,3,4，從中任取3個(gè)球，以X表示取出球的最小號(hào)碼，則E(X)＝()A．0.45B．0.5C．0.55D．0.6解析：選B易知隨機(jī)變量X的取值為0,1,2，由古典概型的概率計(jì)算公式得P(X＝0)63P(X＝2)＝1＝3＝0.6，P(X＝1)＝3＝0.3，3＝0.1.所以E(X)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝C5C5C50.5，故選B.3．(2019·衡水中學(xué)月考 )已知5件產(chǎn)品中有 2件次品，現(xiàn)逐一檢測(cè)，直至能確定所有次品為止，記檢測(cè)的次數(shù)為ξ，則(ξ)＝()EA．37B.218C.5D．421解析：選B由題意知，ξ的所有可能取值為2,3,4，其概率分別為2，(ξ＝2)＝2＝PA5101123213113133223323323E(ξ)＝2×10＋3×10＋P(ξ＝3)＝A53＝10，P(ξ＝4)＝A54＝10，所以6 74×10＝2.故選B.4．某學(xué)校為了給運(yùn)動(dòng)會(huì)選拔志愿者，組委會(huì)舉辦了一個(gè)趣味答題活動(dòng)．參選的志愿者回答三個(gè)問題，其中兩個(gè)是判斷題，另一個(gè)是有三個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題，設(shè) ξ為回答正確1的題數(shù)，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝()4A．1B．3C．5D．23解析：選B由已知得ξ的可能取值為0,1,2,3.(ξ＝0)＝1×1×2＝1，(ξ＝1)＝1×1×2＋1×1×2＋1×1×1＝5，(ξ＝2)＝1×1P2236P22322322312P22211111111111151×＋××＋××＝，P(ξ＝3)＝××＝.∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3223223322312612343×12＝3.5．(2019·天津一中月考)甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為23，乙在每局中獲勝的概率為1，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)ξ的期望(ξ)3E為()241266A.81B.81274670C.D.81243解析：選B由已知，ξ的可能取值是2,4,6.設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪比賽停止22125的概率為3＋3＝9.若該輪結(jié)束時(shí)比賽還要繼續(xù)，則甲、 乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)， 該輪比賽結(jié)果對(duì)下一輪比賽是否停止沒有影響．5542042165所以P(ξ＝2)＝9，P(ξ＝4)＝9×9＝81，P(ξ＝6)＝9＝81，所以E(ξ)＝2×9＋20162664×＋6×＝.故選B.8181816．(2019·南安一中期中)設(shè)10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105.隨機(jī)變量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均為0.2，隨機(jī)變量ξ2取值x1＋x2x2＋x3x3＋x4x4＋x5x5＋x1，2，，，的2222概率也為0.2.若記D(ξ1)，D(ξ2)分別為ξ1，ξ2的方差，則()A．D(ξ1)＞D(ξ2)B．D(ξ1)＝D(ξ2)C．D(ξ1)＜D(ξ2)2D．D(ξ1)與D(ξ2)的大小關(guān)系與x1，x2，x3，x4的取值有關(guān)1解析：選A由題意可知E(ξ1)＝5(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，1x1＋x2x2＋x3x3＋x4x4＋x5x5＋x112＋＋2＋＋2＝12345E(ξ)＝52225(x＋x＋x＋x＋x)，期望相等，都設(shè)為m，D(ξ1)＝1[(x1－m)2＋?＋(x5－m)2]，51x1＋x22x5＋x12，D(ξ＝－m＋?＋－m)22510≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105，∴D(ξ1)＞D(ξ2)．故選A.7．(2019·湖南名校聯(lián)考)體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)某學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若X的數(shù)學(xué)期望()＞1.75，則p的取值范圍是()pXEXA.0，7B.7，1121211C.0，2D.2，1解析：選C根據(jù)題意，發(fā)球次數(shù)為1即第一次發(fā)球成功，故P(X＝1)＝p，發(fā)球次數(shù)為2即第一次發(fā)球失敗，第二次發(fā)球成功，故P(X＝2)＝p(1－p)，發(fā)球次數(shù)為3即第一次、第二次發(fā)球失敗，故(＝3)＝(1－)2，則()＝＋2(1－PXpEXppp)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，251依題意有E(X)＞1.75，則p－3p＋3＞1.75，解得p＞2或p＜2，結(jié)合p的實(shí)際意義，可得11，故選C.0＜p＜，即p∈0，228．(2018·浙江高考 )設(shè)0＜p＜1，隨機(jī)變量 ξ的分布列是ξ 0 1 21－p 1 pP2 2 2則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，( )A．D(ξ)減小 B．D(ξ)增大C．D(ξ)先減小后增大 D．D(ξ)先增大后減小1－p 1 p 1解析：選D 由題意知 E(ξ)＝0× 2 ＋1×2＋2×2＝p＋2，3D(ξ)＝0－p＋12×1－p＋1－p＋12×1＋－p＋12×p2222222121－p12132p＝p＋×2＋p－×2＋－p×2222＝－21121p＋＋＝－p－＋，p4221 1D(ξ)在0，2上遞增，在2，1上遞減，即當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，D(ξ)先增大后減?。?．(2019·鄂南高中期中 )設(shè)隨機(jī)變量 X的概率分布列為X1234P111m463則P(|X－3|＝1)＝________.1111115解析：由3＋m＋4＋6＝1，解得m＝4，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝4＋6＝12.5答案：1210．為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超112小時(shí)離開的概率分別為12過1小時(shí)離開的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過，；兩人4623滑雪時(shí)間都不會(huì)超過 3小時(shí)．求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量 ξ(單位：元)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)，方差D(ξ)．解：(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為 0,40,80 元，兩人都付 0元的概率為 P11 1 14×6＝24，1 2 1兩人都付40元的概率為 P2＝2×3＝3，兩人都付80元的概率為1 1 1 2 1 1 1P426346241 1 1 5故兩人所付費(fèi)用相同的概率為 P＝P1＋P2＋P3＝24＋3＋24＝12.4(2)由題設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為 ξ，ξ可能取值為 0,40,80,120,160 ，則：1 1 1P(ξ＝0)＝4×6＝24，1 2 1 1 1P(ξ＝40)＝×＋×＝，1112115P(ξ＝80)＝4×6＋2×3＋6×4＝12，(ξ＝120)11121＝×＋×＝，P26434P(ξ＝160)111＝4×6＝24.ξ的分布列為：ξ04080120160P1151124412424(ξ)＝0×1＋40×1＋80×5＋120×1＋160×1＝80.E24412424D(ξ)＝(0－2121252180)×24＋(40－80)×4＋(80－80)×12＋(120－80)×4＋(160－21400080)×24＝3.11．(2019·大連期中)某工廠為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的單價(jià)進(jìn)行試銷，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，?，6)如表所示.試銷單價(jià)x/元4567a9產(chǎn)品銷量y/件b848380756866已知變量，具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，且x＝39，y＝480，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同iii＝1i＝1學(xué)通過計(jì)算求得其回歸方程分別為：甲，y＝4x＋54；乙，y＝－4x＋106；丙，y＝－4.2x＋105.其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的．(1)試判斷誰的計(jì)算結(jié)果正確，并求出，b的值；a^若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)(xi，yi)中的yi與檢測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)中的yi差的絕對(duì)值不超過 1，則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取 3個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù) ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．－ 39解：(1)已知變量x，y具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲的計(jì)算結(jié)果不對(duì)，由題意得， x＝654806.5，y＝6＝80，－將x＝6.5，y＝80分別代入乙、丙的回歸方程，經(jīng)驗(yàn)證知乙的計(jì)算結(jié)果正確，故回歸方程為 y＝－4x＋106.6由xi＝4＋5＋6＋7＋a＋9＝39，得a＝8，＝16由yi＝b＋84＋83＋80＋75＋68＝480，得b＝90.＝1列出估計(jì)數(shù)據(jù)(xi，yi)與檢測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)如表.x456789y908483807568^908682787470y易知有3個(gè)“理想數(shù)據(jù)”，故“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)ξ的所有可能取值為0,1,2,3.3112912931C3C3C3C3C3C3P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝3＝，P(ξ＝3)＝3＝.故C620C620C620C620ξ的分布列為ξ0123P19912020202019913E(ξ)＝0×20＋1×20＋2×20＋3×20＝2.12．甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司，底薪80元，每單送餐員抽成4元；乙公司，無底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分送餐員每單抽成6元，超出40單的部分送餐員每單抽成7元．假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205(1)現(xiàn)從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天的送餐單數(shù)，求這3天送餐單數(shù)都6不小于40的概率．若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問題：①記乙公司送餐員日工資為 X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 E(X)；②小王打算到甲、 乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員， 如果僅從日工資的角度考慮， 請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說明理由．解：(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件M，32325.則P(M＝3＝C50196(2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為 a，當(dāng)a＝38時(shí)，X＝38×6＝228，當(dāng)a＝39時(shí)，X＝39×6＝234，當(dāng)a＝40時(shí)，X＝40×6＝240，當(dāng)a＝41時(shí)，X＝40×6＋1×7＝247，當(dāng)a＝42時(shí)，X＝40×6＋2×7＝254.所以X