第十章無(wú)窮級(jí)數(shù)

1第十章無(wú)窮級(jí)數(shù)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法第三節(jié)冪級(jí)數(shù)第四節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第五節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)2

公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無(wú)窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí),引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場(chǎng)賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開(kāi)始,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開(kāi)始的時(shí)候,阿基里斯跑了1000米,此時(shí)烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí),烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來(lái)越近,但卻是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)?這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒(méi)有任何毛病.那么,問(wèn)題究竟出在哪兒呢？

齊諾悖論—阿基里斯與烏龜3第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具.

一、級(jí)數(shù)的基本概念

計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積41、級(jí)數(shù)的定義:—(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)部分和數(shù)列級(jí)數(shù)的部分和52、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:6解收斂發(fā)散例1討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))

的收斂性.

7

發(fā)散發(fā)散綜上所述,8

公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無(wú)窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí),引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場(chǎng)賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開(kāi)始,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開(kāi)始的時(shí)候,阿基里斯跑了1000米,此時(shí)烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí),烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來(lái)越近,但卻是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)?這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒(méi)有任何毛病.那么,問(wèn)題究竟出在哪兒呢？

齊諾悖論—阿基里斯與烏龜9如果我們從級(jí)數(shù)的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題,齊諾的這個(gè)悖論就會(huì)不攻自破.

1011解例2討論無(wú)窮級(jí)數(shù)

的收斂性.

12解例3所以級(jí)數(shù)發(fā)散.

13級(jí)數(shù)收斂的必要條件證明定理14說(shuō)明：1、如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散；

級(jí)數(shù)發(fā)散；

級(jí)數(shù)發(fā)散。152、必要條件不充分：再舉一個(gè)重要例子：

但級(jí)數(shù)發(fā)散。

調(diào)和級(jí)數(shù)

16討論于是矛盾，調(diào)和級(jí)數(shù)

17二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)也收斂,且有由級(jí)數(shù)收斂的定義，以及極限的性質(zhì)，不難證明。思考：可逆嗎？性質(zhì)1性質(zhì)218說(shuō)明：證矛盾.19去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng),不會(huì)影響它的斂散性(但收斂級(jí)數(shù)的和可能要改變).

性質(zhì)3性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂,且其和不變.證因?yàn)椴糠趾蛿?shù)列只相差一個(gè)常數(shù)。例如，20性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂,且其和不變.續(xù)證注收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.推論如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)也發(fā)散.

例如例如，則級(jí)數(shù)

且和不變.21例4判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：

因?yàn)槎际諗?，故原?jí)數(shù)收斂，解且和為22例4判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：

收斂；發(fā)散。23第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

1、定義：這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件：定理一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題24證明比較審斂法定理(1)25(2)是(1)的等價(jià)命題.

注：定理的條件可放寬為：

證明比較審斂法定理26解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.

27解例228所以于是29重要參考級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù),p-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).比較：30解例3例4解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。例8-1331,設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果,當(dāng)時(shí);則(1)兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;比較判別法的極限形式：32證明由比較判別法,可知兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性.33證明由比較判別法可知,

(注意：不可逆)；

由(2)即得結(jié)論.

34例5例6例7例8所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。收斂發(fā)散收斂35常用等價(jià)無(wú)窮小：36例9解例10收斂。解37例1138例12解39證例13由基本不等式40比值判別法(達(dá)朗貝爾D’Alembert判別法)

證略.41例14例15收斂.解收斂.解42例16解所以用比值法無(wú)法判斷.用比較法,收斂.43解例17收斂.44例18解45根值判別法(柯西Cauchy判別法)：

證略.46例19解所以級(jí)數(shù)收斂.

例20解所以級(jí)數(shù)收斂.

47例21收斂.解48二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理(萊布尼茨判別法)

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件稱萊布尼茨型級(jí)數(shù)

49證另一方面,

50定理(萊布尼茨判別法)

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件注意：萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件，而非必要條件.

51例22解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù),

由萊布尼茨定理知，級(jí)數(shù)收斂。一般地，稱為交錯(cuò)

p—級(jí)數(shù).所以級(jí)數(shù)收斂。52解所以級(jí)數(shù)收斂.例2353三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂定義：正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).54證明定理：由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知,

55上述定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)說(shuō)明：這是因?yàn)樗鼈兊囊罁?jù)是

如上例；

56例24例25的絕對(duì)收斂,條件收斂或發(fā)散性.判定解故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.

判定的絕對(duì)收斂,條件收斂或發(fā)散性.解絕對(duì)收斂.

57例26解58例27解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂;59由萊布尼茨定理,此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂．60例28解所以級(jí)數(shù)發(fā)散；故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；61小結(jié)正

項(xiàng)

級(jí)

數(shù)任

意

項(xiàng)

級(jí)

數(shù)判別法4.充要條件5.比較法6.比值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);1.2.7.根值法62第三節(jié)冪級(jí)數(shù)

1、定義：一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念632、收斂點(diǎn)與收斂域：3、和函數(shù)：64解由達(dá)朗貝爾判別法，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例165原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;解例166二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1、冪級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)稱為關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)。672、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域68證O定理(阿貝爾Abel定理)

69由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,

證70由(1)結(jié)論,幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設(shè)矛盾.71此時(shí)正數(shù)

R

稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?72定理簡(jiǎn)單地講，就是73證74證畢.75求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域.

例1解發(fā)散；收斂。76一般，求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域.

例177例2解例3解78例4解收斂半徑為

收斂；發(fā)散.79發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].例5解80缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；例6解直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾判別法，81級(jí)數(shù)發(fā)散,所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)發(fā)散；823、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)且收斂半徑仍為R.

83且收斂半徑仍為R.

(2)逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)后,端點(diǎn)處的收斂性可能發(fā)生如下變化：逐項(xiàng)積分后，原來(lái)發(fā)散的端點(diǎn)可能變收斂；逐項(xiàng)求導(dǎo)后，原來(lái)收斂的端點(diǎn)可能變發(fā)散。84例1逐項(xiàng)求導(dǎo),

再逐項(xiàng)求導(dǎo),

85例1逐項(xiàng)積分,

86換元，再逐項(xiàng)積分，例187例2解881、解逐項(xiàng)求導(dǎo),

所以例3求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)：892、解收斂半徑903、解914、解所以從而924、解935、解94解6、95例4解所以由例3.4知，96例5解積分得所以？第四節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)一、泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的步驟定理、麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性函數(shù)ex

的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)函數(shù)sinx

的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)求冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的間接展開(kāi)法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式小結(jié)一、泰勒級(jí)數(shù)本節(jié)討論的問(wèn)題是：給定函數(shù)f(x)，要考慮是否能找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù)，它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)．如果能找到這樣的冪級(jí)數(shù)，我們就說(shuō)，函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)．

如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)具有直到(n1)的階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x

在(a，b)內(nèi)時(shí)，f(x)可以表示為(xx0)的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn(x)之和：這里x是x0與x

之間的某個(gè)值．復(fù)習(xí)泰勒中值定理：其中

如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f(x)，f(x)，···，f(n)(x)，···，則當(dāng)n時(shí)，f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式泰勒級(jí)數(shù)：成為冪級(jí)數(shù)這一冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)．顯然，當(dāng)xx0時(shí)，f(x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x0)．需回答的問(wèn)題：除了xx0外，f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂?如果收斂，它是否一定收斂于f(x)?定理

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n時(shí)的極限為零，即證明先證必要性．設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，即因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)sn1(x)Rn(x)，其中sn1(x)是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前n1項(xiàng)的和，又在U(x0)內(nèi)有sn1(x)f(x)(n)．于是Rn(x)f(x)sn1(x)0(n)．這就證明了條件是必要的．證明再證充分性．設(shè)R

n(x)0(n)對(duì)一切xU(x0)成立．

因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)sn1(x)R

n(x)，于是sn1(x)=f(x)R

n(x)f(x)(n)，即f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂，并且收斂于f(x)．定理

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n時(shí)的極限為零，即

在泰勒級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù)：此級(jí)數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)．中取x00，得事實(shí)上，如果f(x)在點(diǎn)x00的某鄰域(R,R)內(nèi)有冪級(jí)數(shù)展式f(x)a0a1

x

a2

x2

···an

xn

···，那么必有f

(x)a12a2x3a3x2···nanxn1···，f(x)2!a23·2a3x···n·(n1)anxn2···，f

(x)3!a3···n·(n1)(n2)anxn3

···

···········f

(n)(x)

n!an

(n1)n(n1)···2an1x

···，把x=0代入以上各式，得

如果f(x)能展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)，那么這種展式是唯一的，它一定與f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致．展開(kāi)式的唯一性：

如果f(x)能展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)，那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)．但是，反過(guò)來(lái)如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)x00的某鄰域內(nèi)收斂，它卻不一定收斂于f(x)．因此，如果f(x)在點(diǎn)x00處具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來(lái)，但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂，以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察．應(yīng)注意的問(wèn)題：

二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)第一步求f(x)，f(x)，···f(n)(x)···．第二步求f(0)，f(0)，···，(n)(0)

···第三步寫出冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的步驟：并求出收斂半徑R．第四步考察當(dāng)x在區(qū)間(R，R)內(nèi)時(shí)余項(xiàng)的極限是否為零．如果為零，則在區(qū)間(R，R)內(nèi)有

解因?yàn)閒(n)(x)e

x(n1,2,···)，所以f(n)(0)1(n1,2,···)．于是得級(jí)數(shù)

例1

將函數(shù)f(x)ex

展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)．它的收斂半徑R．對(duì)于任何有限的數(shù)x、x(x介于0與x之間)，有函數(shù)ex

的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：例2

將函數(shù)f(x)sinx

展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)．函數(shù)sinx

的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：環(huán)地取0，1，0，1···(n0,1,2,3,···)于是得級(jí)數(shù)它的收斂半徑為R．對(duì)于任何有限的數(shù)x、x(