材料力學(xué)第3章扭轉(zhuǎn)

第三章扭轉(zhuǎn)§3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例§3.2外力偶矩的計(jì)算扭矩和扭矩圖§3.3純剪切§3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力§3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形§3.7非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念§3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例一、工程實(shí)例汽車方向盤MeMe二、受力特點(diǎn)

桿件的兩端作用兩個(gè)大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶.三、變形特點(diǎn)桿件的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng).直接計(jì)算1.外力偶矩§3.2外力偶矩的計(jì)算扭矩和扭矩圖按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功完成：已知軸轉(zhuǎn)速－n轉(zhuǎn)/分鐘輸出功率－P

千瓦求：力偶矩Me若功率的單位為馬力時(shí)，則公式為Me

在n-n截面處假想將軸截開取左側(cè)為研究對(duì)象二、內(nèi)力的計(jì)算1.求內(nèi)力截面法TMeMeMex??nnMeMe?xTMe?xT

采用右手螺旋法則,當(dāng)力偶矩矢的指向背離截面時(shí)扭矩為正,反之為負(fù).2.扭矩符號(hào)的規(guī)定3.扭矩圖

用平行于桿軸線的坐標(biāo)x表示橫截面的位置;用垂直于桿軸線的坐標(biāo)T表示橫截面上的扭矩,正的扭矩畫在x軸上方,負(fù)的扭矩畫在x

軸下方.

Tx+_Me4ABCDMe1Me2Me3n例題1一傳動(dòng)軸如圖所示,其轉(zhuǎn)速n=300r/min,主動(dòng)輪A輸入的功率為P1=500kW.若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率,三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.試做扭矩圖.解:計(jì)算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n

計(jì)算CA

段內(nèi)任橫一截面2-2截面上的扭矩.假設(shè)T

2為正值.結(jié)果為負(fù)號(hào),說明T

2應(yīng)是負(fù)值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222同理,在BC

段內(nèi)BCxMe2Me3T2Me4Me2xABCD同理,在BC

段內(nèi)在AD

段內(nèi)1133

注意：若假設(shè)扭矩為正值,則扭矩的實(shí)際符號(hào)與計(jì)算符號(hào)相同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作出扭矩圖4774.5N·m9549N·m6366N·m+_從圖可見,最大扭矩在CA段內(nèi).討論:若將A，D互換，扭矩圖發(fā)生什么變化？4774.5N·m9549N·m__15915N·m

§3-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)1.實(shí)驗(yàn)前（1）畫縱向線,圓周線;（2）施加一對(duì)外力偶.一、應(yīng)力分析薄壁圓筒：壁厚（r0—圓筒的平均半徑）dxx

Me

Me2.實(shí)驗(yàn)后（1）圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；（2）各縱向線均傾斜了同一微小角度；（3）所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形.3.推論（1）橫截面上無正應(yīng)力，只有切應(yīng)力；（2）切應(yīng)力方向垂直半徑或與圓周相切.dxδ

圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向于圓周相切,且數(shù)值相等,近似的認(rèn)為沿壁厚方向各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值無變化.MeMeABDC此式為薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式.4.推導(dǎo)公式

薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力均勻分布,與半徑垂直,指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致.Tττxdydzdxyz二、切應(yīng)力互等定理ττ1.在單元體左、右面（桿的橫截面）只有切應(yīng)力,其方向與y

軸平行.

兩側(cè)面的內(nèi)力元素

dydz大小相等,方向相反,將組成一個(gè)力偶.由平衡方程其矩為(dydz)dxxydydzzdxττ2.要滿足平衡方程

在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對(duì)內(nèi)力元素它們組成力偶，其矩為此力偶矩與前一力偶矩?cái)?shù)量相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得(dydz)dx3.切應(yīng)力互等定理

單元體兩個(gè)相互垂直平面上的切應(yīng)力同時(shí)存在,且大小相等,都指相（或背離）該兩平面的交線.4.純剪切單元體單元體平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力,則稱為純剪切單元體.MeMel式中,r

為薄壁圓筒的外半經(jīng).三、剪切胡克定律由圖所示的幾何關(guān)系得到

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),在切應(yīng)力低于材料的剪切比例極限時(shí)，φ與Me

（在數(shù)值上等于

T

）成正比.在切應(yīng)力的作用下，單元體的直角將發(fā)生微小的改變，這個(gè)改變量稱為切應(yīng)變。三個(gè)彈性常數(shù)的關(guān)系TO從T與之間的線性關(guān)系,可推出與

間的線性關(guān)系.該式稱為材料的剪切胡克定律G–剪切彈性模量O思考題：指出下面圖形的切應(yīng)變2切應(yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)?四、

剪切變形能剪切變形能的推導(dǎo)過程與拉壓變形能的推導(dǎo)過程相同。也可寫為:

剪切變形比能當(dāng)切應(yīng)力小于剪切比例極限時(shí):或:§3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系

觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式一、變形幾何關(guān)系試驗(yàn)現(xiàn)象:各圓周線繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一微小轉(zhuǎn)角，但大小，形狀及相互間距不變；(2)各縱向線平行地傾斜一個(gè)微小角度，認(rèn)為仍是直線；平面假設(shè)

變形前為平面的橫截面,變形后仍保持為平面.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面保持為平面,形狀和大小不變，半徑仍保持為直線；且相鄰兩截面間的距離不變，只在原地繞軸線發(fā)生“剛性”轉(zhuǎn)動(dòng)。變形幾何關(guān)系距圓心為處即：各點(diǎn)的切應(yīng)變與其到圓心的距離成正比。二、物理關(guān)系

剪切胡克定律

距圓心為處切應(yīng)力沿半徑呈線性分布。三、靜力關(guān)系

1.公式的建立rO結(jié)論dAdAρρTρρ代入物理關(guān)系中得到式中：T—橫截面上的扭矩

—求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離Ip—橫截面對(duì)圓心的極慣性矩Wt

稱作抗扭截面系數(shù)，單位為mm3或m3.2.的計(jì)算rOTdAdAρρρmax（1）實(shí)心圓截面dO3.極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計(jì)算ρdρODdρdρ（2）空心圓截面其中例題2圖示空心圓軸外徑D=100mm,內(nèi)徑d=80mm,M1=6kN·m,M2=4kN·m,材料的切變模量G=80GPa.（1）畫軸的扭矩圖；（2）求軸的最大切應(yīng)力,并指出其位置.M1M2ABCll解:（1）畫軸的扭矩圖Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2=2kN·m

AB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩發(fā)生在BC段

Tmax=4kN·m4kN·m2kN·m+_T（2）求軸的最大切應(yīng)力,并指出其位置max

最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的周邊上,且垂直于半徑.M1M2ABCllmax1.數(shù)學(xué)表達(dá)式四、強(qiáng)度條件2.強(qiáng)度條件的應(yīng)用強(qiáng)度校核設(shè)計(jì)截面確定許可載荷扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件：1.等截面圓軸：2.階梯形圓軸：例3(書例3.2)已知：傳動(dòng)軸為無縫鋼管，D=90mm，t=2.5mm，Tmax=1.5kN·m,[t]=60MPa。求：校核軸的強(qiáng)度。解：計(jì)算Wt

切應(yīng)力ABC解：作軸的扭矩圖MeAMeBMeC22kN·m14kN·m+_分別校核兩段軸的強(qiáng)度例題4

圖示階梯圓軸,AB段的直徑d1=120mm,BC

段的直徑

d2=100mm.扭轉(zhuǎn)力偶矩為MA=22kN·m,MB=36kN·m,MC=14kN·m.已知材料的許用切應(yīng)力[]=80MPa,試校核該軸的強(qiáng)度.因此,該軸滿足強(qiáng)度要求.例題5實(shí)心圓軸1和空心圓軸2（圖a、b）材料,扭轉(zhuǎn)力偶矩M

和長度l

均相等,最大切應(yīng)力也相等.若空心圓軸的內(nèi)外徑之比

=0.8,試求空心圓截面的外徑和實(shí)心圓截面直徑之比及兩軸的重量比.ll(a)(b)

分析：設(shè)實(shí)心圓截面直徑為d1,空心圓截面的內(nèi)、外徑分別為d2、D2;又扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設(shè)為T.已知：dd2D2因此解得

兩軸材料、長度均相同,故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面面積之比在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕,即節(jié)省材料.40§3.5

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形扭轉(zhuǎn)角

兩個(gè)橫截面繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)角。

微段的扭轉(zhuǎn)角

整體的扭轉(zhuǎn)角

整體的扭轉(zhuǎn)角

等直圓軸且扭矩不變時(shí)GIp

圓軸的抗扭剛度。

臺(tái)階軸或扭矩分段變化42

等直圓軸且扭矩不變時(shí)

單位長度扭轉(zhuǎn)角

剛度條件(rad/m)

若的單位為“度”，則(o/m)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件扭轉(zhuǎn)剛度條件已知T

、D和[τ]，校核強(qiáng)度已知T

和[τ]，設(shè)計(jì)截面已知D和[τ]，確定許可載荷已知T

、D和[φ/]，校核剛度已知T

和[φ/]，設(shè)計(jì)截面已知D和[φ/]，確定許可載荷例題6圖示等直桿,已知直徑d=40mm,a=400mm,材料的剪切彈性模量G=80GPa，DB=1°.試求：（1）AD桿的最大切應(yīng)力;（2）扭轉(zhuǎn)角

CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：畫扭矩圖計(jì)算外力偶矩MeDB=CB+DC=1°Tmax=3Me（1）AD桿的最大切應(yīng)力（2）扭轉(zhuǎn)角

CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me例題7某汽車的主傳動(dòng)軸是用40號(hào)鋼的電焊鋼管制成,鋼管外徑D=76mm,壁厚d=2.5mm,軸傳遞的轉(zhuǎn)矩Me=1.98kN·m,材料的許用切應(yīng)力

[]=100MPa,切變模量為G=80GPa,軸的許可扭角[′]=2/m.試校核軸的強(qiáng)度和剛度.DddMeMe解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩軸的內(nèi)、外徑之比由強(qiáng)度條件

由剛度條件DddMeMe將空心軸改為同一材料的實(shí)心軸,仍使max=96.1MPad=47.2mm實(shí)心軸的直徑為兩軸材料、長度均相同,故兩軸重量比等于兩軸的橫截面積比，在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕,即節(jié)省材料.其截面面積為空心軸的截面面積為

傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動(dòng)輪A輸入功率P1=400kW，從動(dòng)輪C，B分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。

(1)試確定AC段的直徑d1和BC段的直徑d2；

(2)若AC和BC兩段選同一直徑，試確定直徑d；

(3)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理?解：1.外力偶矩例題8

2.扭矩圖按剛度條件3.直徑d1的選取按強(qiáng)度條件

按剛度條件4.直徑d2的選取按強(qiáng)度條件

5.選同一直徑時(shí)

6.將主動(dòng)輪安裝在兩從動(dòng)輪之間受力合理例9(書例3.4)已知：1、2軸共消耗功率0.756kW；3軸消耗功率2.98kW。4軸轉(zhuǎn)速183.5r/min，G=80GPa。取[t]=40MPa,[]=1.5o/m。求：設(shè)計(jì)4軸的直徑。54

計(jì)算力偶矩

取4軸,受力如圖

畫出扭矩圖

計(jì)算力偶矩T

畫出扭矩圖可得到：T

由強(qiáng)度條件

由剛度條件57

由強(qiáng)度條件

由剛度條件

最后取：

說明：本題實(shí)際上是彎扭組合變形的問題。由剛度條件控制例10(書例3.5)已知：把軸預(yù)加力偶矩m后與筒焊接，然后解除m。軸和筒的抗扭剛度分別為G1IP1和G2IP2。解：求：軸和筒的扭矩。先扭后焊，屬裝配應(yīng)力問題。59

靜平衡方程設(shè)外力偶矩m撤銷后，軸內(nèi)的扭矩為T1，筒內(nèi)的扭矩為T2

。T1T2T1T2

變形協(xié)調(diào)方程設(shè)：焊接前軸在m的作用下的扭轉(zhuǎn)角為。焊接并釋放m后，桿的扭轉(zhuǎn)角減小為1

，筒的扭轉(zhuǎn)角為2

，轉(zhuǎn)向如圖。所以：61

物理關(guān)系代入變形協(xié)調(diào)方程與平衡方程聯(lián)立解得T1T2

彈簧的螺旋角5°,且D>>d,這樣的彈簧稱為密圈螺旋彈簧.推導(dǎo)這種彈簧的應(yīng)力與變形的計(jì)算公式.§3-6

密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形一、彈簧絲橫截面上的應(yīng)力F

簧絲的橫截面上有兩個(gè)內(nèi)力分量即FSTFPF

作為近似計(jì)算,通?？陕匀ヅc剪力FS相應(yīng)的

,且D/d

很大時(shí),還可略去簧圈曲率的影響,所以簧桿橫截面上最大切應(yīng)力為2.應(yīng)力的計(jì)算

為便于分析,將桿的斜度視為0°

截面法1.內(nèi)力的計(jì)算公式修正的原因:（1）當(dāng)D/d較小,會(huì)引起很大的誤差;

（2）假定剪切引起的切應(yīng)力是均勻分布的.式中c為彈簧指數(shù),k為曲度系數(shù),可查教材中的表3.13.強(qiáng)度條件FSTFPF

若只考慮簧桿扭轉(zhuǎn)的影響，可得簧桿內(nèi)的應(yīng)變能為二、彈簧的變形1.應(yīng)變能的計(jì)算3.功能原理Vε=W當(dāng)彈簧的變形為l

時(shí)，外力所做的功為FFOll2.外力做的功c—彈簧剛度例題11某柴油機(jī)的氣閥彈簧,簧圈平均半經(jīng)R=59.5mm,簧絲橫截面直徑d=14mm,有效圈數(shù)n=5.材料的[]=350MPa,G=80GPa,彈簧工作時(shí)總壓縮變形（包括預(yù)壓變形）為l=55mm

試校核彈簧的強(qiáng)度.解：求出彈簧所受的壓力F為由R及d求出查表3.1查處彈簧的曲度系數(shù)k=1.17彈簧滿足強(qiáng)度要求.§3-7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、基本概念對(duì)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問題，主要介紹矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)。非圓桿,如矩形截面桿扭轉(zhuǎn)后橫截面將發(fā)生翹曲而不再是平面.

（2）若桿的兩端受到約束而不能自由翹曲，則相鄰兩橫截面的翹曲程度不同引起相鄰兩截面間縱向線段長度改變,這將在橫截面上引起附加的正應(yīng)力.這一情況稱為

約束扭轉(zhuǎn).

（1）等直非圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面雖發(fā)生翹曲，但當(dāng)?shù)戎睏U在兩端受外力偶作用，且端面可以自由翹曲時(shí)，其相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同,縱向線段的長度無變化，橫截面上仍然只有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力.這一情況