確定性與隨機(jī)性混沌

本文旨在:從實(shí)例出發(fā)，對(duì)非線性耗散系統(tǒng)中的混沌及其控制與同步研究中遇到的有關(guān)基本概念與問題作一些哲理性解釋。包括：一、確定性混沌的基本概念二、隨機(jī)混沌的約定含義三、對(duì)混沌控制與同步的幾點(diǎn)看法混沌是什么？混沌代表一類特定形式的確定性穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),它有別于經(jīng)典的周期運(yùn)動(dòng)和概周期運(yùn)動(dòng)，也不涉及其它非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)。混沌是一群樣本運(yùn)動(dòng)的集合，由于兩個(gè)相鄰樣本軌道之間存在互斥性，故從不同的初始條件出發(fā)的穩(wěn)態(tài)軌道都不相同。但又共享一個(gè)相空間Poincare截面上的混沌吸引子。各個(gè)穩(wěn)態(tài)樣本運(yùn)動(dòng)的映射點(diǎn)都不超越、又遍歷該混沌吸引子。這就是混沌運(yùn)動(dòng)的遍歷性。

混沌的發(fā)現(xiàn)清楚地告訴人們,即使確定的非線性系統(tǒng)在確定的激勵(lì)和確定的初始條件下，也可能產(chǎn)生不完全確定的結(jié)果。這是一種觀念上的突破。說明確定性系統(tǒng)還含有內(nèi)在的隨機(jī)性?；煦邕\(yùn)動(dòng)對(duì)初始條件極為敏感的依賴性、混沌吸引子及其吸引域的分形特征等等，都意味著隨機(jī)性。事實(shí)上，混沌反映了確定性非線性系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)性。IntrinsicStoshasticityin

ForcedDuffingSystem

穩(wěn)態(tài)幅頻曲線大/小A吸引域大/小A吸引域大/小A吸引域大/小A吸引域大A發(fā)生概率吸引域邊界混沌運(yùn)動(dòng)的主要特性1有界性：相空間的混沌吸引子2集合性、隨機(jī)性：從不同的初始條件得到不同的‘表觀無序’樣本、組成集合3遍歷性：每個(gè)樣本都遍歷一個(gè)共同的吸引子4對(duì)初始條件的敏感性：內(nèi)在隨機(jī)性的一個(gè)突出表現(xiàn),導(dǎo)致正的Lyapunov指數(shù)5分形性：具有無限層次的‘自相似’結(jié)構(gòu)

6有序性：一種無周期的有序態(tài)，短、中期樣本軌道的可預(yù)測(cè)性,歷史與未來演化中的有序規(guī)律，包括通向混沌的道路與激變7普適性：如存在不依賴于具體模型及其參數(shù)的一些特征量Feigenbaum常數(shù)8依存性：對(duì)模型及其外部環(huán)境的依賴性，包括相空間格局及其演化9可控性：它和特征6和8有聯(lián)系，如相空間格局的可變性、混沌樣本的可跟蹤性低維混沌系統(tǒng)的相空間格局

混沌系統(tǒng)指的是處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的非線性動(dòng)力系統(tǒng)。相空間格局(overallconstitutioninphasespace)是指:系統(tǒng)參數(shù)凍結(jié)情形下,各個(gè)吸引子及其吸引域、鞍及其穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形、分形邊界(或隔離帶)等在相平面上的布局。

值得注意,混沌相空間格局中提到的那些鞍型不穩(wěn)定吸引子等等都是在系統(tǒng)經(jīng)歷無數(shù)次分岔、或混沌激變時(shí)遺留下來的,他們?cè)诨煦绲男纬苫蜣D(zhuǎn)化過程中都起過重要作用，正是這些不穩(wěn)定因素協(xié)同促成了混沌的產(chǎn)生或激變。反過來說，它們又構(gòu)成對(duì)混沌的一種潛在威脅。只要其中任何一種不穩(wěn)定吸引子在內(nèi)部參數(shù)的攝動(dòng)或外部激勵(lì)或控制的影響下，一旦改變了穩(wěn)定性，就可能導(dǎo)致相關(guān)混沌吸引子的崩潰。FractalChaoticAttractorsSymmetryBreakingBifurcation,

TopLyapunovexponentofDuffingsystem

Theperiodicphasetrajectoryforω=0.935

Theperiodicphasetrajectoriesforω=0.945

FlowpatternofPoincarémappingpointsaroundthesaddleandnodes

ZoomofthatmiddlepartwithreducednumberofinitialconditionsFlowlineswithfewnumberofinitialconditionpoints

Periodicsaddlepointandits

stableandunstablemanifolds

BifurcationandCrisisin

ParametricallyDrivenDuffingSystem

TopLyapunovExponentChaoticAttractors隨機(jī)混沌的約定含義

顧名思義，隨機(jī)混沌理應(yīng)兼具隨機(jī)性與混沌性，它屬于隨機(jī)運(yùn)動(dòng)與混沌運(yùn)動(dòng)的交集。實(shí)質(zhì)上,隨機(jī)混沌是非線性系統(tǒng)的、同時(shí)反映了外在隨機(jī)性與內(nèi)在隨機(jī)性影響的一種響應(yīng)。這里只給出它的一個(gè)約定性定義。在確定性混沌研究中，通常限于考察系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的響應(yīng)演變，并著眼于考察系統(tǒng)響應(yīng)從外觀有序到外觀無序的突變。現(xiàn)約定從探索確定性系統(tǒng)各種外在隨機(jī)因素如何影響原系統(tǒng)內(nèi)在隨機(jī)因素的發(fā)揮這一角度來考察隨機(jī)混沌。這時(shí)，確定性因素仍占主導(dǎo)作用，而隨機(jī)因素只處于次要地位。也就是說，相對(duì)于確定的簡諧激勵(lì)，隨機(jī)激勵(lì)或參數(shù)隨機(jī)攝動(dòng)將約定為小量。兩類隨機(jī)混沌問題有兩類隨機(jī)因素需要重點(diǎn)考慮，即系統(tǒng)物理參數(shù)的隨機(jī)攝動(dòng)以及外部激勵(lì)的隨機(jī)變化。由此構(gòu)成兩類隨機(jī)混沌問題。隨機(jī)參數(shù)非線性系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的隨機(jī)混沌響應(yīng)問題確定性非線性系統(tǒng)在簡諧和隨機(jī)共同激勵(lì)下的隨機(jī)混沌響應(yīng)問題ForcedStochasticDuffingSystemTopLE隨機(jī)混沌吸引子Triple-wellpotentialDuffingsystemunder

harmonicandboundednoiseexcitationsTopLEStochasticChaosAttractors混沌控制所謂混沌控制,實(shí)質(zhì)上就是要改造其面對(duì)的相空間格局;從非混沌的改變?yōu)榛煦绲?或從混沌的改變?yōu)榉腔煦绲?、或改變到更加混沌的。至于怎樣才能改造成所期望的新格局呢？還得作具體分析，要看老格局有哪些薄弱環(huán)節(jié)，關(guān)于促成新格局又有哪些有利條件。采取的策略和辦法則可以多種多樣。相空間格局是在‘凍結(jié)’參數(shù)條件下形成的定局。它依賴于各個(gè)分岔參數(shù)的取值,有時(shí)還很敏感。因此,適當(dāng)調(diào)節(jié)某個(gè)敏感參數(shù)就可能激活沉睡的不穩(wěn)定周期吸引子,從而顛覆相關(guān)的混沌吸引子。Ott,Grebogi,與Yorke

提出的混沌控制微調(diào)參數(shù)法[12]

即基于此原理。實(shí)際上存在多種多樣的混沌控制方法，除此以外，還可以增加外激或參激(不論簡諧的還是隨機(jī)的),也可以增加狀態(tài)反饋(不論實(shí)時(shí)的、還是延時(shí)的、甚至經(jīng)過濾波的)。

Fradkov與Evans在其關(guān)于混沌控制的綜述[14]中著重介紹了三類混沌控制方法:OGY方法、Pyragas基于延時(shí)反饋的控制方法[15]、以及非反饋控制方法。OGY方法與Pyragas方法在思想上是一致的，都是通過鎮(zhèn)定某個(gè)潛在的不穩(wěn)定周期解UPO來顛覆混沌解，也就是實(shí)施一次‘策反’。設(shè)選定的UPO周期為T，它在混沌運(yùn)動(dòng)頻譜上留下的烙印,對(duì)應(yīng)于f=1/T的周期運(yùn)動(dòng)主頻分量、及附屬的一些倍頻分量。再設(shè)y(t)代表系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，Pyragas方法中的延時(shí)負(fù)反饋u(t）可表示如下:其中K代表可調(diào)反饋系數(shù)，τ代表可調(diào)延時(shí)。這樣，當(dāng)取τ=T時(shí)，

每次反饋后y（t）中對(duì)應(yīng)目標(biāo)小譜峰的周期分量(包括主頻與其附屬的倍頻分量)信息始終不變，而y（t）中其它各種分量的信息不斷減弱，最終，只留下一個(gè)周期為T的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。Pyragas的控制目標(biāo)也可借頻域?yàn)V波法近似實(shí)現(xiàn)。就是將混沌信號(hào)通過NotchFilter（一種有“V”形缺口通帶的帶通濾波器）反復(fù)濾波，只需將濾波器通帶底部對(duì)準(zhǔn)f

就可以了。這樣，對(duì)應(yīng)于f

的信號(hào)分量每次濾波都‘毫發(fā)無損’,通帶外的信號(hào)分量則迅速濾除，而通帶內(nèi)f

兩側(cè)的信號(hào)分量需要許多次反復(fù)濾波才能濾除。最后只留下周期為T(=1/f）的穩(wěn)定簡諧運(yùn)動(dòng)信號(hào)。NotchFilterFeedback隨機(jī)混沌控制延遲反饋抑制混沌

(η=+1)

延遲反饋誘發(fā)混沌

(η=–1)混沌同步混沌同步也是一種混沌控制。Boccaletti[27]2002年在PhysicsReports上發(fā)表了長達(dá)百頁的報(bào)告,對(duì)此前的混沌同步研究進(jìn)展作了全面的報(bào)道。著重介紹了Pecora和Caroll[28]原創(chuàng)的驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)模式下的PC方法,以及在此基礎(chǔ)上經(jīng)擴(kuò)展的主動(dòng)-被動(dòng)模式下的APD方法[29]，內(nèi)容幾乎涉及混沌同步現(xiàn)象的各個(gè)方面，如完全同步（CS）、廣義同步GS）、滯后同步（LS）、相位同步（PS）等等。

隨機(jī)混沌樣本同步PhasetrajectoryofmeanresponseTopLEMeanresponseswithoutcontrolunderdifferent

initialconditions,A:fordriving;B:forrespondingMeanresponseswithcontrolunderdifferent

initialconditions,A:fordriving;B:forrespondingMeanresponseerrorWithoutcontrolWithcontrol,k’=0.98,k”=0.2Chaoticattractorfordrivingsystem混沌同步的特點(diǎn)1混沌同步實(shí)質(zhì)上是對(duì)混沌樣本的跟蹤。

由驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)提供參考模板；

由響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)施反饋跟蹤。

2驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)樣本運(yùn)動(dòng)的TopLE是正的；響應(yīng)系統(tǒng)跟蹤運(yùn)動(dòng)的TopLE是負(fù)的。噪聲誘導(dǎo)同步

上述‘混沌同步現(xiàn)象’多少帶有人為的強(qiáng)制作用。另一熱門話題是”噪聲誘導(dǎo)同步”，Boccaletti將此歸類于混沌同步問題，其提法是：研究兩個(gè)非直接耦合的混沌系統(tǒng)在同一噪聲樣本作用下誘生的同步現(xiàn)象。所謂噪聲樣本不過是代表白噪聲(或有界噪聲)的一個(gè)確定性偽隨機(jī)函數(shù)。由于混沌樣本也具有類似的表觀無序特點(diǎn)，與上述問題并提的還有‘混沌誘導(dǎo)同步’問題，提法中只需把噪聲樣本改成混沌樣本。

事實(shí)上，在所列舉的誘導(dǎo)同步數(shù)值實(shí)例中,即使對(duì)于兩個(gè)相同、獨(dú)立的非線性系統(tǒng)，也只有在噪聲激勵(lì)下的響應(yīng)均不依賴于初始條件的情況下，也就是相應(yīng)的最大條件Lyapunov指數(shù)(LCLE)均為負(fù)時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)所謂‘誘導(dǎo)同步’。至于該同步信號(hào)究竟是不是混沌?誰也沒有提到。憑肉眼看，只能說它們都是表觀無序的。若說它們是混沌，那么為什么相應(yīng)的LCLE又是負(fù)的？Boccaletti引用他人的辯解是“Lyapunov指數(shù)對(duì)一類特殊的混沌系統(tǒng)可能已失去意義”。我的理解恰巧相反。我認(rèn)為：LCLE為負(fù),意味著所選定的噪聲（或混沌）樣本激勵(lì)已經(jīng)抑制了系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性,從而此時(shí)不可能產(chǎn)生混沌響應(yīng)。因此,這時(shí)的表觀無序響應(yīng)不過是系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于無序確定性樣本激勵(lì)的無序非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)而已。

Notallthatlooksirregularischaos!LargestConditionalLyapunovExponent(LCLE)Noiseinducedsynchronization數(shù)值仿真在混沌研究中的作用

在求微分方程數(shù)值解時(shí)，舍入誤差相當(dāng)于初始條件的攝動(dòng)。難怪有人提出質(zhì)疑，“既然混沌運(yùn)動(dòng)敏感地依賴于初始條件，那末用數(shù)值仿真來研究混沌運(yùn)動(dòng)是否合理？”誠然，在求解上述問題時(shí)，舍入誤差，可能導(dǎo)致最終解不再對(duì)應(yīng)于當(dāng)初給定的初始條件。這對(duì)傳統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解都不成問題。因?yàn)橥晃騼?nèi)不同初始條件都對(duì)應(yīng)于同一傳統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解。

但在求解混沌問題時(shí)，從相鄰的兩個(gè)初始條件出發(fā)，最