第九講時間序列模型

第十章時間序列模型時間序列的平穩(wěn)性單位根檢驗協(xié)整分析與誤差修正模型§10.1時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗（一）問題的引出（二）時間序列數(shù)據的平穩(wěn)性（三）時間序列模型分類（四）平穩(wěn)性的圖示判斷⒈常見的數(shù)據類型到目前為止，經典計量經濟模型常用到的數(shù)據有：時間序列數(shù)據（time-seriesdata)；截面數(shù)據(cross-sectionaldata)面板數(shù)據（paneldata)混合橫截面數(shù)據(pooledcross-sectiondata)★時間序列數(shù)據是最常見，也是最常用到的數(shù)據。（一）問題的引出：經典回歸分析暗含著一個重要假設：數(shù)據是平穩(wěn)的。數(shù)據非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎——“一致性”要求——被破懷。滿足統(tǒng)計推斷中大樣本下的“一致性”特性：▲如果X是非平穩(wěn)數(shù)據（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則上式不成立，回歸估計量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。數(shù)據非平穩(wěn)，往往導致出現(xiàn)“虛假回歸”問題表現(xiàn)在:兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻有很高的相關性（有較高的R2)：時間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計量經濟學方法論。

假定某個時間序列是由某一隨機過程生成的，即假定時間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件：

1）均值E(Xt)=是與時間t無關的常數(shù)；2）方差Var(Xt)=2是與時間t無關的常數(shù)；3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只與時期間隔k有關，與時間t無關的常數(shù)；則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的，而該隨機過程是一平穩(wěn)隨機過程。

（二）時間序列數(shù)據的平穩(wěn)性

例1．一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列：Xt=t，t~N(0,2)例2．另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機游走（randomwalk），該序列由如下隨機過程生成：

Xt=Xt-1+t這里，t是一個白噪聲。該序列常被稱為是一個白噪聲（whitenoise）。由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。或者說白噪聲是平穩(wěn)的隨機過程那么，隨機游走是不是平穩(wěn)的？下面介紹兩種基本的隨機過程：

為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設Xt的初值為X0，則易知X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2……Xt=X0+1+2+…+t由于X0為常數(shù)，t是一個白噪聲，因此Var(Xt)=t2

即Xt的方差與時間t有關而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。或者說隨機游走過程是非平穩(wěn)的隨機過程。

容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)圖1：由白噪聲過程產生的時間序列

圖2：日元對美元匯率的收益率序列

圖3：由隨機游走過程產生時間序列

圖4：日元對美元匯率（300天，1995年）

對隨機游走，對X取一階差分:Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個白噪聲，則序列{

Xt}是平穩(wěn)的。一般情況下，如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。（三）時間序列模型的分類

(1)自回歸模型

如果一個線性過程可表達為Xt

=

1xt-1+

2

xt-2+…+

pxt-p

+ut,

其中i,i=1,…p是自回歸參數(shù)，ut是白噪聲過程，則稱xt為p階自回歸過程，用AR(p)表示。Xt是由它的p個滯后變量的加權和以及ut相加而成。若用滯后算子表示(1-

1L-

2

L2-…-

p

Lp

)xt

=

L)xt

=ut

其中

L)=1-

1L-

2

L2

-…-

pLp稱為特征多項式或自回歸算子。AR(p)過程中最常用的是AR(1)、AR(2)過程，

xt=

1

xt-1

+ut

與自回歸模型常聯(lián)系在一起的是平穩(wěn)性問題。對于自回歸過程AR(p)，如果其特征方程

z)=1-

1

z-

2

z2-…-

p

zp

=(1–G1z)(1–G2

z)...(1–Gpz)=0的所有根的絕對值都大于1，則AR(p)是一個平穩(wěn)的隨機過程。

保持其平穩(wěn)性的條件是特征方程(1-

1L)=0

根的絕對值必須大于1，滿足|1/1|1也就是

|1|<1下面分析AR(2)過程xt=

1

xt-1+

2

xt-2+ut具有平穩(wěn)性的條件。對于AR(2)過程，特征方程式是1-

1

L-

2L2=0上式的兩個根是：

L1,L2=

設1=1/L1,2=1/L21,2==則xt

=

1

xt-1

+

2

xt-2

+ut，改寫為(1-1L)(1-2

L)xt

=ut。AR(2)模型具有平穩(wěn)性的條件是L1>1,L2>1（在單位圓外）

或

1<1,

2<1

移動平均模型如果一個線性隨機過程可用下式表達Xt=ut+

1ut–1

+

2ut-2

+…+

q

ut–q

=(1+

1L+

2L2+…+

q

Lq)ut

=L)ut

其中

1,

2,…,

q是回歸參數(shù)，ut為白噪聲過程，則上式稱為q階移動平均過程，記為MA(q)。之所以稱“移動平均”，是因為xt是由q+1個ut和ut滯后項的加權和構造而成?！耙苿印敝竧的變化，“平均”指加權和。注：由定義知任何一個q階移動平均過程都是由q+1個白噪聲變量的加權和組成，所以任何一個移動平均過程都是平穩(wěn)的。與移動平均過程相聯(lián)系的一個重要概念是可逆性。移動平均過程具有可逆性的條件是特征方程：z)=(1+

1

z+

2z2+…+

qzq)=0的全部根的絕對值必須大于1。（3）自回歸移動平均模型由自回歸和移動平均兩部分共同構成的隨機過程稱為自回歸移動平均過程，記為ARMA(p,q),其中p,q分別表示自回歸和移動平均部分的最大階數(shù)。

xt

=

1xt-1+

2xt-2+…+

p

xt-p+ut+

1ut-1

+

2ut-2+...+

qut-q

ARMA(p,q)的一般表達式是：即或

(1-

1L-

2

L2-…-

p

Lp)xt=(1+

1

L+

2

L2+…+

qLq

)ut

(L)xt=

(L)ut

其中

(L)和

(L)分別表示L的p,q階特征多項式。

ARMA(p,q)過程的平穩(wěn)性只依賴于其自回歸部分，即

(L)=0的全部根取值在單位圓之外（絕對值大于1）其可逆性則只依賴于移動平均部分，即

(L)=0的根取值應在單位圓之外。以上介紹了隨機過程的幾種模型。實際中單憑對時間序列的觀察很難確定其屬于哪一種模型，而自相關函數(shù)是分析隨機過程和識別模型的有力工具。自相關函數(shù)1.自相關函數(shù)定義在給出自相關函數(shù)定義之前先介紹自協(xié)方差函數(shù)概念。隨機過程{xt}中的每一個元素xt，t=1,2,…都是隨機變量。對于平穩(wěn)的隨機過程，其期望為常數(shù)，用

表示，即E(xt)=,t=1,2,…

隨機過程的取值將以

為中心上下變動。平穩(wěn)隨機過程的方差也是一個常量：Var(xt)=E[(xt-E(xt))2]=E（(xt-)2

）=x2

,

相隔k期的兩個隨機變量xt與xt-k

的協(xié)方差即滯后k期的自協(xié)方差定義為：

k=Cov(xt,xt-k)=E[(xt-

)(xt-k

-

)]

自協(xié)方差序列k

,k=0,1,…,K,稱為隨機過程{xt}的自協(xié)方差函數(shù)。

當k=0時

0

=Var(xt)=x2

自相關系數(shù)定義：

k=

因為對于一個平穩(wěn)過程有

Var(xt)=Var(xt–k）

=x2

k===

所以當k=0時，有

0

=1以滯后期k為變量的自相關系數(shù)列

k,k=0,1,…,K

稱為自相關函數(shù)。

因為k=-k

即Cov(xt-k,xt)=Cov(xt

,xt+k)，

自相關函數(shù)是零對稱的，所以實際研究中只給出自相關函數(shù)的正半部分即可。

例如：平穩(wěn)一階自回歸AR(1)過程所以當1為正時，自相關函數(shù)按指數(shù)衰減至零。

當1為負時，自相關函數(shù)正負交錯地指數(shù)衰減至零。

xt=

xt-1+ut,

1

k

=1k,（k0）

的自相關函數(shù)∵一階移動平均MA(1)過程的自相關函數(shù)。Xt

=ut

+1ut-1

k=

=

0k＝1K>110

1<0

可見MA(1)過程的自相關函數(shù)具有截尾特征。

相關圖K滯后期010.97-0.93……250.11相關圖是對自相關函數(shù)的估計。由于MA過程和ARMA過程中的MA分量的自相關函數(shù)具有截尾特性，所以通過相關圖可以估計MA過程的階數(shù)q。相關圖是識別MA過程階數(shù)和ARMA過程中MA分量階數(shù)的一個重要方法。實際應用中相關圖一般取k=15就足夠了。給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個平穩(wěn)的時間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程；而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。

（四）平穩(wěn)性檢驗的圖示判斷圖a表示平穩(wěn)時間序列；圖b表示非平穩(wěn)時間序列進一步的判斷:檢驗樣本自相關函數(shù)及其圖形隨機時間序列的自相關函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）k=k/0

自相關函數(shù)是關于滯后期k的遞減函數(shù)。

易知，隨著k的增加，樣本自相關函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。

隨機游走序列Xt=Xt-1+t經差分后等價地變形為

Xt=t由于t是一個白噪聲，因此差分后的序列{Xt}是平穩(wěn)的。如果一個時間序列經過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。⒈單整§10.2單位根檢驗

一般地，如果一個時間序列經過d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時間序列?，F(xiàn)實經濟生活中:1)只有少數(shù)經濟指標的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等;2)大多數(shù)指標的時間序列是非平穩(wěn)的，如一些價格指數(shù)常常是2階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時間序列，無論經過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。

⒉確定性趨勢和隨機性趨勢一些非平穩(wěn)的經濟時間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關聯(lián)關系，這時對這些數(shù)據進行回歸，盡管有較高的R2，但其結果是沒有任何實際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。如：用中國的勞動力時間序列數(shù)據與美國GDP時間序列作回歸，會得到較高的R2，但不能認為兩者有直接的關聯(lián)關系，而只不過它們有共同的趨勢罷了，這種回歸結果我們認為是虛假的。

為了避免這種虛假回歸的產生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時間，這樣包含有時間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。

然而這種做法，只有當趨勢性變量是確定性的（deterministic）而非隨機性的（stochastic），才會是有效的。

換言之，如果一個包含有某種確定性趨勢的非平穩(wěn)時間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。那么，什么是確定性趨勢？什么是隨機性趨勢呢？2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時間趨勢的隨機變化過程：Xt=+t+t（***）根據的正負，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為確定性趨勢（deterministictrend）。

考慮如下的含有一階自回歸的隨機過程：Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪聲，t為一時間趨勢。1)如果=1，=0，則（*）式成為一帶位移的隨機游走過程：Xt=+Xt-1+t（**）根據的正負，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢，這種趨勢稱為隨機性趨勢（stochastictrend）

3)如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機性兩種趨勢。

判斷一個非平穩(wěn)的時間序列，它的趨勢是隨機性的還是確定性的，可通過ADF檢驗。(1)如果檢驗結果表明所給時間序列有單位根，且時間變量前的參數(shù)顯著為零，則該序列顯示出隨機性趨勢;(2)如果沒有單位根，且時間變量前的參數(shù)顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。3.單位根檢驗（UnitRootTest）1、DF檢驗我們已知道，隨機游走序列Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機模型Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時的情形。所建的模型里怎么看出有時間趨勢？需要檢驗。單位根檢驗是統(tǒng)計檢驗中普遍應用的一種檢驗方法。也就是說，我們對式

Xt=Xt-1+t（*）

做回歸，如果確實發(fā)現(xiàn)=1，就說隨機變量Xt有一個單位根,是非平穩(wěn)的。

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(-1)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗（*）式是否存在單位根=1，也可通過（**）式判斷是否有=0。

一般地:

檢驗一個時間序列Xt的平穩(wěn)性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型Xt=+Xt-1+t（*）中的參數(shù)是否小于1。

或者：檢驗其等價變形式

Xt=+Xt-1+t（**）中的參數(shù)是否小于0。因此，針對式Xt=+Xt-1+t我們關心的檢驗為：零假設H0：=0。

備擇假設H1：<0上述檢驗可通過OLS法下的t檢驗完成。

然而，在零假設（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗無法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計量服從的分布（這時的t統(tǒng)計量稱為統(tǒng)計量），即DF分布（見表9.1.3）。由于t統(tǒng)計量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。因此，可通過OLS法估計

Xt=+Xt-1+t并計算t統(tǒng)計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：

如果：t<臨界值(或t的絕對值大于臨界值的絕對值)，則拒絕零假設H0：=0，認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。在上述使用Xt=+Xt-1+t對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗中，實際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進行估計均會表現(xiàn)出隨機誤差項出現(xiàn)自相關（autocorrelation），導致DF檢驗無效。另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導致上述檢驗中的自相關隨機誤差項問題。為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗。

2、ADF檢驗ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：

模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。

檢驗的假設都是：針對檢驗H0：=0，即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項和趨勢項。

實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。

何時檢驗拒絕零假設，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續(xù)檢驗，直到檢驗完模型1為止。

檢驗原理與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進行檢驗時，有各自相應的臨界值。

表9.1.4給出了三個模型所使用的ADF分布臨界值表。同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設H0：=0。這里所謂模型適當?shù)男问骄褪窃诿總€模型中選取適當?shù)臏蟛罘猪?，以使模型的殘差項是一個白噪聲（主要保證不存在自相關）。1）只要其中有一個模型的檢驗結果拒絕了零假設，就可以認為時間序列是平穩(wěn)的；2）當三個模型的檢驗結果都不能拒絕零假設時，則認為時間序列是非平穩(wěn)的。一個簡單的檢驗過程：（一）問題的提出經典回歸模型是建立在穩(wěn)定數(shù)據變量基礎上的，對于非穩(wěn)定變量，不能使用經典回歸模型，否則會出現(xiàn)虛假回歸等諸多問題。由于許多經濟變量是非穩(wěn)定的，這就給經典的回歸分析方法帶來了很大限制。但是，如果變量之間有著長期的穩(wěn)定關系，即它們之間是協(xié)整的（Cointegration)，則是可以使用經典回歸模型方法建立回歸模型的。例如，中國居民人均消費水平與人均GDP變量的例子中：因果關系回歸模型要比ARMA模型有更好的預測功能，其原因在于，從經濟理論上說，人均GDP決定著居民人均消費水平，而且它們之間有著長期的穩(wěn)定關系，即它們之間是協(xié)整的?！?0.3協(xié)整和誤差修正模型一、協(xié)整

如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d階單整，存在向量=(1,2,…,k)，使得

Zt=XT~I(d-b)

其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，則認為序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)階協(xié)整，記為Xt~CI(d,b)，為協(xié)整向量（CointegratedVector）。（二）協(xié)整由此可見:如果兩個變量都是單整變量，只有當它們的單整階數(shù)相同時，才可能協(xié)整；如果它們的單整階數(shù)不相同，就不可能協(xié)整。兩變量協(xié)整概念：若存在xt，yt都是一階單整I(1)，如果存在使～則稱xt，yt為協(xié)整。（d,d）階協(xié)整是一類非常重要的協(xié)整關系，它的經濟意義在于：兩個變量，雖然它們具有各自的長期波動規(guī)律，但是如果它們是（d,d）階協(xié)整的，則它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關系。

例如：消費C和國內生產總值GDP，它們各自都是2階單整，并且它們是(2,2)階協(xié)整，說明它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關系，從計量經濟學模型的意義上講，建立如下居民人均消費函數(shù)模型

從協(xié)整的定義可以看出:變量選擇是合理的，隨機誤差項一定是“白噪聲”（即均值為0，方差不變的穩(wěn)定隨機序列），模型參數(shù)有合理的經濟解釋。從這里，我們已經初步認識到：檢驗變量之間的協(xié)整關系，在建立計量經濟學模型中是非常重要的。

1、兩變量的Engle-Granger檢驗第一步，用OLS方法估計方程Yt=0+1Xt+t并計算非均衡誤差，得到：

稱為協(xié)整回歸(cointegrating)或靜態(tài)回歸(staticregression)。

（三）協(xié)整檢驗為了檢驗兩變量Yt,Xt是否為協(xié)整，Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗法，也稱為EG檢驗。

的單整性的檢驗方法仍然是DF檢驗或者ADF檢驗。

由于協(xié)整回歸中已含有截距項，則檢驗模型中無需再用截距項。如使用模型1進行檢驗時，拒絕零假設H0：=0，意味著誤差項et是平穩(wěn)序列，從而說明X與Y間是協(xié)整的。

需要注意是，這里的DF或ADF檢驗是針對協(xié)整回歸計算出的誤差項而非真正的非均衡誤差t進行的。而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因此估計量是向下偏倚的，這樣將導致拒絕零假設的機會比實際情形大。于是對et平穩(wěn)性檢驗的DF與ADF臨界值應該比正常的DF與ADF臨界值還要小。

MacKinnon(1991)通過模擬試驗給出了協(xié)整檢驗的臨界值，表9.3.1是雙變量情形下不同樣本容量的臨界值。

對于非穩(wěn)定時間序列，可通過差分的方法將其化為穩(wěn)定序列，然后才可建立經典的回歸分析模型。

如：建立人均消費水平（Y）與人均可支配收入（X）之間的回歸模型：二、誤差修正模型式中，vt=t-

t-1差分X,Y成為平穩(wěn)序列建立差分回歸模型

如果Y與X具有共同的向上或向下的變化趨勢(1)如果X與Y間存在著長期穩(wěn)定的均衡關系Yt=0+1Xt+t且誤差項t不存在序列相關，則差分式

Yt=1Xt+t中的t是一個一階移動平均時間序列，因而是序列相關的；

然而，這種做法會引起兩個問題：(2)如果采用差分形式進行估計，則關于變量水平值的重要信息將被忽略，這時模型只表達了X與Y間的短期關系，而沒有揭示它們間的長期關系。因為，從長期均衡的觀點看，Y在第t期的變化不僅取決于X本身的變化，還取決于X與Y在t-1期末的狀態(tài)，尤其是X與Y在t-1期的不平衡程度。

另外，使用差分變量也往往會得出不能令人滿意回歸方程。

例如，使用Yt=1Xt+t回歸時，很少出現(xiàn)截距項顯著為零的情況，即我們常常會得到如下形式的方程：

在X保持不變時，如果模型存在靜態(tài)均衡（staticequilibrium），Y也會保持它的長期均衡值不變。

但如果使用（*）式，即使X保持不變，Y也會處于長期上升或下降的過程中，這意味著X與Y間不存在靜態(tài)均衡。這與大多數(shù)具有靜態(tài)均衡的經濟理論假說不相符。

可見，簡單差分不一定能解決非平穩(wěn)時間序列所遇到的全部問題，因此，誤差修正模型便應運而生。(*)

誤差修正模型（ErrorCorrectionModel，簡記為ECM）是一種具有特定形式的計量經濟學模型，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。

為了便于理解，我們通過一個具體的模型來介紹它的結構。假設兩變量X與Y的長期均衡關系為:Yt=0+1Xt+t由于現(xiàn)實經濟中X與Y很少處在均衡點上，因此實際觀測到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關系，假設具有如下(1,1)階分布滯后形式

該模型顯示出第t期的Y值，不僅與X的變化有關，而且與t-1期X與Y的狀態(tài)值有關。

由于變量可能是非平穩(wěn)的，因此不能直接運用OLS法。對上述分布滯后模型適當變形得

或

（**）式中如果將（**）中的參數(shù)，與Yt=0+1Xt+t中的相應參數(shù)視為相等，則（**）式中括號內的項就是t-1期的非均衡誤差項。

（**）式表明：Y的變化決定于X的變化以及前一時期的非均衡程度。同時，（**）式也彌補了簡單差分模型Yt=1Xt+t的不足，因為該式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已對前期的非均衡程度作出了修正。稱為一階誤差修正模型(first-ordererrorcorrectionmodel)。

（**）式可以寫成：

（**）知，一般情況下||<1，由關系式=1-得0<<1?？梢該朔治鰁cm的修正作用：（***）其中:ecm表示誤差修正項。(1)若(t-1)時刻Y大于其長期均衡解0+1X，ecm為正，則(-ecm)為負，使得Yt減少；(2)若(t-1)時刻Y小于其長期均衡解0+1X，ecm為負，則(-ecm)為正，使得Yt增大。由分布滯后模型

其主要原因在于變量對數(shù)的差分近似地等于該變量的變化率，而經濟變量的變化率常常是穩(wěn)定序列，因此適合于包含在經典回歸方程中。需要注意的是：在實際分析中，變量常以對數(shù)的形式出現(xiàn)。于是:(1)長期均衡模型Yt=0+1Xt+t中的1可視為Y關于X的長期彈性（long-runelasticity）

(2)短期非均衡模型

Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t中的1可視為Y關于X的短期彈性（short-runelasticity）。

（1）Granger表述定理誤差修正模型有許多明顯的優(yōu)點：如a）一階差分項的使用消除了變量可能存在的趨勢因素，從而避免了虛假回歸問題；b）一階差分項的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題；c）誤差修正項的引入保證了變量水平值的信息沒有被忽視；d）由于誤差修正項本身的平穩(wěn)性，使得該模型可以用經典的回歸方法進行估計，尤其是模型中差分項可以使用通常的t檢驗與F檢驗來進行選??；等等。因此，一個重要的問題就是：是否變量間的關系都可以通過誤差修正模型來表述？1.誤差修正模型的建立

如果變量X與Y是協(xié)整的，則它們間的短期非均衡關系總能由一個誤差修正模型表述：0<<1

（*）式中，t-1是非均衡誤差項或者說成是長期均衡偏差項，是短期調整參數(shù)。就此問題，Engle與Granger1987年提出了著名的Grange表述定理（Grangerrepresentaiontheorem）：對于(1,1)階自回歸分布滯后模型

Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t

如果Yt~I(1),Xt~I(1);那么的左邊Yt~I(0)

，右邊的Xt~I(0)，因此，只有Y與X協(xié)整，才能保證右邊也是I(0)。首先對變量進行協(xié)整分析，以發(fā)現(xiàn)變量之間的協(xié)整關系，即長期均衡關系，并以這種關系構成誤差修正項。然后建立短期模型，將誤差修正項看作一個解釋變量，連同其它反映短期波動的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。注意，由于Y=lagged(Y,X)+t-1+t0<<1中沒有明確指出Y與X的滯后項數(shù)，因此，可以是多個；同時，由于一階差分項是I(0)變量，因此模型中也允許使用X的非滯后差分項Xt。

Granger表述定理可類似地推廣到多個變量的情形中去。

因此，建立誤差修正模型，需要

由協(xié)整與誤差修正模型的的關系，可以得到誤差修正模型建立的E-G兩步法：第一步，進行協(xié)整回歸（OLS法），檢驗變量間的協(xié)整關系，估計協(xié)整向量（長期均衡關系參數(shù)）；第二步，若協(xié)整性存在，則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項加入到誤差修正模型中，并用OLS法估計相應參數(shù)。

需要注意的是：在進行變量間的協(xié)整檢驗時，如有必要可在協(xié)整回歸式中加入趨勢項，這時，對殘差項的穩(wěn)定性檢驗就無須再設趨勢項。另外，第二步中變量差分滯后項的多少，可以殘差項序列是否存在自相關性來判斷，如果存在自相關，則應加入變量差分的