2022年湖南省張家界市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考真題(含答案)

2022年湖南省張家界市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.微分方程y'=1的通解為A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

2.A.A.arctanx2

B.2xarctanx

C.2xarctanx2

D.

3.曲線Y=x-3在點(1，1)處的切線的斜率為()．

A.-1

B.-2

C.-3

D.-4

4.函數(shù)y=ex+arctanx在區(qū)間[-1，1]上（）

A.單調減少B.單調增加C.無最大值D.無最小值

5.

6.（）。A.

B.

C.

D.

7.

8.

9.

10.A.A.＞0B.＜0C.=0D.不存在

11.

12.設y=f(x)為可導函數(shù)，則當△x→0時，△y-dy為△x的A.A.高階無窮小B.等價無窮小C.同階但不等價無窮小D.低階無窮小13.等于()．A.A.0

B.

C.

D.∞

14.A.A.

B.

C.

D.

15.A.A.凹B.凸C.凹凸性不可確定D.單調減少

16.

17.

18.設函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內可導f(x)>0，則在(0，1)內f(x)（）．

A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量19.方程y"+3y'=x2的待定特解y*應取()．A.A.AxB.Ax2+Bx+CC.Ax2D.x(Ax2+Bx+C)20.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)二、填空題(20題)21.

22.23.∫(x2-1)dx=________。

24.過點M1(1，2，-1)且與平面x-2y+4z=0垂直的直線方程為_________．

25.

26.

27.∫e-3xdx=__________。

28.29.30.交換二重積分次序=______．

31.

32.33.微分方程y"+y'=0的通解為______．34.曲線y=x3-6x的拐點坐標為______．

35.

36.

37.

38.39.40.三、計算題(20題)41.求微分方程的通解．42.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．43.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．

44.

45.求曲線在點(1，3)處的切線方程．46.47.求函數(shù)一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．

48.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

50.51.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則52.

53.求函數(shù)y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．54.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

55.56.

57.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．58.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．59.證明：

60.

四、解答題(10題)61.

62.證明：當時，sinx+tanx≥2x．

63.64.設區(qū)域D為：

65.

66.

確定a，b使得f(x)在x=0可導。

67.

68.

69.

70.(本題滿分8分)

五、高等數(shù)學(0題)71.x→0時，1一cos2x與

等價，則a=__________。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D

2.C

3.C點(1，1)在曲線．由導數(shù)的幾何意義可知，所求切線的斜率為-3，因此選C．

4.B因處處成立，于是函數(shù)在（-∞，+∞)內都是單調增加的，故在[-1，1]上單調增加.

5.D

6.D由所給二次積分可知區(qū)域D可以表示為0≤y≤l，y≤x≤1。其圖形如右圖中陰影部分．又可以表示為0≤x≤1，0≤y≤x。因此選D。

7.B

8.A解析：

9.B

10.C被積函數(shù)sin5x為奇函數(shù)，積分區(qū)間[-1，1]為對稱區(qū)間。由定積分的對稱性質知選C。

11.B

12.A由微分的定義可知△y=dy+o(△x)，因此當△x→0時△y-dy=o(△x)為△x的高階無窮小，因此選A。

13.A

14.B本題考查的知識點為偏導數(shù)運算．

由于z＝tan(xy)，因此

可知應選B．

15.A本題考查的知識點為利用二階導數(shù)符號判定曲線的凹凸性．

16.D

17.B

18.A本題考查的知識點為利用導數(shù)符號判定函數(shù)的單調性．

由于f(x)在(0，1)內有f(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

19.D本題考查的知識點為二階常系數(shù)線性微分方程特解y*的取法．

由于相應齊次方程為y"+3y'0，

其特征方程為r2+3r=0，

特征根為r1=0，r2=-3，

自由項f(x)=x2，相應于Pn(x)eαx中α=0為單特征根，因此應設

故應選D．

20.C

21.x=-1

22.

23.

24.

25.

26.

解析：

27.-(1/3)e-3x+C

28.

29.

本題考查的知識點為二重積分的計算．

30.本題考查的知識點為交換二重積分次序．

積分區(qū)域D：0≤x≤1，x2≤y≤x

積分區(qū)域D也可以表示為0≤y≤1，y≤x≤，因此

31.

32.2本題考查了定積分的知識點。33.y=C1+C2e-x，其中C1，C2為任意常數(shù)本題考查的知識點為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的求解．

二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解的一般步驟為：先寫出特征方程，求出特征根，再寫出方程的通解．

微分方程為y"+y'=0．

特征方程為r3+r=0．

特征根r1=0．r2=-1．

因此所給微分方程的通解為

y=C1+C2e-x，

其牛C1，C2為任意常數(shù)．34.(0，0)本題考查的知識點為求曲線的拐點．

依求曲線拐點的一般步驟，只需

(1)先求出y"．

(2)令y"=0得出x1，…，xk．

(3)判定在點x1，x2，…，xk兩側，y"的符號是否異號．若在xk的兩側y"異號，則點(xk，f(xk)為曲線y=f(x)的拐點．

y=x3-6x，

y'=3x2-6，y"=6x．

令y"=0，得到x=0．當x=0時，y=0．

當x＜0時，y"＜0；當x＞0時，y"＞0．因此點(0，0)為曲線y=x3-6x的拐點．

本題出現(xiàn)較多的錯誤為：填x=0．這個錯誤產生的原因是對曲線拐點的概念不清楚．拐點的定義是：連續(xù)曲線y=f(x)上的凸與凹的分界點稱之為曲線的拐點．其一般形式為(x0，f(x0))，這是應該引起注意的，也就是當判定y"在x0的兩側異號之后，再求出f(x0)，則拐點為(x0，f(x0))．

注意極值點與拐點的不同之處!

35.11解析：

36.3/2

37.38.1/2本題考查的知識點為極限的運算．

39.1．

本題考查的知識點為導數(shù)的計算．

40.本題考查的知識點為定積分的換元法．

41.

42.

43.

44.45.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

46.

47.

列表：

說明

48.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

49.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

50.51.由等價無窮小量的定義可知

52.

則

53.

54.

55.

56.由一階線性微分方程通解公式有

57.由二重積分物理意義知

58.函數(shù)的定義域為

注意

59.

60.

61.

62.

63.64.利用極坐標，區(qū)域D可以表示為0≤θ≤π,0≤r≤2本題考查的知識點為二重積分的計算(極坐標系)．

如果積分區(qū)域為圓域或圓的一部分，被積函數(shù)為f(x2+y2)的二重積分，通常利用極坐標計算較方便．

使用極坐標計算二重積分時，要先將區(qū)域D的邊界曲線化為極坐標下的方程表示，以確定出區(qū)域D的不等式表示式，再將積分化為二次積分．

本題考生中常見的錯誤為：

被積函數(shù)中丟掉了r．這是將直角坐標系下的二重積分化為極坐標下的二次積分時常見的錯誤，考生務必要注意．

65.

66.

①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導一定連續(xù)∴a+b=1②

∵可導f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=5①f(0)=1；