應(yīng)用舉例（第1課時(shí)）解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用【知識(shí)精講+高效備課】 九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 課件（人教版）

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第28章銳角三角函數(shù)28.2.2應(yīng)用舉例第1課時(shí)解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)根據(jù)切線的性質(zhì)結(jié)合直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.2.能從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，并能靈活選擇三角函數(shù)解決問(wèn)題.(2)兩銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°(3)邊角之間的關(guān)系：(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2

上述（3）中的A都可以換成B，同時(shí)把a(bǔ)，b互換.直角三角形五個(gè)元素之間的關(guān)系：復(fù)習(xí)回顧“神州”九號(hào)載人航天飛船與“天宮”一號(hào)成功對(duì)接新課引入“神州”九號(hào)與“天宮”一號(hào)的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運(yùn)行，如圖，當(dāng)組合體運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方時(shí)，從中能看到的地球表面最遠(yuǎn)點(diǎn)在什么位置？最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少（地球半徑約為6400km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù)）？如圖所示，PA切⊙O于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)B，⊙O的半徑為1cm，PB＝1cm，則∠AOB＝_____，

＝______OAPB(1)圓的切線有什么性質(zhì)？(2)在△PAO中，怎樣求銳角∠AOB的度數(shù)？(3)弧長(zhǎng)公式是什么？60°切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑在直角三角形中，已知一銳角，可以求另一銳角度數(shù)；已知任意兩邊，通過(guò)邊與角的關(guān)系，利用銳角三角函數(shù)求出一銳角度數(shù).知識(shí)聯(lián)系例：2012年6月18日，“神舟”九號(hào)載人航天飛船與“天宮”一號(hào)目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接.“神舟”九號(hào)與“天宮”一號(hào)的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運(yùn)行，如圖，當(dāng)組合體運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方時(shí)，從中能看到的地球表面最遠(yuǎn)點(diǎn)在什么位置？最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少（地球半徑約為6400km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù)）？利用圓的有關(guān)知識(shí)解直角三角形典例分析分析：

組合體地球看視線是切線最遠(yuǎn)點(diǎn)是切點(diǎn)

解：設(shè)∠POQ

＝α，在圖中，F(xiàn)Q是⊙O的切線，△FOQ是直角三角形．∴弧

PQ的長(zhǎng)為：

當(dāng)飛船在P點(diǎn)正上方時(shí)，最遠(yuǎn)點(diǎn)距離P點(diǎn)約2051km.∵∴α≈18.36°·OCBA1.“欲窮千里目，更上一層樓”是唐代詩(shī)人王之渙的不朽詩(shī)句.如果我們想在地球上看到距觀測(cè)點(diǎn)1000里處景色，“更上一層樓”中的樓至少有多高呢？存在這樣的樓房嗎？（設(shè)代表地面，O為地球球心，C是地面上一點(diǎn)，=500km，地球的半徑為6370km，cos4.5°=0.997）針對(duì)訓(xùn)練解：設(shè)登到B處，視線BC在C點(diǎn)與地球相切，也就是看C點(diǎn)，AB就是“樓”的高度，∴AB=OB－OA=6389－6370=19(km).即這層樓至少要高19km，即19000m.這是不存在的.

·OCBA在Rt△OCB中，∠O2.

如圖是一個(gè)勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪示意圖，O為圓心，AB為水平地面，假設(shè)摩天輪的直徑為80m，最低點(diǎn)C離地面6m，旋轉(zhuǎn)一周所用的時(shí)間為6min，小明從點(diǎn)C乘坐摩天輪（身高忽略不計(jì)），請(qǐng)問(wèn)：經(jīng)過(guò)2min后，小明離地面的高度是多少米？解：過(guò)E作EG垂直于CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∠COE=2

×=120°，∴∠GOE=60°.∴OG=OE·cos∠GOE=20（m）∴小明離地面的高度是：OG+OC+CD=20+40+6=66（m）.3.如圖，秋千鏈子的長(zhǎng)度為3m，靜止時(shí)的秋千踏板（大小忽略不計(jì)）距地面0.5m．秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，若最大擺角（擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角）約為60°，則秋千踏板與地面的最大距離為多少？0.5m3m60°0.5m3mABCDE60°分析：根據(jù)題意，可知秋千踏板與地面的最大距離為CE的長(zhǎng)度.因此，本題可抽象為：已知：DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB為直角三角形，求CE的長(zhǎng)度.解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，3mABDE60°C∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，∴CD=AD－AC=1.5m，∴CE=CD+DE=2.0m.即秋千踏板與地面的最大距離為2.0m.4.如圖，在電線桿上的C處引拉線CE，CF固定電線桿.拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6米的A處測(cè)得AC與水平面的夾角為30°，已知A與地面的距離為1.5米，求拉線CE的長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）G解：作AG⊥CD于點(diǎn)G，則AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.∴(米).G∴CD=CG+DG=(+1.5)(米)，∴(米).利用解直角三角形解決實(shí)物模型問(wèn)題的一般過(guò)程是：（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題(畫(huà)出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題)；（2）根據(jù)問(wèn)題中的條件，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案.歸納小結(jié)1.課外活動(dòng)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度.當(dāng)太陽(yáng)光線與地面成30°角時(shí)，測(cè)得旗桿在地面上的影長(zhǎng)為24米，那么旗桿的高度約是（）A.12米B.米

C.24米

D.米B當(dāng)堂鞏固2.數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)們要測(cè)量被池塘相隔的兩棵樹(shù)A，B的距離，他們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的測(cè)量方案：從樹(shù)A沿著垂直于AB的方向走到E，再?gòu)腅沿著垂直于AE的方向走到F，C為AE上一點(diǎn)，其中3位同學(xué)分別測(cè)得三組數(shù)據(jù)：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)求得A，B兩樹(shù)距離的有（）A．0組B.1組C．2組D.3組D3.如圖，要測(cè)量B點(diǎn)到河岸AD的距離，在A點(diǎn)測(cè)得∠BAD=30°，在C點(diǎn)測(cè)得∠BCD=60°，又測(cè)得AC=100米，則B點(diǎn)到河岸AD的距離為（）BDCAA.100米B.米C.米D.50米B4.一次臺(tái)風(fēng)將一棵大樹(shù)刮斷，經(jīng)測(cè)量，大樹(shù)刮斷一端的著地點(diǎn)B到樹(shù)根部C的距離為4米，倒下部分AB與地平面BC的夾角為45°，則這棵大樹(shù)高是

米.ACB4米45°5.

如圖，在電線桿上離地面高度5m的C點(diǎn)處引兩根拉線固定電線桿，一根拉線AC和地面成60°角，另一根拉線BC和地面成45°角．則兩根拉線的總長(zhǎng)度為

m(結(jié)果用帶根號(hào)的數(shù)的形式表示).

解：如圖，由題意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m.∴

∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m，設(shè)AB′=xm.D′AB′BDC′CFEA30°15m1.(1)小華去實(shí)驗(yàn)樓做實(shí)驗(yàn),兩幢實(shí)驗(yàn)樓的高度AB=CD=20m，兩樓間的距離BC=15m，已知太陽(yáng)光與水平線的夾角為30°，求南樓的影子在北樓上有多高；北ABDC20m15mEF南解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，∴∠AFE=90°，F(xiàn)E=BC=15m.即南樓的影子在北樓上的高度為∴鞏固提升(2)小華想：若設(shè)計(jì)時(shí)要求北樓的采光，不受南樓的影響，請(qǐng)問(wèn)樓間距BC長(zhǎng)至少應(yīng)為多少米?AB20m？m北DC南答案：BC至少為1.（8分）（2021?安徽17/23）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，學(xué)習(xí)制作機(jī)械零件．零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊形AEFD為矩形，點(diǎn)B、C分別在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面積．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．【分析】由四邊形AEFD為矩形，可得AD∥EF，則∠BAD＝∠EBA，又AB＝10cm，結(jié)合三角函數(shù)值可求出AE與BE的長(zhǎng)度，又∠ABC是90°，在Rt△BCF中，結(jié)合三角函數(shù)值可求出BF，CF的長(zhǎng)度，由零件的截面面積＝矩形AEFD的面積﹣△ABE的面積﹣△BCF的面積，即可得出結(jié)論．感受中考【解答】解：如圖，∵四邊形AEFD為矩形，∠BAD＝53°，∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°，∴∠BAD＝∠EBA＝53°，在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10，∠EBA＝53°，∴sin∠EBA=≈0.80，cos∠EBA=≈0.60，∴AE＝8，BE＝6，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°，∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°，∴sin∠BCF=≈0.80，cos∠BCF=≈0.60，∴BF=，F(xiàn)C

=，∴EF＝6+=，∴S四邊形EFDA＝AE?EF＝8×=

，S△ABE＝

，S△BCF＝

，∴截面的面積＝S四邊形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝

（cm2）2.（6分）（2021?陜西21/26）一座吊橋的鋼索立柱AD兩側(cè)各有若干條斜拉的鋼索，大致如圖所示．小明和小亮想用測(cè)量知識(shí)測(cè)較長(zhǎng)鋼索AB的長(zhǎng)度．他們測(cè)得∠ABD為30°，由于B、D兩點(diǎn)間的距離不易測(cè)得，通過(guò)探究和測(cè)量，發(fā)現(xiàn)∠ACD恰好為45°，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離約為16m．已知B、C、D共線，AD⊥BD．求鋼索AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】本題設(shè)AD＝x，在等腰直角三角形ADC中表示出CD，從而可以表示出BD，再在Rt△ABD中利用三角函數(shù)即可求出x的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求出AB的長(zhǎng)度．感受中考【解答】解：在△ADC中，設(shè)AD＝x，∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝x，在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，∴AD＝BD?tan30°，即x（16+x），解得：x＝

，∴AB＝2AD＝2×（

）=，∴鋼索AB的長(zhǎng)度約為（

）m．3.（10分）（2021?青海24/25）如圖1是某中學(xué)教學(xué)樓的推拉門(mén)，已知門(mén)的寬度AD＝2米，且兩扇門(mén)的大小相同（即AB＝CD），將左邊的門(mén)ABB1A1繞門(mén)軸AA1向里面旋轉(zhuǎn)35°，將右邊的門(mén)CDD1C1繞門(mén)軸DD1向外面旋轉(zhuǎn)45°，其示意圖如圖2，求此時(shí)B與C之間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，

≈1.4）【分析】作BE⊥AD于點(diǎn)E，作CF⊥AD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FC到點(diǎn)M，使得BE＝CM，則EM＝BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出EF的長(zhǎng)度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的長(zhǎng)，此題得解．【解答】解：作BE⊥AD于點(diǎn)E，作CF⊥AD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FC到點(diǎn)M，使得BE＝CM，∵AB＝CE，AB+CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1，在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，∴BE＝AB?sin∠A＝1×sin35°≈0.6，∴AE＝AB?cos∠A＝1×cos35°≈0.8，在Rt△CDF中，∠D＝45°，CD＝1，∴CF＝CD?sin∠D＝1×sin45°≈0.7，∴DF＝CD?cos∠D＝1×cos45°≈0.7，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE＝EM，∴四邊形BEMC是平行四邊形，∴BC＝EM，在Rt△MEF中，F(xiàn)M＝CF+CM＝1.3，EF＝AD﹣AE﹣FD＝0.5，∴EM≈1.4．答：B與C之間的距離約為1.4米．4.（8分）（2021?江西20/23）圖1是疫情期間測(cè)溫員用“額溫槍”對(duì)小紅測(cè)溫時(shí)的實(shí)景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點(diǎn)A之間的水平寬度為25.3cm（即MP的長(zhǎng)度），槍身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）測(cè)溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)A與額頭距離范圍為3~5cm．在圖2中，若測(cè)得∠BMN＝68.6°，小紅與測(cè)溫員之間距離為50cm．問(wèn)此時(shí)槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說(shuō)明理由．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，

≈1.414）【解答】解：