【教案】向量的加法運算教學設計-2022-2023學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

10/106.2.1向量的加法運算一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：平面向量的加法運算．內(nèi)容解析：向量的加法是向量的第一運算，是向量其他運算的基礎.通過本節(jié)課讓學生知道向量也是一種量，同其他量一樣也有自己的運算，學好本節(jié)課為后面的學習奠定基礎，為用“數(shù)”的運算解決“形”的問題提供工具和方法.通過理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義，掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會用它們解決實際問題，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).二、目標和目標解析目標：（1）借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加法運算及運算規(guī)則，并理解其幾何意義.（2）理解和體驗實際問題抽象為數(shù)學概念的過程和思想，增強數(shù)學的應用意識.培養(yǎng)類比、遷移、分類、歸納等能力.目標解析：（1）學生能從物理中位移的合成、力的合成的具體實例中，抽象出向量的加法法則，能畫圖表示兩個向量加法的結果．能依據(jù)向量加法的定義，并借助其幾何意義探討向量加法的運算規(guī)則.（2）研究平面向量的加法運算時，借助物理中的有關模型，如借助位移的合成引出向量加法的三角形法則；其中蘊含了數(shù)形結合、歸納、抽象等數(shù)學思想方法，是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等數(shù)學學科核心素養(yǎng)的極好載體.基于上述分析，本節(jié)課的教學重點定為：向量加法的運算法則及其幾何意義.三、教學問題診斷分析1．教學問題一：向量與學生在物理中學習的矢量非常類似，物理中許多有關矢量的合成、分解、力做的功等實例可以作為向量有關運算的模型，但這個從物理背景引出向量運算的過程對學生來說仍然存在困難．特別是向量既有大小，也有方向，在向量的線性運算中，對于方向如何參與運算，學生沒有直接的經(jīng)驗．解決方案：在類比中抽象出共性，通過圖形體現(xiàn)其相同點.2．教學問題二：向量的運算性質(zhì)的探究過程是類比實數(shù)的運算性質(zhì)、類比數(shù)的運算，學生能夠想到向量的線性運算可能會有一些類似的運算性質(zhì)，雖然名稱相同，但運算的原理、方法、運算規(guī)律都有較大的區(qū)別，學生很容易帶著實數(shù)運算的思維定勢來理解平面向量運算，導致學生對向量的運算偏于形式化記憶，對于平面向量的線性運算概念、算理的理解不深刻．解決方案：緊扣向量概念中的兩個要素，大小和方向來研究向量的加法．3．教學問題三：向量的加法的定義是用作圖語言來刻畫的，對直接通過作圖定義向量運算的這種處理方法，學生是第一次接觸，在理解上會有一定的困難．解決方案：通過數(shù)和形兩個角度進行刻畫，類比物理中位移、力的合成等輔助理解．基于上述情況，本節(jié)課的教學難點定為：對向量加法運算法則的理解．四、教學策略分析本節(jié)課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示.為了讓學生通過觀察、類比從物理、幾何、代數(shù)三個角度理解平面向量的運算，應該為學生創(chuàng)造積極探究的平臺，引導學生類比數(shù)的運算研究向量的運算.通過直觀形象→具體→抽象→再具體的反復過程，正向思考與逆向思考相結合，使學生逐步理解概念，克服思維的負遷移.在教學設計中，采取問題引導方式來組織課堂教學．問題的設置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點．在教學過程中，讓學生體會用聯(lián)系的觀點、類比的方法研究向量，通過類比“數(shù)及其運算”而獲得研究的內(nèi)容與方法的啟發(fā),再一次體會研究一類新的數(shù)學問題的基本思路.因此，本節(jié)課的教學是實施數(shù)學具體內(nèi)容的教學與核心素養(yǎng)教學有機結合的嘗試.五、教學過程與設計教學環(huán)節(jié)問題或任務師生活動設計意圖創(chuàng)設情境提出問題[問題1]位移、力是向量，它們可以合成．我們看看能否從位移的合成、力的合成中得到啟發(fā)引進向量的運算．如圖1，某質(zhì)點M從點A經(jīng)過點B到點C，質(zhì)點M的位移如何表示？[問題2]有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是F1＝3000N，F(xiàn)2＝2000N，牽引繩之間的夾角為θ＝60°(如圖)，如果只用一條拖輪來牽引，能否產(chǎn)生跟原來相同的效果．[問題3]從物理學的角度，上面實例中位移、牽引力說明了什么？體現(xiàn)了向量的什么運算？[問題4]上述實例中位移的和運算、力的和運算分別用什么法則？教師1：提出問題1．學生1：學生思考．回答：質(zhì)點M的兩次位移的結果與它從點A直接到點C的位移結果相同．教師2：提出問題2．學生2：學生思考．回答：可以.教師3：提出問題3．學生3：學生思考．回答：位移的合成，力的合成，是把兩個向量（矢量）“合”在一起了．這容易讓我們想到向量可以這樣作加法運算.教師4：提出問題4．學生4：三角形法則和平行四邊形法則問題引入:提出問題，啟發(fā)學生由位移的合成引入向量的加法.從具體實例出發(fā)結合圖形思考問題，從中發(fā)現(xiàn)向量加法的運算法則.探尋規(guī)律形成概念[問題5]兩個向量的和還是向量嗎？[問題7]若向量和共線，它們的和向量能否用三角形法則作出？[問題8]如果eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，那么A，B，C三點一定能構成三角形嗎？[問題9]根據(jù)向量加法的三角形法則以及“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,你能發(fā)現(xiàn)|a＋b|與|a|，|b|之間的關系嗎?【練習】如果=8，=5，那么的取值范圍為.？[問題10]你能否總結一下向量加法的運算律？教師5：（1）1.向量加法的定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.對于零向量與任一向量，規(guī)定：.（2）提出問題5．學生5：兩個向量的和仍然是一個向量．教師6：2.向量的加法運算法則.（1）三角形法則已知非零向量a，b，在平面上任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.你能否嘗試總結一下如何記憶？學生6：作平移，首尾連，從頭到尾．教師7：提出問題7學生7：可以用三角形法則作出和向量.教師8：提出問題8.學生8：不一定.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝，則A，B，C三點有可能在同一條直線上(如圖所示)，不能構成三角形.教師9：（2）平行四邊形法則.已知兩個不共線向量，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，以OA，OB為鄰邊作?OACB，則以O為起點的向量eq\o(OC,\s\up6(→))就是向量與的和．這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.請同學們嘗試總結一下如何記憶？學生9：作平移，共起點，四邊形，對角線教師10：向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎？為什么？學生10：畫圖探索，歸納結論：向量加法的三角形法則和平行四邊形法則本質(zhì)上是一致的，解決具體的向量加法問題時，可以有選擇地使用.教師11：提出問題9學生11：對于任意向量a,b,都有||a|-|b|≤|a＋b|≤|a|+|b|;(2)當a,b共線,且同向時,有|a+b|=|a|+|b|;(3)當a,b共線,且反向時,有|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).教師12：完成練習學生12：[3,13]教師13：數(shù)的加法有哪些運算律？學生13：交換律、結合律.教師14：向量的加法是否也有這些運算律？下面我們從數(shù)與形兩個方面來探究向量加法的運算律.（3）加法的運算律如圖(1)在平行四邊形ABCD中，，所以.在圖(2)中，所以教師15：提出問題10.學生14：向量的加法滿足：(1)交換律：.(2)結合律：.明確概念．明確運算法則．教師通過引導學生對展開式各項構成的觀察，得到項的構成．通過該問題的探討，進一步幫助學生理解向量加法的定義和兩個加法法則，明確兩個法則在本質(zhì)上是一致的.借助特例，研究向量加法與實數(shù)加法的聯(lián)系與區(qū)別，這樣，更容易與數(shù)的加法進行類比，加強數(shù)形結合意識的培養(yǎng)．明確研究向量加法運算律的途徑，并通過尋找結論成立的依據(jù)，使學生獲得研究運算律的經(jīng)驗，提升邏輯推理素養(yǎng).典型例題1.向量加法法則的應用例1.如圖，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.2.平面向量的表示例2.化簡：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).3.向量加法在實際問題中的應用例3.在靜水中船的速度為20m/min，水流的速度為10m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達對岸，求船行進的方向.[課堂練習]1．下列結論一定正確的是（

）．A.在△ABC中，．B.向量的大小為2，向量的大小為3，則向量的大小為5．C.．D.．2．某人在靜水中游泳，速度為，水流的速度為9km/h．他沿著垂直于對岸的方向前進，那么他實際前進的方向與河岸的夾角為______度．學生15：三角形法則求解（圖①）學生16：平行四邊形法則求解（圖②）．教師17：完成例2.學生17：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.教師18：完成例3學生18：在Rt△ACD中，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|v水|＝10m/min，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|v船|＝20m/min，∴cosα＝eq\f(|\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，∴α＝60°，從而船與水流方向成120°的角.故船行進的方向是與水流的方向成120°的角的方向.教師19：布置課堂練習．學生19：完成課堂練習．課堂練習考查學生對平面向量加法法則、幾何意義及與數(shù)的加法的不同的掌握情況及將實際問題抽象為向量加法的情況．課堂小結升華認知[問題11]通過這節(jié)課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？[課后練習]1.已知四邊形ABCD是菱形，則下列等式中成立的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))2.正方形ABCD的邊長為1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|為()A.1B.C.3D.3.化簡eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A.eq\o(AB,\s\