概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題課2

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題課（二）基本內(nèi)容與重要結(jié)論：1.隨機(jī)變量及其分布函數(shù)、分布函數(shù)的性質(zhì)。

2.離散型隨機(jī)變量及其分布律，幾種常見的離散型隨機(jī)變量及其分布律。3.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度，幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度。概率密度的性質(zhì)，1一般要學(xué)會(huì)做三類習(xí)題：①利用某些已知條件求出隨機(jī)變量的分布律或密度函數(shù)；②利用分布律或分布函數(shù)，求出某些事件的概率；③利用分布律或密度函數(shù)，求出分布函數(shù)。4.二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)；二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律；二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率密度。5.二維隨機(jī)變量的邊緣分布和條件分布。6.隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性。7.隨機(jī)變量函數(shù)的分布。2例1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(2,p)的二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為(3,p)的二項(xiàng)分布。若，則解：從而3

例2.假定某街道有n個(gè)設(shè)有紅綠燈的路口，各路口各種顏色的燈相互獨(dú)立，紅綠燈顯示的時(shí)間比為1:2。今有一汽車沿該街道行駛，若以X表示該汽車首次遇到紅燈之前已通過的路口數(shù)，試求X的分布律。

分析:根據(jù)題意X所有可能的取值為0,1,2,???,n,而在每個(gè)路口遇到綠燈的概率為2/3,并且在不同路口出現(xiàn)紅燈或綠燈是相互獨(dú)立的,因此它與幾何分布的隨機(jī)變量相似。只是當(dāng)X=n時(shí),表示該汽車在每個(gè)路口所遇到的都是綠燈。解:表示汽車在前k個(gè)路口均遇到綠燈，而在第k+1個(gè)路口遇到紅燈，所以事件而4評(píng)注：本題求解的一種常見錯(cuò)誤是：而可見,為驗(yàn)證分布律是否正確,判斷是說明結(jié)果有誤的一種簡便方法。5例3.設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1,P(X=-1)=1/8,P(X=1)=1/4,在事件出現(xiàn)的條件下,X在(-1,1)內(nèi)任何子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比。試求X的分布函數(shù)，X取負(fù)值的概率。分析：本題給的隨機(jī)變量X在-1和1兩點(diǎn)具有正概率,從該角度看它是離散型的;而在區(qū)間(-1,1)內(nèi)又服從均勻分布,又像是連續(xù)的。所以它既非離散也非連續(xù)。解:根據(jù)假設(shè)6再根據(jù)乘法法則,即得于是7例4設(shè)隨機(jī)變量X與Y同分布,X的概率密度為又已知事件相互獨(dú)立,且求常數(shù)解依題設(shè),有都不符合題設(shè)。8同理,又事件A與B獨(dú)立,從而所以,評(píng)注:最后一步也可直接用加法公式.9例5實(shí)驗(yàn)器皿中產(chǎn)生甲、乙兩種細(xì)菌的機(jī)會(huì)是相等的,且產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布.試求:產(chǎn)生了甲類細(xì)菌但沒有乙類細(xì)菌的概率.解:設(shè)事件Ak={產(chǎn)生了k個(gè)細(xì)菌}B={產(chǎn)生了細(xì)菌但沒有乙類細(xì)菌}。10評(píng)注：①泊松分布下重溫全概率公式.②全概率公式也適于無限劃分.11例6在保險(xiǎn)公司里有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn),據(jù)生命表這類人在1年中每個(gè)人死亡的概率為0.002,每個(gè)參保人在1月1日需交1200元保險(xiǎn)費(fèi),而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取20萬元賠償金.求:①保險(xiǎn)公司虧本的概率;②保險(xiǎn)公司獲利不少于100萬元的概率.解①以年為單位考慮,保險(xiǎn)公司年初總收入為25001200=300萬元.12②點(diǎn)評(píng):保險(xiǎn)業(yè)是概率論的生長點(diǎn)和重要應(yīng)用領(lǐng)域之一.本例為簡化起見,不計(jì)利息與管理費(fèi).13例7設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[2，5]上服從均勻分布，現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行3次獨(dú)立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率。解設(shè)隨機(jī)變量Y是3次獨(dú)立觀測中觀測值大于3的次數(shù),則由題意知X的概率密度為本題的知識(shí)點(diǎn)是均勻分布與二項(xiàng)分布的結(jié)合。14例8某種電子元件在電源電壓不超過200伏,200伏至240伏,及超過240伏3種情況下,損壞率依次為0.1,0.001及0.2,設(shè)電源電壓①此種元件的損壞率;②此種元件損壞時(shí),電源電壓在200~240伏的概率.解①設(shè)15②注：正態(tài)分布下重溫全概率公式及貝葉斯公式.此例是研究生入學(xué)試題。16例9設(shè)顧客到銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間服從指數(shù)分布,其密度函數(shù)為某顧客在窗口等待服務(wù),如超過10分鐘,他就離開.他一個(gè)月要到銀行5次,以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),求Y的分布律.解Y的取值為0,1,2,3,4,5.且故Y的分布律為指數(shù)分布與二項(xiàng)分布結(jié)合17練習(xí)某儀器裝了3支獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件,其壽命(單位:小時(shí))都服從同一指數(shù)分布,密度函數(shù)試求:在儀器使用的最初200小時(shí)內(nèi),至少有一支電子元件損壞的概率.答案:1-e-1.

在指數(shù)分布下重溫獨(dú)立事件之和的概率的求法.

注:此題也是歷史上研究生入學(xué)試題.18例10設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為XY-1012a求：①

a值；②(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);③(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布函數(shù).19例11設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為F(x)是X的分布函數(shù),求Y=F(X)的分布函數(shù).例12在長為a的線段的中點(diǎn)的兩邊隨機(jī)地選取兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離小于a/3的概率。20例13設(shè)X和Y

是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在[0,1]上服從均勻分布,Y的概率密度為①求X

與Y的聯(lián)合概率密度;②設(shè)有a

的二次方程a2+2Xa+Y=0,求方程有實(shí)根的概率.例14設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求Z=X-Y的概率密度函數(shù).21例15已知隨機(jī)變量X1和X