初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)第5章特殊平行四邊形5．2菱形 優(yōu)質(zhì)課獎(jiǎng)

5．2菱形(二)1．下列命題中，是真命題的是(B)A．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是菱形B．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形C．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形D．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形(第2題)2．如圖，有下列條件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.添加一個(gè)條件，能使?ABCD是菱形的有(A)A．①或③B．②或③C．③或④D．①或②或③(第3題)3．如圖，小紅在作線段AB的垂直平分線時(shí)，是這樣操作的：分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于eq\f(1,2)AB的線段長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)C，D，則直線CD即為所求．連結(jié)AC，BC，AD，BD，根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形ADBC一定是(B)A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形4．將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF.若AB＝3，則BC的長(zhǎng)為__eq\r(3)__．(第4題)(第5題)5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分腰AB.若AC＝CD，AB∥CD，則∠A的度數(shù)為__120°__．【解】提示：連結(jié)AD，BD.6．在矩形ABCD中，AD＝3AB，點(diǎn)G，H分別在AD，BC上，連結(jié)BG，DH.若BG∥DH，則當(dāng)eq\f(AG,AD)為何值時(shí)，四邊形BHDG為菱形？(第6題)【解】∵四邊形BHDG為菱形，∴BG＝DG.設(shè)AB＝x，則AD＝3x.設(shè)AG＝y(tǒng)，則BG＝GD＝3x－y.在Rt△AGB中，∵AG2＋AB2＝BG2，∴y2＋x2＝(3x－y)2，解得y＝eq\f(4,3)x.∴eq\f(AG,AD)＝eq\f(y,3x)＝eq\f(\f(4,3)x,3x)＝eq\f(4,9).7．在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是BD，AC的中點(diǎn)，當(dāng)AB，CD滿足什么條件時(shí)，四邊形EGFH是菱形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．(第7題)【解】當(dāng)AB＝CD時(shí)，四邊形EGFH是菱形．證明如下：∵E，G分別是AD，BD的中點(diǎn)，∴EG平行且等于eq\f(1,2)AB.同理，HF平行且等于eq\f(1,2)AB，EH平行且等于eq\f(1,2)CD.∴EG平行且等于HF.∴四邊形EGFH是平行四邊形．∵EG＝eq\f(1,2)AB，EH＝eq\f(1,2)CD，AB＝CD，∴EG＝EH，∴?EGFH是菱形．(第8題)8．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是BD，BC，AC，AD的中點(diǎn)，且AB＝CD.有下列結(jié)論：①EG⊥FH；②四邊形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝eq\f(1,2)(BC－AD)；⑤四邊形EFGH是菱形．其中正確的個(gè)數(shù)是(C)A.1B.2C.3D.4【解】∵E，F(xiàn)，G，H分別是BD，BC，AC，AD的中點(diǎn)，∴EF＝eq\f(1,2)CD，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)AB，GH＝eq\f(1,2)CD，HE＝eq\f(1,2)AB.∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGH是菱形，故⑤正確．∴EG⊥FH，HF平分∠EHG，故①③正確．②④無法證明．綜上所述，正確的個(gè)數(shù)是3.(第9題)9．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于點(diǎn)D，與BF交于點(diǎn)G，GE∥AC.求證：CE與FG互相垂直平分．【解】∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠ABF.∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠CBF＋∠BFC＝90°，∠ABF＋∠BGD＝90°，∴∠BGD＝∠BFC.∵∠BGD＝∠CGF，∴∠BFC＝∠CGF，∴CG＝CF.∵GE∥AC，∴∠BFC＝∠EGF，∴∠CGF＝∠EGF，∴∠BGC＝∠BGE.又∵BG＝BG，∠CBF＝∠ABF，∴△BGC≌△BGE(ASA)．∴CG＝EG.∴CF＝GE.又∵GE∥CF，∴四邊形CGEF是平行四邊形．又∵CG＝EG，∴四邊形CGEF是菱形，∴CE與FG互相垂直平分．(第10題)10．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，取AF的中點(diǎn)G，連結(jié)DG.若BC＝2AB，求證：(1)四邊形ABDF是菱形．(2)AC＝2DG.【解】(1)∵D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE＝eq\f(1,2)AB.∵AF∥BC，∴四邊形ABDF是平行四邊形．∵BC＝2AB，BC＝2BD，∴AB＝BD.∴?ABDF是菱形．(2)∵四邊形ABDF是菱形，∴AF＝AB＝DF.∵DE＝eq\f(1,2)AB，∴EF＝eq\f(1,2)AF.∵G是AF的中點(diǎn)．∴GF＝eq\f(1,2)AF，∴GF＝EF.又∵∠F＝∠F，∴△FGD≌△FEA(SAS)．∴DG＝AE.∵AC＝2AE，∴AC＝2DG.11．如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0＜t＜6)．(1)直接寫出線段AP，AQ的長(zhǎng)：AP＝__2t__，AQ＝6－t(用含t的代數(shù)式表示)．(2)設(shè)△APQ的面積為S，寫出S與t的關(guān)系式．(3)如圖②，連結(jié)PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時(shí)間t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(第11題)【解】(1)∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.又∵AB＝12cm，∴AC＝6cm.由題意，得AP＝2t，AQ＝6－t.(2)過點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H.在Rt△APH中，∵∠A＝60°，∴∠HPA＝30°.∵AP＝2t，∴AH＝t.∴PH＝eq\r(3)t.∴S＝eq\f(1,2)AQ·PH＝eq\f(1,2)(6－t)×eq\r(3)t＝－eq\f(\r(3),2)t2＋3eq\r(3)t(0<t<6)．(3)存在．過點(diǎn)P作PM⊥AC