固體物理學(xué)-晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)之一維單原子鏈

03_02一維單原子鏈

絕熱近似

——用一個(gè)均勻分布的負(fù)電荷產(chǎn)生的常量勢(shì)場(chǎng)描述電子對(duì)離子運(yùn)動(dòng)的影響晶格具有周期性，晶格的振動(dòng)具有波的形式——格波格波的研究

1)先計(jì)算原子之間的相互作用力2)根據(jù)牛頓定律寫(xiě)出原子運(yùn)動(dòng)方程——求解方程

——將電子的運(yùn)動(dòng)和離子的運(yùn)動(dòng)分開(kāi)

一維無(wú)限單原子鏈——原子質(zhì)量m，平衡時(shí)原子間距a

——原子之間的作用力

——第n個(gè)原子離開(kāi)平衡位置的位移——第n個(gè)原子和第n＋1個(gè)原子間的相對(duì)位移第n個(gè)原子和第n＋1個(gè)原子間的距離平衡位置時(shí)，兩個(gè)原子間的互作用勢(shì)能發(fā)生相對(duì)位移后，相互作用勢(shì)能——常數(shù)——平衡條件簡(jiǎn)諧近似

——振動(dòng)很微弱，勢(shì)能展式中只保留到二階項(xiàng)相鄰原子間的作用力——恢復(fù)力常數(shù)原子的運(yùn)動(dòng)方程——只考慮相鄰原子的作用，第n個(gè)原子受到的作用力第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程——每一個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程類似——方程的數(shù)目和原子數(shù)相同方程解和振動(dòng)頻率

設(shè)方程組的解naq—第n個(gè)原子振動(dòng)相位因子得到應(yīng)用三角公式連續(xù)介質(zhì)中的機(jī)械波波數(shù)格波方程

格波的意義晶體中的格波——格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式——一個(gè)格波表示的是所有原子同時(shí)做頻率為的振動(dòng)波長(zhǎng)——格波的波形圖——簡(jiǎn)諧近似下，格波是簡(jiǎn)諧平面波向上箭頭

——代表原子沿X軸向右振動(dòng)向下箭頭

——代表原子沿X軸向左振動(dòng)格波波長(zhǎng)格波波矢格波相速度不同原子間相差格波方程相鄰原子的相差波矢的取值和布里淵區(qū)格波相鄰原子相差——原子振動(dòng)狀態(tài)相同格波1的波矢相鄰原子相差格波格波2的波矢相鄰原子的位相差——波矢q1和q2的格波中，原子的振動(dòng)完全相同波矢的取值——相鄰原子的相位差取值——

第一布里淵區(qū)——只研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動(dòng)問(wèn)題——其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容玻恩－卡門（Born-Karman）周期性邊界條件——一維無(wú)限長(zhǎng)單原子晶格___所有原子是等價(jià)的每個(gè)原子的振動(dòng)形式都一樣——實(shí)際晶體為有限，形成的鏈不是無(wú)窮長(zhǎng)鏈兩頭的原子___不同于中間原子——N個(gè)原子頭尾相接形成環(huán)鏈，保持所有原子等價(jià)特點(diǎn)——處理問(wèn)題時(shí)考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性——N很大，原子運(yùn)動(dòng)近似為直線運(yùn)動(dòng)設(shè)第n個(gè)原子的位移再增加N個(gè)原子之后第N+n個(gè)原子的位移則有要求——h為整數(shù)波矢的取值范圍h—N個(gè)整數(shù)值，波矢q——取N個(gè)不同的分立值每個(gè)波矢在第一布里淵區(qū)占的線度第一布里淵區(qū)的線度第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)波矢——格波的色散關(guān)系頻率是波數(shù)的偶函數(shù)格波相速度—不同波長(zhǎng)的格波傳播速度不同色散關(guān)系——q空間的周期頻率極小值頻率極大值頻率在之間的格波才能在晶體中傳播其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減——低通濾波器色散關(guān)系格波——長(zhǎng)波極限當(dāng)——格波的色散關(guān)系與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的一致格波——短波極限——格波的色散關(guān)系與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的不一致——不同頻率的格波傳播速度不同長(zhǎng)波極限下短波極限下相鄰兩個(gè)原子振動(dòng)相位差——晶格可看作是連續(xù)介質(zhì)——相鄰原子的振動(dòng)相位相反——原子位移和簡(jiǎn)正坐標(biāo)的關(guān)系

第q個(gè)格波引起第n個(gè)原子位移第n個(gè)原子總的位移令原子坐標(biāo)和簡(jiǎn)正坐標(biāo)的變換——線性變換為幺正變換——有3N個(gè)取值原子位移和簡(jiǎn)正坐標(biāo)的關(guān)系

——?jiǎng)幽芎蛣?shì)能的形式

——N項(xiàng)獨(dú)立的模式動(dòng)能的正則坐標(biāo)表示原子位移為實(shí)數(shù)——正交性勢(shì)能——系統(tǒng)勢(shì)能哈密頓量——系統(tǒng)復(fù)數(shù)形式的簡(jiǎn)正坐標(biāo)——?jiǎng)菽堋獎(jiǎng)幽堋獙?shí)數(shù)形式的簡(jiǎn)正坐標(biāo)令哈密頓量能量本征值聲子——晶格振動(dòng)的能量量子；或格波的能量量子當(dāng)這種振動(dòng)模處于時(shí)，說(shuō)明有個(gè)聲子本征態(tài)函數(shù)——一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振子方程波函數(shù)是以簡(jiǎn)正坐標(biāo)為宗量的諧振子波函數(shù)

——聲子是一種元激發(fā)，可與電子或光子發(fā)生作用——晶格振動(dòng)的問(wèn)題