初中八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)講義全套專(zhuān)題29幾何變換_第1頁(yè)
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專(zhuān)題29幾何變換閱讀與思考幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形F變換成另一個(gè)幾何圖形F的方法,若僅改變圖形的位置,而不改

1 2變圖形的形狀和大小,這種變換稱(chēng)為合同變換,平移、對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)是常見(jiàn)的合同變換.平移變換如圖1,如果把圖形勺上的各點(diǎn)都按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F2后,則由勺到F2的變換叫平移變換.平移變換前后的對(duì)應(yīng)線段相等且平行,對(duì)應(yīng)角的兩邊分別平行且方向一致.對(duì)稱(chēng)變換如圖2,將平面圖形F變換到與它成軸對(duì)稱(chēng)的圖形F,這樣的幾何變換就叫做關(guān)于直線/(對(duì)稱(chēng)軸)1 2的對(duì)稱(chēng)變換.對(duì)稱(chēng)變換前后的對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等,其對(duì)稱(chēng)軸是連結(jié)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)線段的垂直平分線.旋轉(zhuǎn)變換如圖3,將平面圖形勺繞這一平面內(nèi)一定點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角a,得到圖形F2,這樣的變換叫旋轉(zhuǎn)變換,M叫旋轉(zhuǎn)中心,a叫旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形是全等的,對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角例題與求解【例1】如圖,ZAOB=450,角內(nèi)有點(diǎn)P,PO=10,在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q,H(均不同于O),則4PQR的周長(zhǎng)的最小值為. (黃岡市競(jìng)賽試題)解題思路:作P點(diǎn)關(guān)于OA,OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),確定Q,R的位置,化折線為直線,求△PQR的最小值.【例2】如圖,P是等邊△ABC的內(nèi)部一點(diǎn),NAPB,/BPC,/CPA的大小之比是5:6:7,則以PA,PB,PC為邊的三角形的三個(gè)角的大小之比(從小到大)是()A.2:3:4 B,3:4:5C.4:5:6 D.不能確定(全國(guó)通訊賽試題)解題思路:解本例的關(guān)鍵是如何構(gòu)造以PA,PB,PC為邊的三角形,若把△PAB,△PBC,△PCA中的任一個(gè),繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)600就可以把PA,PB,PC有效地集中在一起.【例3】如圖,在"BC中,AD±BC于D,/B=2NC,求證:AB+BD=CD.(天津市競(jìng)賽試題)解題思路:用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法證明,實(shí)質(zhì)都利用AD翻折造全等.【例4】如圖,六邊形ABCDEF中,AB//DE,BC〃FE,CD〃AF,對(duì)邊之差BC-FE=ED-AB=AF-CD>0,求證:該六邊形的各角都相等.(全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)解題思路:設(shè)法能將復(fù)雜的條件BC-FE=ED-AB=AF-CD>0,用一個(gè)基本圖形表示,題設(shè)條件有平行條件,考慮實(shí)施平移變換.

【例5】如圖1,如圖2,已知RtAABC中,AC=BC,/ACB【例5】如圖1,如圖2,已知RtAABC中,AC=BC,/ACB=90。,/MCN=45。當(dāng)M、N在AB上時(shí),求證:MN2=AM2+BN2將NMCN繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)M在BA的延長(zhǎng)線時(shí),上述結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.(天津市中考試題)圖1圖2解題思路:MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需轉(zhuǎn)化為直角三角形可將AACM沿直線CM對(duì)折,得△DCM.連DN,只需證DN=BN,NMDN=90。;或?qū)ⅰ鰽CM^(或△BCM)旋轉(zhuǎn).【例6】如圖,NDAC=120,/DBC=24。,/CAB=36。,/ABD=48。,求NDCA的度數(shù).(日本算術(shù)奧林匹克試題)解題思路:已知角的度數(shù)都是12的倍數(shù),360+240=600,這使我們想到構(gòu)作正三角形.能力訓(xùn)練.在如圖所示的單位正方形網(wǎng)格中,將A45。向右平移3個(gè)單位后得到△AB'。',則/BAA的度數(shù)是 .(泰安市中考試題)AC(第3題)AC(第3題).如圖,P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),PA=6,PB=8,PC=10,則NAPB=.TOC\o"1-5"\h\z4 k,,0、 4 9.如圖,直線J=-x與雙曲線J=-(k>0)交于點(diǎn)A,將直線J=x向右平移彳個(gè)單位后,與雙曲3 2x 1 3 2k AO線J0=—交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C.若—=2,則k= . (武漢市中考試題)x BC.如圖,△ABC中,/BAC=450,AD±BC,DB=3,DC=2,則4ABC的面積是 ..如圖,P為正方形內(nèi)一點(diǎn),若PA:PB:PC=1:2:3,則NAPB的度數(shù)是( ).A.1200 B.1350 C.1450 D.1500

AAD(第5題)AD(第6AAD(第5題)AD(第6題).如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)0,把邊BA、CD分別繞點(diǎn)B、C同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"c 1- ,得四邊形A'BCD',下列結(jié)論:①四邊形A'BCD'為菱形;②s =S;③線段0D'的四邊形A'BCD' 2正方形ABCD長(zhǎng)為。3-1.其中正確的結(jié)論有( ).\o"CurrentDocument"A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)CD=6米,若由L上一點(diǎn)分別向A,B.如圖,A,BCD=6米,若由L上一點(diǎn)分別向A,B連電話線,最短為(11米).10米9米8米8.如圖,在"連電話線,最短為(11米).10米9米8米8.如圖,在"BC中ZBAC=1200P是^ABC內(nèi)一點(diǎn)若記x=PA+PB+PC,y=AB+AC,則(x=yx>yx與y的大小關(guān)系不確定第8題圖.如圖,已知D是^ABC中BC邊的中點(diǎn),過(guò)D作DE±DF,分別交AB于E,交AC于F,求證:BE+CF>EF.(天津市競(jìng)賽試題)

.如圖,△ABC,△AB'C其各邊交成六邊形DEFGHK,且EF〃KH,GH〃DE,FG〃KD,KH—EF=FG—KD=DE—GH>0,求證:△ABC,△A'B'C'均為為正三角形.(“縉云杯”邀請(qǐng)賽試題).如圖,已知^ABC中,AB=AC,P,Q分別為AC,AB上的點(diǎn),且AP=PQ=QB=BCf/PCQ.(北京市競(jìng)賽試題).如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系中,A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,-3),B(4,-1).(1)若P(X,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最短時(shí),求x的值;(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí),求a的值;(3)設(shè)M,N分別為x軸,y軸上的動(dòng)點(diǎn),問(wèn):是否存在這樣的點(diǎn)M(m,0)和N(0,n),使四邊形ABMN的周長(zhǎng)最短?若存在,求出m,n的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(浙江省湖州市中考試題).如圖,梯形ABCD中,AD〃BC,分別以?xún)裳麬B,CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF,設(shè)線段AD的垂直平分線佼線段EF于點(diǎn)M,EP±/于P,FQ±/于。,求證:EP=FQ.(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題).如圖所示,已知Rt△ABC中,AB=BC,在Rt△ADE中,AD=DE,連結(jié)EC,取EC中點(diǎn)M,連結(jié)DM和BM.(1)若點(diǎn)D在邊AC上,點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合,如圖1,求證:BM=DM,

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