2013高考數(shù)學(xué)教案和學(xué)案(有答案)-第9章-學(xué)案44

學(xué)案44 圓的方程導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.掌握確定圓的幾何要素.2.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．自主梳理圓的定義在平面內(nèi)，的距離等的點(diǎn)叫做圓．確定一個(gè)圓最基本的要素．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程其為圓心為半徑4．圓的一般方程＋＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是 ，其中圓心為 ，半徑.5．確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；或、F的方程組；、、r或、、6．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種．－＋－，點(diǎn)，，(1(2(3自我檢測(cè)方程表示圓時(shí)的取值范圍．圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)(1,2)的圓的方程．點(diǎn)為圓的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程．已知(0,0)在圓外，則a的取值范圍．過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為、則△APB的外接圓方程．探究點(diǎn)一求圓的方程例1求經(jīng)過(guò)點(diǎn)－2，且與直線＋3－0相切于點(diǎn)(8,6的圓的方程．變式遷移1根據(jù)下列條件，求圓的方程．相外切于點(diǎn)，3)4圓心在原點(diǎn)且圓周被直線3＋4＋＝0分成12兩部分的圓的方程．探究點(diǎn)二圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用例2已知圓＋6＋＝0和直線230交于Q兩點(diǎn)，且QO為坐標(biāo)原點(diǎn))，求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑．變式遷移2如圖，已知圓心坐標(biāo)為(另一圓N與圓M外切且與x軸及直線M和圓N的方程；

3，1Mx軸及直線3x分別相切于D兩點(diǎn)．

3x分別相切于B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線MN的平行線，求直線l被圓N截得的弦的長(zhǎng)度．探究點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值問題3已知實(shí)數(shù)y滿足方程(1的最大值和最小值；(2的最大值和最小值．y3如果實(shí)數(shù)的最大值與最小值．簡(jiǎn)化計(jì)算的過(guò)程與難度．d與圓半徑r時(shí)，點(diǎn)在圓外．本節(jié)主要的數(shù)學(xué)思想方法有：數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)方程表示圓，則a的取值范圍．圓2＋2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2x－＋2＝0a、b∈R)對(duì)稱，則b的取值范圍是 ．3．(2011·蘇州模)已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，則實(shí)數(shù)的值分別和 ．4CABC面積的最小值為 ．5．(2011·泰州模已知2＋2的圖象與x軸y軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，有一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)，則此圓與坐標(biāo)軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．6．(2010·天津)已知圓C的圓心是直線x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線則圓C的方程．圓心在直線上的圓與x軸交于兩點(diǎn)則圓的方程．BAB2 .二、解答題(共42分)9．(14分)根據(jù)下列條件，求圓的方程：(1Cx6.10．(14分)(2011·上．(1的最大值和最小值；y的最大值和最小值；

3，則a＝求的最大值和最小值．11．(14)4米需用一支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01米)(825≈28.72)．學(xué)案44 圓的方答案自主梳理1．定點(diǎn)定長(zhǎng)集合2.圓心半徑3.(a，b)r－2，－2 2 6．(1)＝(2)>(3)<自我檢測(cè)11．m<或m>12.x2＋(y－2)2＝13.x－y－3＝044．( 3

7 1－1＋7，－1)∪(， )2 35．(x－2)2＋(y－1)2＝5課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)一可以利用圓的一般式方程，通過(guò)轉(zhuǎn)化三個(gè)獨(dú)立條件，得到有關(guān)三個(gè)待定字母的關(guān)系式求解；二可以利用圓的方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，由條件確定圓心和半徑．(2組求待定系數(shù)；當(dāng)條件中給出的是圓心坐標(biāo)或圓心在某直線上、圓的切線方程、圓的弦長(zhǎng)等條件，適合用標(biāo)準(zhǔn)式．解方法一設(shè)圓心為C，所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，E D 則圓心－2，－2

6＋2. 8＋2E由

6＋2 1D·＝①D 8＋2又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③解①②③，可得D＝－11，E＝3，F(xiàn)＝－30.∴所求圓的方程為x2＋y2－11x＋3y－30＝0.方法二設(shè)圓的圓心為，則，從而可得B所在直線的方程為－－，即3－＝0.①AB(3,1)．6＋4又k＝ ＝1，8＋2B的垂直平分線的方程為x＝2，由①②聯(lián)立后，解得y 3＝－.211 32，－.

211 3 2－82＋－

125. 2 2 3 125∴所求圓的方程22＋y＋2＝ . 2 21解(1QQOQ＝6，0－＋0＝62∴聯(lián)立方 ，－1＋3－＝解得a＝－3，b＝33，(2)

3)2＝16.如圖，因?yàn)閳A周被直線＋4＋0分成12＝120°，(0,0到直線3x15＋4y＋15＝0的距離d＝

＝3所以所求圓的方程為x2＋y2＝36.例2 解題導(dǎo)引(1)在解決與圓有關(guān)的問題中，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會(huì)使得思路簡(jiǎn)捷明了簡(jiǎn)化思路，簡(jiǎn)便運(yùn)算．(2m值，即“列出m的方程”求m值．解方法一將x＝3－2y，代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，得5y2－20y＋12＋m＝0.設(shè)，，則、2滿足條件：12＋m5.＋而＝9－＋4.12＋m∴9－6×4＋5×5＝0，

1 53，此時(shí)16－3×4>0，－，半徑＝. 2 2方法二如圖所示，PQ中點(diǎn)為，k＝ 1 又圓心坐標(biāo)為－，3， 2 11OM的方程為3，1 2＋，即22－0，M1,2)．PQ，∴點(diǎn)O在以Q為直徑的圓上．(＋(－＝，即＝5，M＝.在△MQ中，M. 1 1＋－62－4m∴－＋12＋(3－2)2＋5＝ . 2 5

4 1 －2 2 變式遷移2解(1M(

3，M到x軸的距離為，即圓M的半徑為，M3)2＋(y－1)2＝1.設(shè)圓N的半徑為則Mxx軸，由題意知點(diǎn)都在的平分線上，N三點(diǎn)共線．由△t△N可知，2 1＝M，即3＋

r＝r

r＝3，

3，則圓N

3)2＋(y－3)2＝9.(2)由對(duì)稱性可知，所求的弦長(zhǎng)等于過(guò)AMN平行的直線被圓N截得的弦的長(zhǎng)度，33此弦的方程是3)，即3y－3＝0，333圓心N到該直線的距離2，則弦長(zhǎng)為2r2－d2＝33.例3解題導(dǎo)引與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：y－b形如－(2形如＋y形式的最值問形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．解可看作是直線y軸上的截距，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，縱截距b取得最2－＋|大值或最小值，此時(shí) ＝2

3，解得b＝－2±6.6，最小值為－2－6.處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為2－02＋0－02＝2，2＋3)2＝7＋43，2－3)2＝7－43.變式遷移3解(1)設(shè)P(x，y)，則P點(diǎn)的軌跡就是已知圓－＋－＝y(tǒng)而OP的斜率，y設(shè)OP的方程為OP與圓相切時(shí)，斜率取最值．|3k－3|因?yàn)辄c(diǎn)C到直線的距離＝6，|3k－3|＝6，2所以當(dāng)k＋12

，k2＋1kk＝3±22OP與圓相切．y即

2，最小值為3－22.課后練習(xí)區(qū)2

11．(－2，)2.－∞，3 43．0－3 a解析圓的方程可化為2＋(y－1)2＝11－1 2 4 2＝0，∴a＝0，又點(diǎn)(2,1)在圓上，所以b＝－3.24．3－2解析：2＝(1,0到B的距離3

|3| 3＝ ，2 2B

－1.又AB＝22.21 S

－12 2 △min＝×22× ＝3－2 2 5．(0,1)解析x軸的交點(diǎn)為(22y軸的交點(diǎn)為(－22(．設(shè)圓的方程為＋令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，20102011，＝－22，得010×2∴－2010×2010×26．(x＋1)2＋y2＝2x1,0C1,0C|＋0＋3＝0相切，∴圓C的半徑為＝2

2C7．(x－2)2＋(y－1)2＝2解析所求圓與x軸交于)兩點(diǎn)，故線段AB的垂直平分線求圓的圓心在直線2x－3y－1＝0上，所以，兩直線的交點(diǎn)即為所求圓的圓心坐標(biāo)，解之得為(2,1)，進(jìn)一步可求得半徑為8．0

2，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝2.AB2|＋即 ＝1，解得a2＋1

3，則圓心(1,2)到直線ax－y＋3＝0的距離等于1，9．解(1B的中垂線方程為32－＝，3＋－0， ＝，由 解 (3分)3＋90， ＝∴圓心為C(7，－3)．又CB＝65，故所求圓的方程為(x－7)2＋(y＋3)2＝65.(7分)(2、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得2＝， ①3＋＝. ②(8分)又令得由|－＝6有－4. 由①②④解得或故所求圓的方程為解(1，則可視為直線的縱截距，所以的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的縱截距．由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑，2－－|即 ＝1，解得2－1或2

2－1，的最大值為2－1，最小值為－2－1.(5分)y y(2)x可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，x的最大值和最小值就是過(guò)原點(diǎn)的直線與該圓有公共點(diǎn)時(shí)斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率．2－|設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑，即 ＝1，1＋k223 23解得k＝－2＋3或k＝－2－3，y 23＋3，23－3.(10(3)(3)即－－＋－－(到又因?yàn)閳A心到定點(diǎn)(－1,2

34，所以x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值為34＋1，最小值為34－1.(14