2022衡水中學地理內(nèi)部學習資料專題07 點差法（新高考地區(qū)專用）（解析版）

專題07點差法技巧導圖技巧導圖技巧詳講技巧詳講點差法適用范圍中點弦圓錐曲線有三點P、A、B且A、B關(guān)于原點對稱2.點差法在中點弦中推導過程3點差法在對稱中的推導過程4.點差法在圓錐曲線中的結(jié)論總結(jié)：小題可以直接利用結(jié)論解題，解答題需要寫推導過程例題舉證例題舉證技巧1點差法在橢圓在的應用【例1】（1）（2020·全國高三專題練習）直線與橢圓相交于兩點，若中點的橫坐標為，則=（）A． B． C． D．(2)2．（2020·高密市教育科學研究院高三其他模擬）已知橢圓的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A,B兩點.若AB的中點坐標為（1，-1），則G的方程為（）A． B． C． D．（3）．（2020·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三三模（文））已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，直線（為坐標原點）的斜率為，則（）A． B． C． D．（4）．（2020·全國高三專題練習）已知橢圓與直線交于A，B兩點，過原點與線段AB中點所在的直線的斜率為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）D（3）B（4）B【解析】（1）設把代入得，，因為中點的橫坐標為，所以，解得.故選:C（2）設，則，兩式相減并化簡得，即,由于且，由此可解得，故橢圓的方程為.故選：D.（3）設，，的中點，則，.因為，兩點在橢圓上，所以，.兩式相減得：，，，，即，解得.故選：B（4）設，，中點坐標，代入橢圓方程中，得到，，兩式子相減得到，，結(jié)合，，，且，代入上面式子得到，，故選：B.【舉一反三】1．（2020·廣東珠海市·高三一模）已知橢圓的右焦點為，離心率，過點的直線交橢圓于兩點，若中點為，則直線的斜率為（）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】由題得.設，由題得，所以，兩式相減得，所以，所以，所以.故選：C2．（2020·安徽安慶市·高三其他模擬）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點坐標為（1，-1），則橢圓的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，，所以，相減得，∴，即，又∵，，所以，即，解得，又，∴．即橢圓的方程為.故選：A．3．（2020·全國高三專題練習）橢圓與直線交于兩點，過原點與線段中點的直線的斜率為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，，由題知：，.設線段中點為，則.將代入得到.因為，故.故選：B4．（2019·北大附中深圳南山分校高三）已知橢圓，作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，線段的中點為為坐標原點，若直線的斜率為，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則，，兩式相減，得．兩點直線的傾斜角為，，即，①直線的斜率為②由①②可得得．故選：B．5．（2020·湖南長沙市·瀏陽一中高三）已知橢圓的右焦點為，過點F的直線交E于A、B兩點．若AB的中點坐標為，則橢圓E的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令AB的中點為M，坐標為，則，因為A、B兩點是直線與橢圓的交點，且焦點在x軸，所以則故選：B技巧2點差法在雙曲線在的應用【例2】（1）（2020·全國高三專題練習）已知雙曲線E：－＝1，直線l交雙曲線于A，B兩點，若線段AB的中點坐標為，則直線l的方程為（）A．4x＋y－1＝0 B．2x＋y＝0C．2x＋8y＋7＝0 D．x＋4y＋3＝0（2）（2020·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三）在平面直角坐標系中，雙曲線的離心率為2，其焦點到漸近線的距離為，過點的直線與雙曲線交于，兩點.若是的中點，則直線的斜率為（）A．2 B．4 C．6 D．8（3）．（2020·河南鶴壁市·鶴壁高中高三）已知直線:與雙曲線:(,)交于,兩點,點是弦的中點,則雙曲線的離心率為()A． B．2 C． D．（4）（2020·全國高三專題練習）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過F的直線與相交于A，B兩點，且AB的中點為,則的方程式為A． B． C． D．【答案】（1）C（2）C（3）D（4）B【解析】（1）依題意，設點A（x1，y1），B（x2，y2），則有兩式相減得＝，即＝×.又線段AB的中點坐標是，因此x1＋x2＝1，y1＋y2＝（－1）×2＝－2，所以＝－，即直線AB的斜率為－，直線l的方程為y＋1＝，即2x＋8y＋7＝0.故選：C．（2）由題,雙曲線中,又焦點到漸近線的距離,且,解得.故雙曲線.設則,兩式相減得.又中點,故.故選：C（3）設點是弦的中點根據(jù)中點坐標公式可得:,兩點在直線:根據(jù)兩點斜率公式可得:兩點在雙曲線上,即解得:故選:D.（4）∵kAB==1,∴直線AB的方程為y=x-3.由于雙曲線的焦點為F(3,0),∴c=3,c2=9.設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0),則-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴雙曲線E的方程為-=1.故選B.【舉一反三】1．（2019·陜西寶雞市·高考模擬）雙曲線的一條弦被點平分，那么這條弦所在的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設弦的兩端點，，，，斜率為，則，，兩式相減得，即，弦所在的直線方程，即．故選C2．（2019·廣東佛山市·佛山一中高三期中）已知雙曲線C：(a>0，b>0)，斜率為1的直線與C交于兩點A，B，若線段AB的中點為(4，1)，則雙曲線C的漸近線方程是A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．x±y＝0 D．x±y＝0【答案】B【解析】設直線方程為，聯(lián)立，消去y，得，設，因為線段AB的中點為，所以，解得，所以，所以，所以雙曲線C的漸近線方程為，即，故選B.3．（2020·吉林長春市·高三月考）雙曲線被斜率為的直線截得的弦的中點為則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】設代入雙曲線方程作差有:，有，所以，故選：B．4．（2020·全國高三專題練習）過點P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：－y2＝1相交于A，B兩點，若P為線段AB的中點，則|AB|＝（）A．2 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】解法一：由題意可知，直線AB的斜率存在．設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)．因為P(4，2)為線段AB的中點，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.所以x1x2＝＝10.所以|AB|＝·＝4.故選:D.解法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，①.②①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因為P(4，2)為線段AB的中點，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y(tǒng)1－y2，所以直線AB的斜率k＝＝1.則直線AB的方程為y＝x－2.由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.故選：D5．（2020·全國高三專題練習）已知斜率為的直線與雙曲線：(，)相交于、兩點，且的中點為.則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，兩式做差得整理得，而，，，代入有，即可得．故選：A.技巧3點差法在拋物線在的應用【例3】（1）（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考）已知拋物線，以為中點作的弦，則這條弦所在直線的方程為（）A． B．C． D．（2）（2020·貴州高三其他模擬）已知拋物線，傾斜角為的直線交于兩點.若線段中點的縱坐標為，則的值為（）A． B．1 C．2 D．4【答案】（1）A（2）C【解析】（1）設過點的直線交拋物線于、兩點.若直線垂直于軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，由于點為線段的中點，則，由于點、在拋物線上，可得，兩式作差得，所以，直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故選：A.（2）設直線方程為，聯(lián)立得，設，則，因為線段中點的縱坐標為，所以，所以.故選：C.【舉一反三】1．（2020·全國高三專題練習）直線過點與拋物線交于兩點，若恰為線段的中點，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，，兩式相減得，即，當時，，因為點是的中點，所以，，解得：故選：A2．（2020·河北衡水市·衡水中學高三）已知直線與拋物線交于、兩點，直線的斜率為，線段的中點的橫坐標為，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設、\，則，，兩式相減得，所以，解得，得，所以，得直線，聯(lián)立，得，，由韋達定理得，，所以，故選：B.技巧強化技巧強化1．（2020·全國高三專題練習）已知橢圓的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交橢圓于A．B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則=2，=－2，，①，②①－②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴橢圓方程為，故選：D．2．（2020·全國高三專題練習）橢圓內(nèi)有一點，則以為中點的弦所在直線的斜率為A． B． C． D．【答案】A【解析】設以點為中點的弦所在直線與橢圓相交于點，，，，斜率為．則，，兩式相減得，又，，，代入解得．故選：．3．（2020·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三三模）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，直線(為坐標原點)的斜率為，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設A，，則，A，代入橢圓方程得：，兩式相減可得：，化簡可得：，即：，故選：B4．（2020·全國高三專題練習）已知離心率為的橢圓內(nèi)有個內(nèi)接三角形，為坐標原點，邊的中點分別為，直線的斜率分別為，且均不為0，若直線斜率之和為，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，所以不妨設為.設，，，，，，，兩式作差得，則，，同理可得，所以，故選：．5．（2020·全國高三專題練習）中心為原點，一個焦點為F（0,5）的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點的橫坐標為，則該橢圓方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得c＝5，設橢圓的方程為，聯(lián)立得，消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，設直線y＝3x－2與橢圓的交點坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），由根與系數(shù)關(guān)系得x1＋x2＝，由題意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以該橢圓方程為.故選：C6．（2020·全國高三專題練習）橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點，連接原點與線段MN中點所得直線的斜率為，則的值是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝，所以y1＋y2＝，所以線段MN的中點為P，.由題意知，kOP＝，所以．故選：A.7．（2020·黑龍江哈爾濱市·哈師大附中高三）已知雙曲線：，斜率為2的直線與雙曲線相交于點、，且弦中點坐標為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】設、，則，，所以，所以，又弦中點坐標為，所以，，又，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：B.8．（2020·青海西寧市·高三二模）已知傾斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點，是弦的中點，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為傾斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點，所以直線的斜率，設，則①②由①②得則因為是弦的中點，因為直線的斜率為1即所以，則，故選：D9．（2020·銀川三沙源上游學校高三）已知直線:與雙曲線:(，)交于，兩點，點是弦的中點，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】設，因為是弦的中點，根據(jù)中點坐標公式得.直線:的斜率為，故.因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減并化簡得，所以，所以.故選：D10．（2020·齊齊哈爾市第八中學校高三）已知A，B為雙曲線1（a＞0，b＞0）上的兩個不同點，M為AB的中點，O為坐標原點，若kAB?kOM，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】設，，則＝，＝，

由可得．∴，

即，則雙曲線的離心率為．故選：D．11．（2020·甘肅蘭州市·高三月考）過點作一直線與雙曲線相交于、兩點，若為中點，則()A． B． C． D．【答案】D【解析】易知直線AB不與y軸平行，設其方程為y﹣2＝k（x﹣4）代入雙曲線C：，整理得（1﹣2k2）x2+8k（2k﹣1）x﹣32k2+32k﹣10＝0設此方程兩實根為，，則又P（4，2）為AB的中點，所以8，解得k＝1當k＝1時，直線與雙曲線相交，即上述二次方程的△＞0，所求直線AB的方程為y﹣2＝x﹣4化成一般式為x﹣y﹣2＝0．＝8，＝10|AB|||?4．故選D．12．（2020·全國高三專題練習）已知F是拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點，過點R(2，1)的直線l與拋物線C交于A，B兩點，R為線段AB的中點.若|FA|+|FB|=5，則直線l的斜率為（）A．3 B．1 C．2 D．【答案】B【解析】由于R(2，1)為AB中點，設A(xA，yA)，B(xB，yB).根據(jù)拋物線的定義|FA|+|FB|=xA+xB+p=2×2+p=5，解得p=1，拋物線方程為y2=2x.，兩式相減并化簡得，即直線l的斜率為1.故選：B13．（2020·湖北武漢市·高三三模）設直線與拋物線交于，兩點，若線段中點橫坐標為2，則直線的斜率（）.A．2 B． C． D．或2【答案】A【解析】聯(lián)立直線與拋物線，消整理可得，設，，由題意，解可得，解可得或，綜上可知，.故選：A14．（2020·全國高三月考（理））已知圓與拋物線相交于兩點，且，若拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點和，則線段的中點坐標為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為關(guān)于軸對稱，所以縱坐標為，橫坐標為1，代入，可得.設點，.則則，，又關(guān)于直線對稱.，即，，又的中點一定在直線上，.線段的中點坐標為.故選:A.15．（2020·全國高三月考）已知拋物線的焦點到準線的距離為，若拋物線上存在關(guān)于直線對稱的不同兩點和，則線段的中點坐標為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為焦點到準線的距離為，則，所以．設點，．則，則，，又，關(guān)于直線對稱．，即，，又的中點一定在直線上，．線段的中點坐標為．故選：A.16．（2020·全國高三專題練習）已知直線l過拋物線的焦點，并交拋物線C于A、B兩點，，則弦AB中點M的橫坐標是（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】直線l過拋物線的焦點,交拋物線C于A、B兩點則其焦點坐標為,準線方程為過向準線作垂直交準線于點,過向準線作垂直交準線于點,過向準線作垂直交準線于,交軸于,如下圖所示:設由拋物線定義可知,由,可知因為為的中點,由梯形的中位線性質(zhì)可知則即M的橫坐標是故選:C17．（2020·河北衡水市·衡水中學高三月考）拋物線方程為，動點的坐標為，若過點可以作直線與拋物線交于兩點，且點是線段的中點，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設,由題得，所以，故選：A18．（2020·全國高三專題練習）過橢圓內(nèi)的一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在的直線方程.【答案】【解析】解：設直線與橢圓的交點為，、，為的中點，又、兩點在橢圓上，則，兩式相減得于是，即，故所求直線的方程為，即．故答案為：19．（2020·全國高三專題練習）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過的直線與相交于、兩點，且的中點為，求雙曲線的方程.【答案】【解析】設雙曲線的方程為(，)，由題意知，，設、則有：，，兩式作差得：，又的斜率是，∴，代入得，，，∴雙曲線標準方程是.20．（2020·全國高三專題練習）直線m與橢圓＋y2＝1交于P1，P2兩點，線段P1P2的中點為P，設直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為________.【答案】【解析】設，中點，則滿足，兩式相減得，整理得，即，即，.故答案為：.21．（2020·全國高三其他模擬）已知直線與橢圓相交于，兩點，若中點的橫坐標恰好為，則橢圓的離心率為______.【答案】【解析】設，，代入橢圓方程得，，兩式作差得，整理得，因為，所以，又因為，所以，所以，所以.故答案為：.22．（2019·浙江寧波市·鎮(zhèn)海中學高三開學考試）已知橢圓：的離心率為，△ABC的三個頂點都在橢圓r上，設△ABC三條邊AB、BC、AC的中點分別為D、E、M，且三條邊所在直線的斜率分別為、、且均不為0，O為坐標原點，若直線OD、OE、OM的斜率之和為2，則___________．【答案】【解析】由橢圓：的離心率為，設，則橢圓的標準方程為：設因為邊AB、BC、AC的中點分別為D、E、M，故，由在橢圓上，則，兩式相減化簡得：，所以即：同理得：，所以又因為故答案為：23．（2020·四川成都市·高三二模）設直線與拋物線相交于兩點，若弦的中點的橫坐標為則的值為___________．【答案】【解析】聯(lián)立直線與拋物線，得，則，又，故，.故答案為：.24．（2020·全國高三月考）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于、兩點.若的中點坐標為，則橢圓的方程為______.【答案】【解析】設，，則，，①，②，由①－②得，即所以，又，所以，即，又，