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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖后,輸出的值為5,則的取值范圍是().A. B. C. D.2.小張家訂了一份報紙,送報人可能在早上之間把報送到小張家,小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件:“小張在離開家前能得到報紙”,設(shè)送報人到達的時間為,小張離開家的時間為,看成平面中的點,則用幾何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.3.已知,則,不可能滿足的關(guān)系是()A. B. C. D.4.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,且,,則()A.9 B.12 C. D.5.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.6.在四邊形中,,,,,,點在線段的延長線上,且,點在邊所在直線上,則的最大值為()A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)恰有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.函數(shù)fxA. B.C. D.9.記等差數(shù)列的公差為,前項和為.若,,則()A. B. C. D.10.若,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.12.《周易》是我國古代典籍,用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個爻組成,其中“”表示一個陽爻,“”表示一個陰爻)若從八卦中任取兩卦,這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.14.若變量,滿足約束條件則的最大值為________.15.已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為_______.16.過動點作圓:的切線,其中為切點,若(為坐標(biāo)原點),則的最小值是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)(1)已知數(shù)列滿足:,且(為非零常數(shù),),求數(shù)列的前項和;(2)已知數(shù)列滿足:(?。θ我獾?;(ⅱ)對任意的,,且.①若,求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證:數(shù)列是等比數(shù)列,其中.18.(12分)已知函數(shù)的定義域為,且滿足,當(dāng)時,有,且.(1)求不等式的解集;(2)對任意,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a(Ⅰ)若f(1)>1,求a的取值范圍;(Ⅱ)若a<0,對?x,y∈-∞,a,都有不等式f(x)≤(y+2020)+20.(12分)已知定點,,直線、相交于點,且它們的斜率之積為,記動點的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程;(2)過點的直線與曲線交于、兩點,是否存在定點,使得直線與斜率之積為定值,若存在,求出坐標(biāo);若不存在,請說明理由。21.(12分)已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若,討論的單調(diào)性;(2)若有兩個極值點,求的取值范圍,并證明:.22.(10分)已知,函數(shù).(1)若函數(shù)在上為減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;(2)求證:對上的任意兩個實數(shù),,總有成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
框圖的功能是求等比數(shù)列的和,直到和不滿足給定的值時,退出循環(huán),輸出n.【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;第四次循環(huán):;此時滿足輸出結(jié)果,故.故選:C.【點睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用,建議數(shù)據(jù)比較小時,可以一步一步的書寫,防止錯誤,是一道容易題.2、D【解析】
這是幾何概型,畫出圖形,利用面積比即可求解.【詳解】解:事件發(fā)生,需滿足,即事件應(yīng)位于五邊形內(nèi),作圖如下:故選:D【點睛】考查幾何概型,是基礎(chǔ)題.3、C【解析】
根據(jù)即可得出,,根據(jù),,即可判斷出結(jié)果.【詳解】∵;∴,;∴,,故正確;,故C錯誤;∵,故D正確故C.【點睛】本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化,對數(shù)的運算,以及基本不等式:和不等式的應(yīng)用,屬于中檔題4、A【解析】
由,可得以及,而,代入即可得到答案.【詳解】設(shè)公差為d,則解得,所以.故選:A.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算,考查學(xué)生運算求解能力,是一道基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項.【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個選項可知,只有正確.故選:A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.6、A【解析】
依題意,如圖以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,表示出點的坐標(biāo),根據(jù)求出的坐標(biāo),求出邊所在直線的方程,設(shè),利用坐標(biāo)表示,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解:依題意,如圖以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,由,,,,,,,因為點在線段的延長線上,設(shè),解得,所在直線的方程為因為點在邊所在直線上,故設(shè)當(dāng)時故選:【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系,屬于中檔題.7、C【解析】
恰有兩個極值點,則恰有兩個不同的解,求出可確定是它的一個解,另一個解由方程確定,令通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個不是1的解時t應(yīng)滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域為,.因為恰有兩個極值點,所以恰有兩個不同的解,顯然是它的一個解,另一個解由方程確定,且這個解不等于1.令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而,且.所以,當(dāng)且時,恰有兩個極值點,即實數(shù)的取值范圍是.故選:C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,函數(shù)與方程的應(yīng)用,屬于中檔題.8、A【解析】
由f12=e-14>0排除選項D;【詳解】由f12=e-14>0,可排除選項D,f-1=-e【點睛】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及x→09、C【解析】
由,和,可求得,從而求得和,再驗證選項.【詳解】因為,,所以解得,所以,所以,,,故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式,還考查運算求解能力,屬于中檔題.10、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即,又由,所以.故選:D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
利用是偶函數(shù)化簡,結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因為在上遞減,,即.故選:D【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
分類討論,僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦;從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個,再取沒有陽爻的坤卦,計算滿足條件的種數(shù),利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知,僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦滿足條件,其種數(shù)是;僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦,沒有陽爻的是坤卦,此時取兩卦滿足條件的種數(shù)是,于是所求的概率.故選:C【點睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出導(dǎo)數(shù),再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號為正時對應(yīng)的的集合,從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為.,令,則,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:.故答案為:.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,注意先考慮函數(shù)的定義域,再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號,本題屬于基礎(chǔ)題.14、7【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合,即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖陰影部分所示.觀察可知,當(dāng)直線過點時,有最大值,.故答案為:.【點睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃,主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)題意,由雙曲線的漸近線方程可得,即a=2b,進而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得cb,由雙曲線的離心率公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程為y=±x,又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y=0,即yx,則有,即a=2b,則cb,則該雙曲線的離心率e;故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是分析a、b之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】解答:由圓的方程可得圓心C的坐標(biāo)為(2,2),半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7,|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2?4a?4b+7=a2+b2.整理得:4a+4b?7=0.∴a,b滿足的關(guān)系為:4a+4b?7=0.求|MN|的最小值,就是求|MO|的最小值.在直線4a+4b?7=0上取一點到原點距離最小,由“垂線段最短”得,直線OM垂直直線4a+4b?7=0,由點到直線的距離公式得:MN的最小值為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)①;②證明見解析.【解析】
(1)由條件可得,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,運用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì),即可得到所求充要條件;②當(dāng),,,由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),化簡變形,即可得到所求結(jié)論.【詳解】解:(1),,且為非零常數(shù),,,可得,可得數(shù)列的首項為,公差為的等差數(shù)列,可得,前項和為;(2)①若,可令,,且,即,,,,對任意的,,可得,可得,,數(shù)列是等比數(shù)列,則,,可得,,即,又,即有,即,數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為;②證明:對任意的,,,,,當(dāng),,,可得,即以為首項、為公比的等比數(shù)列;同理可得以為首項、為公比的等比數(shù)列;對任意的,,可得,即有,所以對,,,可得,,即且,則,可令,故數(shù)列,,,,,,,,,是以為首項,為公比的等比數(shù)列,其中.【點睛】本題考查新定義的理解和運用,考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式的運用,考查分類討論思想方法和推理、運算能力,屬于難題.18、(1);(2).【解析】
(1)利用定義法求出函數(shù)在上單調(diào)遞增,由和,求出,求出,運用單調(diào)性求出不等式的解集;(2)由于恒成立,由(1)得出在上單調(diào)遞增,恒成立,設(shè),利用三角恒等變換化簡,結(jié)合恒成立的條件,構(gòu)造新函數(shù),利用單調(diào)性和最值,求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又因為和,則,所以得解得,即,故的取值范圍為;(2)由于恒成立,恒成立,設(shè),則,令,則,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,根據(jù)條件,只要,所以.【點睛】本題考查利用定義法求函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性求不等式的解集,考查不等式恒成立問題,還運用降冪公式、兩角和與差的余弦公式、輔助角公式,考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.19、(Ⅰ)(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)-1010,0.【解析】
(Ⅰ)由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>1,利用分類討論法去掉絕對值求出不等式的解集即可;(Ⅱ)由題意把問題轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min,分別求出【詳解】(Ⅰ)由題意知,f(1)=|1-2a|-|1-a|>1,若a≤12,則不等式化為1-2a-1+a>1,解得若12<a<1,則不等式化為2a-1-(1-a)>1,解得若a≥1,則不等式化為2a-1+1-a>1,解得a>1,綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)由題意知,要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立,只需[f(x)]max當(dāng)x∈(-∞,a]時,|x-2a|-|x-a|≤-a,[f(x)]max因為|y+2020|+|y-a|≥|a+2020|,所以當(dāng)(y+2020)(y-a)≤0時,[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|,解得a≥-1010,結(jié)合a<0,所以a的取值范圍是[-1010,0).【點睛】本題考查了絕對值不等式的求解問題,含有絕對值的不等式恒成立應(yīng)用問題,以及絕對值三角不等式的應(yīng)用,考查了分類討論思想,是中檔題.含有絕對值的不等式恒成立應(yīng)用問題,關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化為最值問題,再通過絕對值三角不等式求解最值,從而建立不等關(guān)系,求出參數(shù)范圍.20、(1);(2)存在定點,見解析【解析】
(1)設(shè)動點,則,利用,求出曲線的方程.(2)由已知直線過點,設(shè)的方程為,則聯(lián)立方程組,消去得,設(shè),,,利用韋達定理求解直線的斜率,然后求解指向性方程,推出結(jié)果.【詳解】解:(1)設(shè)動點,則,,,即,化簡得:。由已知,故曲線的方程為。(2)由已知直線過點,設(shè)的方程為,則聯(lián)立方程組,消去得,設(shè),,則又直線與斜率分別為,,則。當(dāng)時,,;當(dāng)時,,。所以存在定點,使得直線與斜率之積為定
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