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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務,要求是:任務A必須排在前三項執(zhí)行,且執(zhí)行任務A之后需立即執(zhí)行任務E,任務B、任務C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種2.已知集合,,則()A. B.C. D.3.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題4.設分別是雙曲線的左右焦點若雙曲線上存在點,使,且,則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.5.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.6.已知曲線且過定點,若且,則的最小值為().A. B.9 C.5 D.7.集合的真子集的個數(shù)是()A. B. C. D.8.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.9.已知的共軛復數(shù)是,且(為虛數(shù)單位),則復數(shù)在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.用一個平面去截正方體,則截面不可能是()A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形11.一個四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖,左視圖也叫側視圖),則這個四棱錐中最最長棱的長度是().A. B. C. D.12.由實數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從2、3、5、7、11、13這六個質數(shù)中任取兩個數(shù),這兩個數(shù)的和仍是質數(shù)的概率是________(結果用最簡分數(shù)表示)14.在的二項展開式中,所有項的二項式系數(shù)之和為256,則_______,項的系數(shù)等于________.15.已知橢圓,,若橢圓上存在點使得為等邊三角形(為原點),則橢圓的離心率為_________.16.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),,則的值為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以直角坐標系原點為極點,以軸正半軸為極軸并取相同的單位長度建立極坐標系.(1)求曲線的極坐標方程,并說明其表示什么軌跡;(2)若直線的極坐標方程為,求曲線上的點到直線的最大距離.18.(12分)2019年是中華人民共和國成立70周年.為了讓人民了解建國70周年的風雨歷程,某地的民調機構隨機選取了該地的100名市民進行調查,將他們的年齡分成6段:,,…,,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從年齡在,,內的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機選取3人進行座談,用表示年齡在)內的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調查,其中有名市民的年齡在的概率為.當最大時,求的值.19.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2是圓心為(2,),半徑為1的圓.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;(2)設M為曲線C1上的點,N為曲線C2上的點,求|MN|的取值范圍.20.(12分)已知矩陣,.求矩陣;求矩陣的特征值.21.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)的最小值為,求的最小值.22.(10分)已知函數(shù),為實數(shù),且.(Ⅰ)當時,求的單調區(qū)間和極值;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間,上的值域(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
分三種情況,任務A排在第一位時,E排在第二位;任務A排在第二位時,E排在第三位;任務A排在第三位時,E排在第四位,結合任務B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項不同的任務分別為A、B、C、D、E、F,如果任務A排在第一位時,E排在第二位,剩下四個位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個空位中插入B、C,此時共有排列方法:;如果任務A排在第二位時,E排在第三位,則B,C可能分別在A、E的兩側,排列方法有,可能都在A、E的右側,排列方法有;如果任務A排在第三位時,E排在第四位,則B,C分別在A、E的兩側;所以不同的執(zhí)行方案共有種.【點睛】本題考查了排列組合問題,考查了學生的邏輯推理能力,屬于中檔題.2、C【解析】
求出集合,計算出和,即可得出結論.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查交集和并集的計算,考查計算能力,屬于基礎題.3、B【解析】
由的單調性,可判斷p是真命題;分類討論打開絕對值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對于命題q,當,即時,;當,即時,,由,得,無解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯誤;為真命題,D錯誤.故選:B【點睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學生邏輯推理,分類討論,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.4、A【解析】
由及雙曲線定義得和(用表示),然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率.【詳解】由題意∵,∴由雙曲線定義得,從而得,,在中,由余弦定理得,化簡得.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關鍵是應用雙曲線定義用表示出到兩焦點的距離,再由余弦定理得出的齊次式.5、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b+a=0,所以1<b<2.又f′(x)=2x-b,所以g(x)=ex+2x-b,所以g′(x)=ex+2>0,所以g(x)在R上單調遞增,又g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知,函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0,1),故選B.6、A【解析】
根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點,確定,再根據(jù)條件,利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,,當且僅當時等號成立,即時取得最小值.故選:A【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質,以及基本不等式求最值,意在考查轉化與變形,基本計算能力,屬于基礎題型.7、C【解析】
根據(jù)含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,計算可得;【詳解】解:集合含有個元素,則集合的真子集有(個),故選:C【點睛】考查列舉法的定義,集合元素的概念,以及真子集的概念,對于含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,屬于基礎題.8、A【解析】
根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則化簡可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結果.【詳解】由題可知原式為,該復數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點睛】本題考查復數(shù)的運算和復數(shù)的分類,屬基礎題.9、D【解析】
設,整理得到方程組,解方程組即可解決問題.【詳解】設,因為,所以,所以,解得:,所以復數(shù)在復平面內對應的點為,此點位于第四象限.故選D【點睛】本題主要考查了復數(shù)相等、復數(shù)表示的點知識,考查了方程思想,屬于基礎題.10、C【解析】試題分析:畫出截面圖形如圖顯然A正三角形,B正方形:D正六邊形,可以畫出五邊形但不是正五邊形;故選C.考點:平面的基本性質及推論.11、A【解析】
作出其直觀圖,然后結合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計算每一條棱長即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖,如圖所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴這個四棱錐中最長棱的長度是.故選.【點睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關計算,正確還原直觀圖是解題關鍵,屬于基礎題.12、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解:若{an}是等比數(shù)列,則,
若,則,即成立,
若成立,則,即,
故“”是“”的充要條件,
故選:C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用等比數(shù)列的通項公式是解決本題的關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依據(jù)古典概型的計算公式,分別求“任取兩個數(shù)”和“任取兩個數(shù),和是質數(shù)”的事件數(shù),計算即可?!驹斀狻俊叭稳蓚€數(shù)”的事件數(shù)為,“任取兩個數(shù),和是質數(shù)”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3個,所以任取兩個數(shù),這兩個數(shù)的和仍是質數(shù)的概率是?!军c睛】本題主要考查古典概型的概率求法。14、81【解析】
根據(jù)二項式系數(shù)和的性質可得n,再利用展開式的通項公式求含項的系數(shù)即可.【詳解】由于所有項的二項式系數(shù)之和為,,故的二項展開式的通項公式為,令,求得,可得含x項的系數(shù)等于,故答案為:8;1.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,二項式系數(shù)的性質,二項式展開式的通項公式,屬于中檔題.15、【解析】
根據(jù)題意求出點N的坐標,將其代入橢圓的方程,求出參數(shù)m的值,再根據(jù)離心率的定義求值.【詳解】由題意得,將其代入橢圓方程得,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及幾何性質,屬于中檔題.16、【解析】
運用等比數(shù)列的通項公式,即可解得.【詳解】解:,,,,,,,,,,,.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式及應用,考查計算能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),表示圓心為,半徑為的圓;(2)【解析】
(1)根據(jù)參數(shù)得到直角坐標系方程,再轉化為極坐標方程得到答案.(2)直線方程為,計算圓心到直線的距離加上半徑得到答案.【詳解】(1),即,化簡得到:.即,表示圓心為,半徑為的圓.(2),即,圓心到直線的距離為.故曲線上的點到直線的最大距離為.【點睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標方程,直線和圓的距離的最值,意在考查學生的計算能力和應用能力.18、(1)分布列見解析,(1)【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總人數(shù),結合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù);的可能取值為0,1,1,由離散型隨機變量概率求法即可求得各概率值,即可得分布列;由數(shù)學期望公式即可求得其數(shù)學期望.(1)先求得年齡在內的頻率,視為概率.結合二項分布的性質,表示出,令,化簡后可證明其單調性及取得最大值時的值.【詳解】(1)按分層抽樣的方法拉取的8人中,年齡在的人數(shù)為人,年齡在內的人數(shù)為人.年齡在內的人數(shù)為人.所以的可能取值為0,1,1.所以,,,所以的分市列為011.(1)設在抽取的10名市民中,年齡在內的人數(shù)為,服從二項分布.由頻率分布直方圖可知,年齡在內的頻率為,所以,所以.設,若,則,;若,則,.所以當時,最大,即當最大時,.【點睛】本題考差了離散型隨機變量分布列及數(shù)學期望的求法,二項分布的綜合應用,屬于中檔題.19、(1)C1:y2=1,C2:x2+(y﹣2)2=1;(2)[0,1]【解析】
(Ⅰ)消去參數(shù)φ可得C1的直角坐標方程,易得曲線C2的圓心的直角坐標為(0,2),可得C2的直角坐標方程;(Ⅱ)設M(3cosφ,sinφ),由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得|MC2|的取值范圍,結合圓的知識可得答案.【詳解】(1)消去參數(shù)φ可得C1的普通方程為y2=1,∵曲線C2是圓心為(2,),半徑為1的圓,曲線C2的圓心的直角坐標為(0,2),∴C2的直角坐標方程為x2+(y﹣2)2=1;(2)設M(3cosφ,sinφ),則|MC2|,∵﹣1≤sinφ≤1,∴1≤|MC2|,由題意結合圖象可得|MN|的最小值為1﹣1=0,最大值為1,∴|MN|的取值范圍為[0,1].【點睛】本題考查橢圓的參數(shù)方程,涉及圓的知識和極坐標方程,屬中檔題.20、;,.【解析】
由題意,可得,利用矩陣的知識求解即可.矩陣的特征多項式為,令,求出矩陣的特征值.【詳解】設矩陣,則,所以,解得,,,,所以矩陣;矩陣的特征多項式為,令,解得,,即矩陣的兩個特征值為,.【點睛】本題考查矩陣的知識點,屬于??碱}.21、(1)(2)【解析】
(1)用分類討論思想去掉絕對值符號后可解不等式;(2)由(1)得的最小值為4,則由,代換后用基本不等式可得最小值.【詳解】解:(1)討論:當時,,即,此時無解;當時,;當時,.所求不等式的解集為(2)分析知,函數(shù)的最小值為4,當且僅當時等號成立.的最小值為4.【點睛】本題考查解絕對值不等式,考查用基本不等式求最小值.解絕對值不等式的方法是分類討論思想.22、(Ⅰ)極大值0,沒有極小值;函數(shù)的遞增區(qū)間,遞減區(qū)間,(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)由,令,得增區(qū)間為,令,得減區(qū)間為,所以有極大值,無極小值;(Ⅱ)由,分,和三種情況,考慮函數(shù)在區(qū)間上
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