確定性與隨機性混沌

本文旨在:從實例出發(fā)，對非線性耗散系統(tǒng)中的混沌及其控制與同步研究中遇到的有關(guān)基本概念與問題作一些哲理性解釋。包括：一、確定性混沌的基本概念二、隨機混沌的約定含義三、對混沌控制與同步的幾點看法混沌是什么？混沌代表一類特定形式的確定性穩(wěn)態(tài)運動,它有別于經(jīng)典的周期運動和概周期運動，也不涉及其它非穩(wěn)態(tài)運動?；煦缡且蝗簶颖具\動的集合，由于兩個相鄰樣本軌道之間存在互斥性，故從不同的初始條件出發(fā)的穩(wěn)態(tài)軌道都不相同。但又共享一個相空間Poincare截面上的混沌吸引子。各個穩(wěn)態(tài)樣本運動的映射點都不超越、又遍歷該混沌吸引子。這就是混沌運動的遍歷性。

混沌的發(fā)現(xiàn)清楚地告訴人們,即使確定的非線性系統(tǒng)在確定的激勵和確定的初始條件下，也可能產(chǎn)生不完全確定的結(jié)果。這是一種觀念上的突破。說明確定性系統(tǒng)還含有內(nèi)在的隨機性?；煦邕\動對初始條件極為敏感的依賴性、混沌吸引子及其吸引域的分形特征等等，都意味著隨機性。事實上，混沌反映了確定性非線性系統(tǒng)內(nèi)在的隨機性。IntrinsicStoshasticityin

ForcedDuffingSystem

穩(wěn)態(tài)幅頻曲線大/小A吸引域大/小A吸引域大/小A吸引域大/小A吸引域大A發(fā)生概率吸引域邊界混沌運動的主要特性1有界性：相空間的混沌吸引子2集合性、隨機性：從不同的初始條件得到不同的‘表觀無序’樣本、組成集合3遍歷性：每個樣本都遍歷一個共同的吸引子4對初始條件的敏感性：內(nèi)在隨機性的一個突出表現(xiàn),導(dǎo)致正的Lyapunov指數(shù)5分形性：具有無限層次的‘自相似’結(jié)構(gòu)

6有序性：一種無周期的有序態(tài)，短、中期樣本軌道的可預(yù)測性,歷史與未來演化中的有序規(guī)律，包括通向混沌的道路與激變7普適性：如存在不依賴于具體模型及其參數(shù)的一些特征量Feigenbaum常數(shù)8依存性：對模型及其外部環(huán)境的依賴性，包括相空間格局及其演化9可控性：它和特征6和8有聯(lián)系，如相空間格局的可變性、混沌樣本的可跟蹤性低維混沌系統(tǒng)的相空間格局

混沌系統(tǒng)指的是處于混沌運動狀態(tài)下的非線性動力系統(tǒng)。相空間格局(overallconstitutioninphasespace)是指:系統(tǒng)參數(shù)凍結(jié)情形下,各個吸引子及其吸引域、鞍及其穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形、分形邊界(或隔離帶)等在相平面上的布局。

值得注意,混沌相空間格局中提到的那些鞍型不穩(wěn)定吸引子等等都是在系統(tǒng)經(jīng)歷無數(shù)次分岔、或混沌激變時遺留下來的,他們在混沌的形成或轉(zhuǎn)化過程中都起過重要作用，正是這些不穩(wěn)定因素協(xié)同促成了混沌的產(chǎn)生或激變。反過來說，它們又構(gòu)成對混沌的一種潛在威脅。只要其中任何一種不穩(wěn)定吸引子在內(nèi)部參數(shù)的攝動或外部激勵或控制的影響下，一旦改變了穩(wěn)定性，就可能導(dǎo)致相關(guān)混沌吸引子的崩潰。FractalChaoticAttractorsSymmetryBreakingBifurcation,

TopLyapunovexponentofDuffingsystem

Theperiodicphasetrajectoryforω=0.935

Theperiodicphasetrajectoriesforω=0.945

FlowpatternofPoincarémappingpointsaroundthesaddleandnodes

ZoomofthatmiddlepartwithreducednumberofinitialconditionsFlowlineswithfewnumberofinitialconditionpoints

Periodicsaddlepointandits

stableandunstablemanifolds

BifurcationandCrisisin

ParametricallyDrivenDuffingSystem

TopLyapunovExponentChaoticAttractors隨機混沌的約定含義

顧名思義，隨機混沌理應(yīng)兼具隨機性與混沌性，它屬于隨機運動與混沌運動的交集。實質(zhì)上,隨機混沌是非線性系統(tǒng)的、同時反映了外在隨機性與內(nèi)在隨機性影響的一種響應(yīng)。這里只給出它的一個約定性定義。在確定性混沌研究中，通常限于考察系統(tǒng)在簡諧激勵下的響應(yīng)演變，并著眼于考察系統(tǒng)響應(yīng)從外觀有序到外觀無序的突變?，F(xiàn)約定從探索確定性系統(tǒng)各種外在隨機因素如何影響原系統(tǒng)內(nèi)在隨機因素的發(fā)揮這一角度來考察隨機混沌。這時，確定性因素仍占主導(dǎo)作用，而隨機因素只處于次要地位。也就是說，相對于確定的簡諧激勵，隨機激勵或參數(shù)隨機攝動將約定為小量。兩類隨機混沌問題有兩類隨機因素需要重點考慮，即系統(tǒng)物理參數(shù)的隨機攝動以及外部激勵的隨機變化。由此構(gòu)成兩類隨機混沌問題。隨機參數(shù)非線性系統(tǒng)在簡諧激勵下的隨機混沌響應(yīng)問題確定性非線性系統(tǒng)在簡諧和隨機共同激勵下的隨機混沌響應(yīng)問題ForcedStochasticDuffingSystemTopLE隨機混沌吸引子Triple-wellpotentialDuffingsystemunder

harmonicandboundednoiseexcitationsTopLEStochasticChaosAttractors混沌控制所謂混沌控制,實質(zhì)上就是要改造其面對的相空間格局;從非混沌的改變?yōu)榛煦绲?或從混沌的改變?yōu)榉腔煦绲?、或改變到更加混沌的。至于怎樣才能改造成所期望的新格局呢？還得作具體分析，要看老格局有哪些薄弱環(huán)節(jié)，關(guān)于促成新格局又有哪些有利條件。采取的策略和辦法則可以多種多樣。相空間格局是在‘凍結(jié)’參數(shù)條件下形成的定局。它依賴于各個分岔參數(shù)的取值,有時還很敏感。因此,適當(dāng)調(diào)節(jié)某個敏感參數(shù)就可能激活沉睡的不穩(wěn)定周期吸引子,從而顛覆相關(guān)的混沌吸引子。Ott,Grebogi,與Yorke

提出的混沌控制微調(diào)參數(shù)法[12]

即基于此原理。實際上存在多種多樣的混沌控制方法，除此以外，還可以增加外激或參激(不論簡諧的還是隨機的),也可以增加狀態(tài)反饋(不論實時的、還是延時的、甚至經(jīng)過濾波的)。

Fradkov與Evans在其關(guān)于混沌控制的綜述[14]中著重介紹了三類混沌控制方法:OGY方法、Pyragas基于延時反饋的控制方法[15]、以及非反饋控制方法。OGY方法與Pyragas方法在思想上是一致的，都是通過鎮(zhèn)定某個潛在的不穩(wěn)定周期解UPO來顛覆混沌解，也就是實施一次‘策反’。設(shè)選定的UPO周期為T，它在混沌運動頻譜上留下的烙印,對應(yīng)于f=1/T的周期運動主頻分量、及附屬的一些倍頻分量。再設(shè)y(t)代表系統(tǒng)的混沌運動，這時，Pyragas方法中的延時負反饋u(t）可表示如下:其中K代表可調(diào)反饋系數(shù)，τ代表可調(diào)延時。這樣，當(dāng)取τ=T時，

每次反饋后y（t）中對應(yīng)目標(biāo)小譜峰的周期分量(包括主頻與其附屬的倍頻分量)信息始終不變，而y（t）中其它各種分量的信息不斷減弱，最終，只留下一個周期為T的穩(wěn)定周期運動。Pyragas的控制目標(biāo)也可借頻域濾波法近似實現(xiàn)。就是將混沌信號通過NotchFilter（一種有“V”形缺口通帶的帶通濾波器）反復(fù)濾波，只需將濾波器通帶底部對準f

就可以了。這樣，對應(yīng)于f

的信號分量每次濾波都‘毫發(fā)無損’,通帶外的信號分量則迅速濾除，而通帶內(nèi)f

兩側(cè)的信號分量需要許多次反復(fù)濾波才能濾除。最后只留下周期為T(=1/f）的穩(wěn)定簡諧運動信號。NotchFilterFeedback隨機混沌控制延遲反饋抑制混沌

(η=+1)

延遲反饋誘發(fā)混沌

(η=–1)混沌同步混沌同步也是一種混沌控制。Boccaletti[27]2002年在PhysicsReports上發(fā)表了長達百頁的報告,對此前的混沌同步研究進展作了全面的報道。著重介紹了Pecora和Caroll[28]原創(chuàng)的驅(qū)動-響應(yīng)模式下的PC方法,以及在此基礎(chǔ)上經(jīng)擴展的主動-被動模式下的APD方法[29]，內(nèi)容幾乎涉及混沌同步現(xiàn)象的各個方面，如完全同步（CS）、廣義同步GS）、滯后同步（LS）、相位同步（PS）等等。

隨機混沌樣本同步PhasetrajectoryofmeanresponseTopLEMeanresponseswithoutcontrolunderdifferent

initialconditions,A:fordriving;B:forrespondingMeanresponseswithcontrolunderdifferent

initialconditions,A:fordriving;B:forrespondingMeanresponseerrorWithoutcontrolWithcontrol,k’=0.98,k”=0.2Chaoticattractorfordrivingsystem混沌同步的特點1混沌同步實質(zhì)上是對混沌樣本的跟蹤。

由驅(qū)動系統(tǒng)提供參考模板；

由響應(yīng)系統(tǒng)實施反饋跟蹤。

2驅(qū)動系統(tǒng)樣本運動的TopLE是正的；響應(yīng)系統(tǒng)跟蹤運動的TopLE是負的。噪聲誘導(dǎo)同步

上述‘混沌同步現(xiàn)象’多少帶有人為的強制作用。另一熱門話題是”噪聲誘導(dǎo)同步”，Boccaletti將此歸類于混沌同步問題，其提法是：研究兩個非直接耦合的混沌系統(tǒng)在同一噪聲樣本作用下誘生的同步現(xiàn)象。所謂噪聲樣本不過是代表白噪聲(或有界噪聲)的一個確定性偽隨機函數(shù)。由于混沌樣本也具有類似的表觀無序特點，與上述問題并提的還有‘混沌誘導(dǎo)同步’問題，提法中只需把噪聲樣本改成混沌樣本。

事實上，在所列舉的誘導(dǎo)同步數(shù)值實例中,即使對于兩個相同、獨立的非線性系統(tǒng)，也只有在噪聲激勵下的響應(yīng)均不依賴于初始條件的情況下，也就是相應(yīng)的最大條件Lyapunov指數(shù)(LCLE)均為負時，才能實現(xiàn)所謂‘誘導(dǎo)同步’。至于該同步信號究竟是不是混沌?誰也沒有提到。憑肉眼看，只能說它們都是表觀無序的。若說它們是混沌，那么為什么相應(yīng)的LCLE又是負的？Boccaletti引用他人的辯解是“Lyapunov指數(shù)對一類特殊的混沌系統(tǒng)可能已失去意義”。我的理解恰巧相反。我認為：LCLE為負,意味著所選定的噪聲（或混沌）樣本激勵已經(jīng)抑制了系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性,從而此時不可能產(chǎn)生混沌響應(yīng)。因此,這時的表觀無序響應(yīng)不過是系統(tǒng)對應(yīng)于無序確定性樣本激勵的無序非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)而已。

Notallthatlooksirregularischaos!LargestConditionalLyapunovExponent(LCLE)Noiseinducedsynchronization數(shù)值仿真在混沌研究中的作用

在求微分方程數(shù)值解時，舍入誤差相當(dāng)于初始條件的攝動。難怪有人提出質(zhì)疑，“既然混沌運動敏感地依賴于初始條件，那末用數(shù)值仿真來研究混沌運動是否合理？”誠然，在求解上述問題時，舍入誤差，可能導(dǎo)致最終解不再對應(yīng)于當(dāng)初給定的初始條件。這對傳統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解都不成問題。因為同一吸引域內(nèi)不同初始條件都對應(yīng)于同一傳統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解。

但在求解混沌問題時，從相鄰的兩個初始條件出發(fā)，最