【教案】平面向量基本定理教學設計-2022-2023學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

8/86.3.1平面向量基本定理（第1課時）一、內容和內容解析內容：平面向量基本定理．內容解析：本節(jié)是高中數(shù)學人教A版必修2第六章第3節(jié)第一課時的內容．平面向量的基本定理揭示了平面向量之間的基本關系，是向量解決問題的理論基礎，同時平面向量的基本定理也為我們提供了一種重要的數(shù)學轉化思想.平面向量基本定理是在學習了共線向量基本定理的前提下，進一步研究平面內任意向量的表示，為今后平面向量的坐標運算建立向量坐標的一個邏輯基礎，只有正確地構建向量的坐標才能有正確的坐標運算.平面向量的基本定理的研究綜合了前面學習過的向量知識，同時又為后續(xù)的學習做了奠基，起到了承前啟后的作用.二、目標和目標解析目標：（1）理解平面向量基本定理，了解向量的一組基底的含義，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；（2）在平面內，當一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；（3）會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng).目標解析：（1）經(jīng)歷平面向量基本定理的探索過程.體會由力的分解到向量分解的過程，感悟數(shù)學抽象，邏輯推理等數(shù)學思想的作用.通過證明平面向量基本定理理解定理，體會定理的重要性及意義.增強對數(shù)學思維方法的理解．（2）通過選擇基底表示平面內的一些向量.解決一些平面幾何問題，體會向量法在解決平面幾何問題中的作用和基本步驟．基于上述分析，本節(jié)課的教學重點定為：平面向量基本定理，定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程．三、教學問題診斷分析1．教學問題一：雖然本節(jié)課之前學生已經(jīng)學習了平面向量的概念、平面向量的線性運算、數(shù)量積，但學生對向量之間的關系認識還只是停留在“一維”層面，包括“相等向量”，“相反向量”、“共線向量”等，而平面向量基本定理揭示的是“二維”層面的平面向量間的關系.要實現(xiàn)這種認識層級的躍遷對學生有一定難度．解決方案：引導學生積極參與定理形成的探索過程，通過多舉實例，帶領學生去歸納發(fā)現(xiàn)定理．2．教學問題二：如果說由力的分解的物理模型想到向量的分解是第一次抽象，那么由向量的分解想到任意一個向量都可以用一對不共線的向量，經(jīng)過線性運算加以表示是第二次抽象，也是認識上的一種飛躍，會給學生造成認知上的困難．解決方案：利用信息技術工具等形象的教學手段進行直觀闡釋、辨析，幫助學生理解定理．基于上述情況，本節(jié)課的教學難點定為：平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程．四、教學策略分析本節(jié)課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示．為了讓學生通過觀察、歸納得到平面向量基本定理，可以利用信息技術工具展示幾組力的分解的例子，在此基礎上，固定基底，改變要表示的向量，看向量表示的變化與表示的唯一性，幫助學生理解定理．在教學設計中，采取問題引導方式來組織課堂教學．問題的設置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點．在教學過程中，重視平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)與證明，讓學生體會到從特殊到一般是數(shù)學抽象的基本過程，同時，定理的證明與定理的應用其實就是數(shù)學模型的建立與應用的典范．因此，本節(jié)課的教學是實施數(shù)學具體內容的教學與核心素養(yǎng)教學有機結合的嘗試．五、教學過程與設計教學環(huán)節(jié)問題或任務師生活動設計意圖復習回顧引出問題[問題1]若向量與不共線，向量可以由向量表示出來嗎?[問題2]如圖，兩根繩子吊著一個物體，你能知道這兩根繩子的拉力各是多少嗎？（請畫圖示意）復習：向量共線定理，并在課件中投影一組共線向量，并指出在“選定一個非零向量”的前提下，其他向量均可用唯一表示，即：存在唯一的實數(shù)，使其等于；教師1：提出問題1．學生1：不能，表示不出來.教師2：那么要怎樣才能表示出向量呢?學生2：學生思考．教師3：提出問題2．學生3：學生思考．問題引入：提出問題．探尋規(guī)律獲得結論[問題3]如圖，設是同一平面內兩個不共線的向量，是這一平面內與都不共線的向量，在平面內任取一點O，作將按的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？[問題4]當是零向量時，還能用表示嗎？[問題5]若向量與共線，那么還能用這種形式表示嗎？[問題6]類比前面的一維情況，平面內任何一個向量都可以表示成的形式，那么這種表示是唯一的（即前面的系數(shù)）嗎？教師4：提出問題3.學生4：如圖，，向量可以分解為兩個向量的和.教師5：平面上，任意向量都可以用表示嗎？讓學生分解選擇以下兩個向量之一進行再次嘗試.學生5：思考嘗試.教師6：提出問題4.學生6：可以，取，，則教師7：提出問題5：學生7：若向量與共線，取，則；若向量與共線時，取，則教師8：提出問題6：學生8：假設即假設不全為0不妨假設則.由此可得共線，與已知不共線矛盾則λ1－μ1，λ2－μ2全為0，即λ1=μ1，λ2=μ2所以表示形式是唯一的.教師9：綜上，我們得到“平面向量基本定理”：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，我們把不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.與學生一起提出注意：(1)基底不唯一，關鍵是不共線；(2)由定理可將任一向量a在給出基底e1，e2的條件下進行分解；(3)基底給定時，線性表示是唯一的.教師10：向量共線定理平面向量基本定理條件定一個非零向量a兩個不共線向量e1，e2結論與向量a共線的向量b，均存在唯一的實數(shù)，使其等于b=a對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2實質問題探究的形式，引導學生思考，不斷精確，逐步引出平面向量基本定理的具體內容，同時培養(yǎng)學生類比能力以及化歸能力，激發(fā)學生學習的興趣和自主探索的精神.這里通過證明“唯一性”，讓學生感受數(shù)學的嚴謹扎實，無可辯駁，培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng).通過對比，加深對平面向量基本定理本質含義的理解，抓住定理實質，并未后面坐標表示奠定基礎，而且為后面學習的空間向量基本定理做好過渡.應用定理鞏固拓展[問題7]如圖，在中，為的中點，用來表示.[問題8]如圖，在中，如為的三等分點，用來表示.[問題9]例1.如圖，不共線，且，用表示例2.如圖，CD是△ABC的中線，且CD＝AB，用向量方法證明△ABC是直角三角形.[課堂練習1]在△ABC中，點D，E，F(xiàn)依次是邊AB的四等分點，試以eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2為基底表示eq\o(CF,\s\up6(→)).[課堂練習2]如圖所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D為BC的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:AD⊥CE.教師11：提出問題7．學生9：提出想法．（不同角度方法的嘗試）教師12：提出問題8．學生10：提出想法．教師13：提出問題9學生11：解：因為所以教師14：追問：你有什么發(fā)現(xiàn)？學生12：如果三點共線，點是平面內任意一點，若，則.教師15：完成例2學生13：證明：如圖，設＝a，＝b則＝a＋b，＝a－b因為CD＝AB，所以CD＝DA因為a2＝CD2，b2＝DA2所以，因此CA⊥CB．于是△ABC是直角三角形.教師16：布置課堂練習1、2．學生14：完成課堂練習，并核對答案．讓學生從較容易的一兩個實際運用中進一步感受基本定理的含義，同時為猜想得出后面的一個重要結論做直觀的例證.在前面的基礎上，提出此結論的探究，引發(fā)學生探索的興趣.進一步運用基本定理，加深定理的理解，并初步感受向量方法在幾何上的運用，讓學生感受數(shù)學的統(tǒng)一性.課堂練習1:熟悉平面向量基本定理．課堂練習2:能靈活選擇基底進行分解表示.課堂小結升華認知[問題10]通過這節(jié)課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？[課后練習]1．已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內所有向量基底的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))D．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共線，則a＋b與c＝6e1－2e2的關系是()A．不共線B．共線C．相等D．不確定3．如圖，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)(5e1＋3e2)B．eq\f(1,2)(5e1－3e2)C．eq\f(1,2)(3e2－5e1)D．eq\f(1,2)(5e2－3e1)4．已知A，B，D三點共線，且對任一點C，有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)教師17：提出問題10．學生15：(1)平面向量基本