空間問(wèn)題及單元選擇

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（回顧）平面問(wèn)題的有限元法整體剛度矩陣求解位移函數(shù)應(yīng)變應(yīng)力等效節(jié)點(diǎn)載荷單元?jiǎng)偠染仃?第三章空間問(wèn)題的有限元法3第一節(jié)三維應(yīng)力狀態(tài)位移幾何方程平面問(wèn)題的推廣4用矩陣形式表示yxz5各向同性彈性體的物理關(guān)系用矩陣表示為彈性矩陣6第二節(jié)空間問(wèn)題的離散化離散化模型：由若干塊狀的單元在節(jié)點(diǎn)處連接，節(jié)點(diǎn)為鉸鏈，基本未知量為節(jié)點(diǎn)位移。ABAQUS空間問(wèn)題離散化采用的單元：應(yīng)用最廣泛的是應(yīng)力/位移實(shí)體單元，三維的包括四面體單元、六面體單元和楔形單元。7第三節(jié)四面體單元單元的節(jié)點(diǎn)位移向量為、單元位移函數(shù)選取如下位移函數(shù)8將4個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)代入寫(xiě)成矩陣表達(dá)形式9其中（i=1，3）插值函數(shù)，是坐標(biāo)的函數(shù)，反映單元的位移形態(tài)，在有限元法中稱為形函數(shù)。（i=2，4）10

節(jié)點(diǎn)的排列應(yīng)滿足右手螺旋法則，即從最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)看去，前三個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)逆時(shí)針排列。（i＝1，2，3，4）為求逆過(guò)程中的代數(shù)如余子式11單元的形函數(shù)矩陣二、應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣單元位移函數(shù)為1213應(yīng)變矩陣常應(yīng)變單元14應(yīng)力矩陣單元中的應(yīng)力也為常數(shù)。三、單元?jiǎng)偠染仃囎冃误w的虛功原理：要使變形體在某一形變位置處于平衡，其充要條件是，在這一變形位置，所有內(nèi)力和外力在任何虛位移上所做的虛功之和為零。--變形體虛功方程15設(shè)單元產(chǎn)生虛位移，單元節(jié)點(diǎn)虛位移為單元內(nèi)部的虛應(yīng)變?yōu)橥饬μ摴?nèi)力虛功的負(fù)值任意性

16其中的元素為常量單元?jiǎng)偠染仃囁?、單元等效?jié)點(diǎn)載荷向量利用虛功原理獲得等效節(jié)點(diǎn)向量。17五、求解求解如下方程組六、應(yīng)力計(jì)算及結(jié)果處理求解方程組單元內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力單元的節(jié)點(diǎn)位移向量節(jié)點(diǎn)位移向量18應(yīng)變矩陣是形函數(shù)對(duì)坐標(biāo)求導(dǎo)得到的矩陣，而求導(dǎo)使多項(xiàng)式的階數(shù)降低，所以計(jì)算得到的應(yīng)力和應(yīng)變精度比位移低，存在誤差。應(yīng)力解的誤差表現(xiàn)在：?jiǎn)卧獌?nèi)部不滿足平衡方程；單元與單元的交界處應(yīng)力不連續(xù)；在邊界上應(yīng)力解與邊界條件不符。計(jì)算得到的應(yīng)力進(jìn)行處理：繞節(jié)點(diǎn)平均法，兩單元平均法，外推法有限元誤差包括：計(jì)算誤差和離散誤差。誤差分析減少誤差采取的措施：減少剛度過(guò)份懸殊的單元，采用較密的網(wǎng)格劃分19第四節(jié)六面體單元單元的節(jié)點(diǎn)位移向量為20、六面體單元位移函數(shù)選取如下位移函數(shù)可由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和位移確定出待定系數(shù)單元的位移模式是完備和協(xié)調(diào)的21二、其他物理量應(yīng)變矩陣應(yīng)力矩陣單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)空間問(wèn)題的有限元分析，一般多采用復(fù)雜一些、精度高一些的等參元。22算例：

如圖所示支架，一端牢固地焊接在一個(gè)大型結(jié)構(gòu)上，支架的圓孔穿過(guò)一個(gè)相對(duì)較軟的桿件，圓孔和桿件用螺紋連接。材料的彈性模量為210GPa，泊松比為0.3。23支架有兩種工況：1、桿件的一端受到y(tǒng)軸負(fù)向的集中力2kN，其大小隨時(shí)間變化。2、支架的自由端在局部區(qū)域受到均布切力36MPa。試分析在兩種工況下支架撓度隨時(shí)間的變化情況；內(nèi)圓角處的最大主應(yīng)力。根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)，減少應(yīng)力集中。242526第五節(jié)ABAQUS單元的選擇ABAQUS單元庫(kù)中提供廣泛的單元類型，適應(yīng)不同的結(jié)構(gòu)和幾何特征單元特性：Family單元族Numberofnodes節(jié)點(diǎn)數(shù)Degreesoffreedom自由度數(shù)Formulation數(shù)學(xué)描述Integration積分27單元類型ABAQUS單元種類多達(dá)433種，共分為8大類：連續(xù)體單元（實(shí)體單元）、殼單元、薄膜單元、梁?jiǎn)卧?、桁架單元、剛體單元、連接單元和無(wú)限元。單元族之間的主要區(qū)別是每一個(gè)單元族所假定的幾何類型不同28節(jié)點(diǎn)數(shù)—插值的階數(shù)：ABAQUS只在節(jié)點(diǎn)上計(jì)算位移或其他任何自由度，在單元內(nèi)的其它點(diǎn)，位移由節(jié)點(diǎn)位移插值獲得。通常插值的階數(shù)由單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)決定。自由度：是分析計(jì)算的基本變量。如對(duì)于平面問(wèn)題自由度是指各節(jié)點(diǎn)處的平動(dòng)。線性（linear）單元：又稱一階單元，僅在單元的角點(diǎn)處布置節(jié)點(diǎn)，在每一個(gè)方向上采用線性插值。二次（quadratic）單元：又稱二階單元，在每條邊上有中間節(jié)點(diǎn)，在每一個(gè)方向上采用二次插值。修正的（modified）二次單元：只針對(duì)三角形（tri）和四面體單元（tet）才有這種類型，即在每一條邊上有中間節(jié)點(diǎn)，并采用修正的二次插值。29數(shù)學(xué)描述：是指用來(lái)定義單元行為的數(shù)學(xué)理論。ABAQUS中所有的應(yīng)力/位移分析單元都是基于拉格朗日或材料行為的描述—在整個(gè)分析中和單元相關(guān)的材料保持和這個(gè)單元相關(guān)，而且材料不能在單元之間移動(dòng)。在歐拉空間描述中，單元在空間固定，而材料在單元之間流動(dòng)。歐拉方法通常用在流體力學(xué)的模擬中。平面應(yīng)變、平面應(yīng)力、雜交單元、非協(xié)調(diào)元、小應(yīng)變殼元、有限應(yīng)變殼元、厚殼、薄殼30積分：ABAQUS應(yīng)用數(shù)值方法在每一個(gè)單元的體積上對(duì)不同變量進(jìn)行積分。單元的剛度和質(zhì)量在單元內(nèi)的采樣點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，這些采樣點(diǎn)叫做“積分點(diǎn)”；數(shù)值積分的算法影響單元的行為；ABAQUS包括完全積分和減縮積分。一階完全積分

減縮積分二階完全積分：線性單元如要完全積分，則在每一個(gè)方向上需要2個(gè)積分點(diǎn)。而二次單元若要完全積分在每個(gè)方向上需要3個(gè)積分點(diǎn)。減縮積分：比完全積分單元在每個(gè)方向上少用一個(gè)積分點(diǎn)。只用于六面體單元。在單元截面屬性中采用沙漏控制增加單元的剛度*SOLIDSECTION,NAME=name*HOURGLASSSTIFFNESS

檢查積分點(diǎn)的壓應(yīng)力，查看是否發(fā)生體積自鎖檢查沒(méi)有剪切變形的單元中發(fā)生了剪切變形，查看是否發(fā)生了剪力自鎖32

對(duì)于線性完全積分的實(shí)體單元，彎曲變形時(shí)存在剪力自鎖現(xiàn)象。受純彎曲材料的變形線性完全積分單元的變形每一點(diǎn)的剪應(yīng)力不為零偽剪應(yīng)力33二次完全積分單元的變形可以避免這個(gè)問(wèn)題二次完全積分單元的優(yōu)點(diǎn)：對(duì)應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果很精確，適于模擬應(yīng)力集中問(wèn)題；一般情況下，沒(méi)有剪切自鎖問(wèn)題。應(yīng)用二次完全積分單元應(yīng)注意：不能應(yīng)用于接觸問(wèn)題；對(duì)于彈塑性材料，若材料是不可壓縮的，容易產(chǎn)生體積自鎖。34減縮積分：比完全積分單元在每個(gè)方向上少用一個(gè)積分點(diǎn)。只用于四邊形和六面體單元。

線性減縮積分單元存在所謂的沙漏（hourglassing）的數(shù)值問(wèn)題。受彎曲時(shí)線性減縮積分單元的變形35

單元在積分點(diǎn)上的所有應(yīng)力分量為零，單元扭曲沒(méi)有產(chǎn)生應(yīng)變能，單元在此狀態(tài)下沒(méi)有剛度，在粗網(wǎng)格中這種狀態(tài)可能擴(kuò)展，從而產(chǎn)生無(wú)意義的結(jié)果。ABAQUS對(duì)減縮積分單元引入少量的人工沙漏剛度以限制沙漏模式的擴(kuò)展。當(dāng)模型中應(yīng)用更多的單元時(shí)，這種剛度限制沙漏是更有效的。所以采用合理的細(xì)網(wǎng)格線性減縮積分單元能夠得到滿意的結(jié)果。線性減縮積分單元具有以下優(yōu)點(diǎn)：位移求解結(jié)果比較精確。網(wǎng)格存在扭曲時(shí)，分析精度不會(huì)受到很大影響。在彎曲載荷下不容易產(chǎn)生剪切自鎖。ABAQUS單元命名約定B21:梁,2-D,一次插值

CAX8R:連續(xù)，周對(duì)稱，8節(jié)點(diǎn)，減縮積分DC3D4:擴(kuò)散

（熱傳導(dǎo)），連續(xù),3-D,4-nodeS8RT:殼,8節(jié)點(diǎn),減縮積分，溫度CPE8PH:連續(xù)，平面應(yīng)變，8節(jié)點(diǎn)，氣孔壓力，雜交DC1D2E:擴(kuò)散（熱傳導(dǎo)），連續(xù)，1-D,2-node,電37ABAQUS網(wǎng)格劃分網(wǎng)格質(zhì)量123411223344位移協(xié)調(diào)性梁?jiǎn)卧矫鎲卧M彎曲狀態(tài)垂直于中線的平面彎曲后仍然垂直與中線；軸向應(yīng)變沿厚度方向線性變化；如果泊松比為零，厚度方向的應(yīng)變?yōu)榱?；剪?yīng)變?yōu)榱愠跏即怪庇诘葏⒕€的直線彎曲后沒(méi)有改變長(zhǎng)度

（yy=0）由于單元的邊可以變成曲線，變形后的等參線仍然為90o（yy=0）。等參線二次單元模擬(CPE8,C3D20R,…)和減縮積分單元可以精確的模擬彎曲狀態(tài)；模擬彎曲狀態(tài)由于單元邊界必須保持直線，所以變形后的等參線不再垂直（）積分點(diǎn)一次全積分單元模擬（CPS4,CPE4,C3D8）

在積分點(diǎn)有剪應(yīng)變單元邊界長(zhǎng)度改變了但沒(méi)有應(yīng)變一次減縮積分單元模擬（CPE4R,…）出現(xiàn)沙漏（hourglassing）現(xiàn)象

厚度方向上有至少4層單元沒(méi)有沙漏如果厚度方向上多于4層一次全積分，則不會(huì)出現(xiàn)沙漏相同的載荷條件，變形放大1000×檢查是否出現(xiàn)沙漏的方法一：看變形圖模擬彎曲狀態(tài)內(nèi)能偽能偽能內(nèi)能厚度方向兩個(gè)單元：偽能/內(nèi)能為2%厚度方向四個(gè)單元：偽能/內(nèi)能為0.1%檢查是否出現(xiàn)沙漏的方法二：看能量比ABAQUS對(duì)減縮積分單元引入少量的人工沙漏剛度以限制沙漏模式的擴(kuò)展。當(dāng)模型中應(yīng)用更多的單元時(shí)，這種剛度限制沙漏是更有效的。所以采用合理的細(xì)網(wǎng)格線性減縮積分單元能夠得到滿意的結(jié)果。42線性減縮積分單元具有以下優(yōu)點(diǎn)：位移求解結(jié)果比較精確。網(wǎng)格存在扭曲時(shí)，分析精度不會(huì)受到很大影響。在彎曲載荷下不容易產(chǎn)生剪切自鎖。應(yīng)用線性減縮積分單元應(yīng)注意：需要?jiǎng)澐州^細(xì)的網(wǎng)格克服沙漏問(wèn)題。如果希望以應(yīng)力集中部位的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力作為分析目標(biāo)，則不要選用該積分單元，因?yàn)樵搯卧辉趩卧行挠幸粋€(gè)積分點(diǎn)，相當(dāng)于常應(yīng)力單元，它在積分點(diǎn)上的應(yīng)力相對(duì)精確，而經(jīng)過(guò)外推插值或平均后的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力則不精確。43二次減縮積分單元具有以下優(yōu)點(diǎn)：即使不劃分較細(xì)的網(wǎng)格也不會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的沙漏問(wèn)題。即使在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下對(duì)自鎖也不敏感。應(yīng)用二次減縮積分單元應(yīng)注意：不能在接觸問(wèn)題中使用。不適用于大應(yīng)變問(wèn)題。得到節(jié)點(diǎn)應(yīng)力精度不高。44非協(xié)調(diào)單元：可以將單元類型設(shè)置為非協(xié)調(diào)模式單元(如C3D8I、CPS4I)。非協(xié)調(diào)單元把能夠增強(qiáng)單元位移梯度的附加自由度引入一階單元，從而可以克服完全積分一階單元的剪力自鎖。非協(xié)調(diào)模式單元一階單元45非協(xié)調(diào)單元：可以利用連續(xù)實(shí)體非協(xié)調(diào)單元很好的模擬彎曲占主導(dǎo)的問(wèn)題；與一次和二次減縮積分單元相比：可以很好的模擬剪切變形，如沒(méi)有剪切變形的純彎曲問(wèn)題；可以在厚度方向利用一個(gè)單元模擬得到精確的結(jié)構(gòu)；沒(méi)有沙漏問(wèn)題，可以很好的模擬塑性和接觸問(wèn)題。如果單元過(guò)渡扭曲，不如一次減縮積分單元有優(yōu)勢(shì)；但如果過(guò)分扭曲所有的單元都不如意。46非協(xié)調(diào)單元：例：具有扭曲單元的懸臂梁平行扭曲梯形扭曲47單元類型xxyyxy備注物理狀態(tài)000二次000OK一次全積分000剪切自鎖一次減縮積分000如果厚度方向的單元較少000OK如果厚度方向有足夠的單元非協(xié)調(diào)單元000OK如果不過(guò)分扭曲不同單元模擬彎曲狀態(tài)48應(yīng)力集中問(wèn)題二次單元處理應(yīng)力集中問(wèn)題，明顯優(yōu)于一次單元無(wú)論是完全積分還是減縮積分都可以很好的反映應(yīng)力集中減縮積分效率更高，而且計(jì)算結(jié)果往往優(yōu)于完全積分。二次單元可以以更少的單元更好的反應(yīng)結(jié)構(gòu)的幾何特征

49應(yīng)力集中問(wèn)題理想okbaddistortedundistorted當(dāng)單元初始具有扭曲時(shí)，利用一次、二次和六面體單元的計(jì)算精度都較低但一次單元比二次單元對(duì)扭曲的敏感性低二次三角形和四面體單元與單元初始的形狀不敏感50接觸問(wèn)題二次四邊形和六面體單元不適合做接觸問(wèn)題；規(guī)則的二次三角形和四面體單元經(jīng)過(guò)修正后適合做接觸問(wèn)題（修正后的單元加M）由于壓力的不均勻協(xié)調(diào)改變節(jié)點(diǎn)力的方向。51雜交單元：對(duì)于ABAQUS的每一種實(shí)體單元，都可以得到一個(gè)雜交單元。用來(lái)處理不可壓縮（或非常接近不可壓縮材料）。如果材料不可壓縮，單元的體積不會(huì)改變，則壓應(yīng)力不能由節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算，而是由一個(gè)附加自由度來(lái)決定。（ABAQUS/Standard）彈塑性材料發(fā)生體積自鎖正常的彈塑性材料橡膠材料或大塑性應(yīng)變的金屬材料52雜交單元對(duì)于近似不可壓縮材料，如果沒(méi)有物理機(jī)制的變形采用全積分單元發(fā)生體積自鎖，可以把全積分單元改用減縮積分單元，同時(shí)增加網(wǎng)格密度。如果問(wèn)題依然存在再使用雜交單元。雜交單元不建議使用在各向異性材料中，除非材料是近似不可壓縮狀態(tài)。精密的網(wǎng)格，使用減縮積分仍然有體積自鎖的網(wǎng)格，比如彈塑性材料完全進(jìn)入塑性階段。即使使用了雜交單元一次三角形或者四面體單元仍然有過(guò)度約束。因此建議這類單元使用的比例要小，可以作為六面體單元的“填充物”使用。實(shí)體單元的選擇問(wèn)題最佳的單元不建議使用的單元兩個(gè)變形體的一般接觸分析一階單元二階單元伴有彎曲的摩擦非協(xié)調(diào)單元一階或二階完全積分單元彎曲（沒(méi)有摩擦）二階單元