電路分析第9章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量3

第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路§9-1基本概念§9-4單口網(wǎng)絡的平均功率功率因數(shù)§9-5單口網(wǎng)絡的無功功率§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理§9-2電阻的平均功率§9-3電感、電容的平均儲能1第9章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量學習目的：掌握正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率計算。學習重點：計算平均功率、無功功率、視在功率、功率因數(shù)。學習難點：負載獲得最大功率。關(guān)鍵詞：功率、功率因數(shù)。2若在dt時間內(nèi)，由a點轉(zhuǎn)移到b點的正電荷為dq，且由a到b為電壓降u，則正電荷失去的能量，即ab段電路消耗或吸收的能量為

dw=u?dq

p(t)>0時，電路吸收功率

p(t)<0時，電路放出功率1、能量瞬時功率

p(t)=dw/dt=udq/dt=uiiu+–ab在關(guān)聯(lián)參考方向下§9-1基本概念2、功率3

R:p

=

u·i=i2R>

0耗能元件L、C:p

>0吸收功率

p

<0放出功率

儲能元件pdwdt（t）=p=u·ip>0吸收功率；p<0放出功率。w(t)

=∫t∞-p(t

)dt§9-1基本概念消耗或吸收的能量為N0+–i(t)u(t)41.瞬時功率+u

i設：u(t)

=

Umcosti(t)

=

Imcost

p(t)

=

u·i

=

Umcost

Imcost

=

UmImcos2(t

)UmIm[cos(2t)+1]=12(1)

p

>

0

(2)

p

隨時間變化，變化的角頻率為2t

，是電壓或電流角頻率的2倍。

0tipuu·i·pπ2π§9-2電阻的平均功率結(jié)論：52.平均功率(有功功率）

P

=T1∫T0UmIm12UmIm[cos(2t)＋1]dt12=UmIm

=

UI12P

=P

=

I2RR

U2P

=平均功率的大小與電流的頻率及初相角無關(guān)61p(t)

=

Umcost

Imsint

=2UmImsin2t

0tipuu·i·pπ2π

A.p按正弦規(guī)律變化，變化的角頻率為電壓或電流角頻率的兩倍

B.p>0吸收功率；P<0放出功率P

=

0不消耗電能

(2)平均功率結(jié)論：–

+uiL設:u(t)

=

Umcos

ti(t)

=

Imcos(

t–90o)§9-3電感、電容的平均儲能1.電感元件（1）瞬時功率

7（4）貯能w(t)=12Li2(t)=12LIm2sin2t

=14LIm2(1-cos2t

)LIm2=14LIm2cos2t

14平均貯能：LIm2=WL

=14LI212(3)無功功率—瞬時功率的最大值：電感與電源之間能量交換的規(guī)模稱為無功功率。單位為乏爾(var)

。QL

=

UI

=LI2=2WL無功功率又可表示為：i(t)

=

Imcos(

t–90o)8（1）瞬時功率

A.p按正弦規(guī)律變化，變化的角頻率為電壓或電流角頻率的兩倍

B.p>0吸收功率；P<0放出功率P

=

0不消耗電能

(2)平均功率21p(t)

=

–

Umcost

Imsint

=–UmImsin2t

UIsin2t

=–2.電容元件設:i(t)

=

Imcos(t–90o)u(t)

=

Umcos(t–180o)–

+uiC0tipuu·i·pπ2π結(jié)論：9(3)無功功率—瞬時功率的最大值（4）貯能平均貯能：瞬時能量QC

=–

UI

=–

CU2=–2WC無功功率又可表示為：u(t)

=

Umcos(t–180o)10單一參數(shù)的交流電路小結(jié)元件類型瞬時值關(guān)系大小關(guān)系相量關(guān)系功率純電阻元件URm=RIRm

UR=RIR

UR=RIRP=IRUR=RIR2Q=0純電感元件ULm=XLILm

UL=XLILXL=LQ=ILUL=XLI2=2WLP=0純電容元件UCm=XCICmUC=XCICXC=1/

CQ=–ICUC=–

XCI2

=–2WCP=0uR=iRR1112課堂練習：

P-75習題：9－3P-75習題：9－4P-69習題：9－1P-69習題：9－21128結(jié)束12§9-4單口網(wǎng)絡的平均功率功率因數(shù)設u(t)=Umcos(t+u)i(t)=Imcos(t+i)p(t)=UmImcos(t+u)cos(t+i)UmIm[cos(u-i)+cos(2t+u+i)]21=UmImcos(u-i)+UmImcos(2t+u+i)2121=N0i(t)電源+u(t)一.瞬時功率2coscos=cos(

-)+cos(+)N0不含獨立源阻抗角

j=u–i13u·i·p0tipuπ2π二.平均功率P=T1pdt∫T0一.瞬時功率P

=

∑PKnK=1平均功率守恒j

：功率因數(shù)角=cosj：功率因數(shù)14

在無獨立源的單口網(wǎng)絡交流電路中，可將電路等效為RLC的串聯(lián)。I?U?UR?UL?UC?UL?UC?RLC串聯(lián)電路相量圖§9-5單口網(wǎng)絡的無功功率和視在功率UX?UX=UL–UCUXI=ULI–UCIQ=QL+QC三.無功功率QL=ULIQC＝–UCIUURUX15電壓三角形功率三角形§9-5單口網(wǎng)絡的無功功率和視在功率S2=P2+Q2S=UIQ=UXIP=URI視在功率：S=UI

（單位：伏安）Q

=

UIsinjUURUX三.無功功率Q=QL+QC四.視在功率16功率小結(jié)：1.平均功率(W):功率因數(shù)角、阻抗角、電壓與電流的相位差電阻上消耗的功率之和S=UIQ=UXIP=URIP

=

∑PKnK=1功率因數(shù)17功率小結(jié)：3.視在功率Q=QL+QC電感與電容無功功率的代數(shù)和2.無功功率(var)

S=UI

（伏安）S=UIQ=UXIP=URIQ

=

UIsinj電感取正，電容取負，視在功率反映電源設備的容量Q

=

∑QKnK=118例1:試求電路中的平均功率P,無功功率Q，視在功率S及功率因數(shù)cos，已知：=1000oV。U?解：方法一Z=(3+j4)(–j2)3+j4–j2–6j+83+j2=10–36.87o3.633.69o==2.78–

70.56oI=UZ??=1000o2.78–

70.56o=3670.56oAP=UIcos=100×36cos(0o–

70.56o)=1200WQ=UIsin=100×36sin(0o–

70.56o)=–3400varS=UI=100×36=3600V·Acos=cos(0o–70.56o)=0.33I?j43+–U

?I1?I2?–j219解：方法二I1=U|Z1|=1005=20AI2=U|Z2|1002==50AP=I12R=202×3=1200WQL=I12XL=202×4=1600varQC=–I22XC=–502×2=–5000varQ=QL+QC=1600–5000=–3400var=arctgQ/P=–

70.56ocos=cos(–70.56o)=0.33S=P2+Q2=3600V·AU?例1:試求電路中的平均功率P,無功功率Q，視在功率S及功率因數(shù)cos，已知：=1000oV。I?j43+–U

?I1?I2?–j220例2圖示電路中電壓源在

=400rad/s和超前功率因數(shù)0.8之下供電（即電流超前電壓）,消耗在電阻上的功率是100W，試確定R和C的值。解：cosj=0.8j=–arccos0.8=–36.87°R2

+

(C1)2UI

=RC1=

0.751jC1CR1=R2

+

(C)2Z

=

R

+

arctg(–)tg(–36.87?)

=

–0.75RjC1I·+U

=

1000?V–·RC1=

0.75

400

=

30021R2

+

(C1)2U2P

=

I2R

=

R=2C2RU21

+

2C2R2=

100=

100－－－(2)2C2RU21

+

2C2R2

=

300－－－－－－(1)RC1300C1300

52.08

10-6

=R

=1

=

643001代入(2)C

=

52.08mF

RC

=RjC1I·+U

=

1000?V–·22

例3.電路如圖所示，

。

（1）求200負載的功率P；

（2）求電源側(cè)電路功率因數(shù)l；

（3）求100電阻上消耗的功率；

us(t)

=

100√2cos200tV2H200+us–100j400Ri·RL200+Us–100I·23·15I

=1000?300

+

j400=1000?50053.1?=(–53.1)?A

P200?

=

I2RL

=

(

15)2

200

=

8W(2)l

=

cos(u

–

i)

=

cos53.1?

=

0.6(滯后)(3)P100?

=

I2Ri

=

(

15)2

100

=

4W解：(1)US

=

1000?V·j400Ri·RL200+Us–100I·(1)求200負載的功率P

；(2)求電源側(cè)電路功率因數(shù)l；(3)求100電阻上消耗的功率.24解:例4：R、L、C串聯(lián)交流電路如圖所示。已知R=30、L=127mH、C=40F，。求：(1)電流i及電壓uR，uL，uC；(2)功率P和Q。V)20314cos(2220o+=tu–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+A)73°314cos(24.4+=ti(1)得25V)73°314cos(2132+=tuRV)163°314cos(2176+=tuLV)17°314cos(2352-=tuC（2）電路為電容性–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+求：(1)電流i及電壓uR，uL，uC；(2)功率P和Q。2627課堂練習：

P-86練習題：9－9P-86練習題：9－1027功率因數(shù)低引起的問題平均功率

P=UNIN

cos

功率因數(shù)(1)電源設備的容量不能充分利用(2)增加輸電線路和發(fā)電機繞組的功率損耗在P、U一定的情況下，cos越低，I越大，損耗越大。情況下，cos

越低，P越小，設備得不到充分利用。P=UIcos

電壓與電流的相位差、阻抗角、功率因數(shù)角在電源設備UN、IN一定的五.提高功率因數(shù)1.提高功率因數(shù)的意義28提高功率因數(shù)的方法+–uiiRLLRCiCI

?IC?IRL?U

?1電路功率因數(shù)低的原因

并聯(lián)電容后，電感性負載的工作狀態(tài)沒變，但電源電壓與電路中總電流的相位差角減小，即提高了整個電路的功率因數(shù)。同時總電流減小。通常是由于存在電感性負載將適當?shù)碾娙菖c電感性負載并聯(lián)因

<

1

故

cos>cos

12、提高功率因數(shù)cos的方法29例3設有一臺220V、50Hz、50kW的感應電動機，功率因數(shù)為0.5（1）電源供應的電流是多少，無功功率是多少？（2）如果并聯(lián)電容使功率因數(shù)為0.9，所需電容是多大，此時電源提供的電流是多少？解：（1）PL=UIL

cosL

+–uiLPL=50kWiCiCQL=UIL

sinL=2204550.866=86.7kvarcosL=0.5L=6030例3設有一臺220V、50Hz、50kW的感應電動機，功率因數(shù)為0.5（1）電源供應的電流是多少，無功功率是多少？（2）如果并聯(lián)電容使功率因數(shù)為0.9，所需電容是多大，此時電源提供的電流是多少？+–uiLPL=50kWiCiC（2）并聯(lián)電容后，電源提供的無功功率解：cos=0.9=25.84由QC

=–

CU2P=UIcos31§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理

Z0ZLI·+UOC-·+UL-·求負載獲得最大功率的條件設UOC、Z0不變，ZL可變，·(1)ZL=RL+jXL

RL和XL都可變Z0+ZL

UOC(R0

+

RL)

+

j(X0

+

XL)

=I

=

UOC···=(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC(-arctgR0+RL)X0+XL·32(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC2

RLPL=I2RL=當X=X0+XL=0時，分母最小，PL最大(R0

+

RL)2

UOC2

RLPL

=dPL(R0+RL)2–2RL(R0+RL)=0dRL=UOC2(R0+RL)4(R0

+

RL)2

–

2RL(R0

+

RL)

=

0R0

+

RL

–

2RL

=

0RL

=

R0負載獲得最大功率的條件：共軛匹配:RL=R0

XL=–X0*ZL

=

Z0=(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC(–arctgR0+RL)X0+XL·Z0ZLI·+UOC-·+UL-·33(R0

+

RL

)2

UOC2

RL

=PLmax

=4R0

UOC2PLmax

=4RO

UOC2獲得的最大功率Z0ZLI·+UOC-·+UL-·負載獲得最大功率的條件：共軛匹配:RL=R0

XL=–X0*ZL

=

Z0(1)ZL=RL+jXL

RL和XL都可變34(R0+RL)2+X02

UOC2

RLPL=(2)負載為純電阻RLdPL(R0+RL)2+X02–2RL(R0+RL)dRL=[(R0+RL)2+X02]2UOC2=0(R0+RL)2+X02–2RL(R0+RL)=0R02+2R0RL+RL2+X02–2R0RL–2RL2=0R02–RL2+X02=0RL2=R02+X02RL=R02+X02=

Z0模匹配PLmax=I2RLZ0ZLI·+UOC-·+UL-·35

(3)負載ZL的阻抗角固定而模可改變

ZL

=

R02

+

X02=

Z0

模匹配阻抗三角形XL

RL

ZLZL=RL

+

jXL=|ZL|∠j在這種情況下，可以證明，負載獲得最大功率的條件為：負載阻抗的模應與電源內(nèi)阻抗的模相等，稱為模匹配。在這種情況下，負載所獲得的最大功率并非為可能獲得的最大值。如果負載阻抗的阻抗角也可調(diào)節(jié)，還能使負載得到更大一些的功率。Z0ZLI·+UOC-·+UL-·36負載獲得最大功率的條件ZL=RL+jXL

RL和XL都可變*ZL

=

Z0負載為純電阻

RLPLmax=I2RLZL的阻抗角固定而?？筛淖兡Ｆヅ銹Lmax=I2RL模匹配共軛匹配37例1：電路如圖，求（1）獲得最大功率時ZL為何值？（2）最大功率值；（3）若ZL為純電阻，ZL獲得的最大功率。解：Z0

=(2

+

2)

103

j4

103(2

+

2)

103

+

j4

103=j16

1034

+

j4=

2

+

j2

=

2245?k（1）ZL

=

2

–

j2k

時獲得最大功率=

212245?V=212

j42

+

j2·UOC=2

1032

103

+

(

2

103

+

j4

103)

2120?

10-3

j4

103（2）ZL2120?mAj4K2K2K+UOC–·2120?mAj4K2K2K38·I·Z0ZLUOC·UOC

=212245?V(2)Pmax

=4

2

103=

UOC2(2122)28

103=

11.24W(R0

+

RL)2

UOC2

RL

=Pmax

=4RO

UOC2獲得的最大功率ZL

=

2–

j2k

時獲得最大功率39ZL

=

22103

=

2.83K時獲得最大功率I

=·(2

+

j2

+

2.83)

103

UOC·=212245?(4.83

+

j2)

103=57.3422.51?mAPmax

=

I2RL

=

(57.34

10-3)2

2.83

103

=

9.3WI·Z0ZLUOC·（3）若ZL為純電阻，求ZL獲得的最大功率。Z0

=

2245?k40正弦交流電路的過渡過程分析C+uC(t)–i(t)RuS(t)+–us(t)

=

Usmcos(

t+)uC

(t)

=

uCh+

uCpuCh—對應齊次方程的通解，即暫態(tài)解uCp—非齊次方程的特解，解的結(jié)構(gòu)即穩(wěn)態(tài)解，用相量法求：設：41正弦交流電路的過渡過程分析C+uC(t)–i(t)RuS(t)+–響應非齊次方程的解，uC

(t)

=

uCh+

uCp根據(jù)42正弦交流電路的過渡過程分析C+uC(t)–i(t)RuS(t)+–4344ABCUA?UB?UC?相電壓N中性點中性線（零線）相線（火線）相線相線1.三相電源的星形聯(lián)接相線與中性線之間的電壓稱為相電壓;其有效值用UA、

UB、UC表示或一般用UP表示。+–+–+–=UP–120oUB?=UP0oUA?UC?=UP120o=UA0oUA?=UB–120oUB?UC?=UC–

240ouA=UmsintuB=Umsin(t–120°)uC=Umsin(t–240°)45ABCEA?EC?EB?UA?UB?UC?UBC?UAB?UCA?N中性點中性線相線（火線）相線相線1.三相電源的星形聯(lián)接+–+–+–兩條相線之間的電壓稱為線電壓。其有效值用UAB、UBC、UCA表示或一般用Ul表示。