第三章幾何光學(xué)的基本原理

第3章幾何光學(xué)的基本原理

Chap.3BasicPrinciples

ofGeometricalOptics費馬原理成像的基本概念單心光束物像光在平面界面上的反射和折射光導(dǎo)纖維光束單心性的破壞，全反射光在球面上的反射和折射近軸光線條件下球面反射的物像公式近軸光線條件下球面折射的物像公式近軸物近軸光線成像的條件薄透鏡共軸理想光具組的基點和基面主要內(nèi)容直線傳播、反射、折射成像問題波面的線度遠(yuǎn)大于波長時----光沿直線傳播，幾何光學(xué)是近似的、實用的不涉及波長、相位等概念，使用波面、波線的概念幾何光學(xué)所研究的對象實際上就是波動光學(xué)中當(dāng)波長趨于零的極限情況，幾何光學(xué)屬于波動光學(xué)的一部分。Notice:幾何光學(xué)的點、線、面點：光源、物體、像都看成是點的集合。線：光波的傳播抽象成幾何線一樣的光線，相當(dāng)于波面的法線，代表了光的傳播方向。光波由一束光線表示，平面波對應(yīng)于平行光束，球面波對應(yīng)于同心光束如圖平行光束與同心光束球面波波面波線波面波線平面波3.1幾個基本概念和定律費馬原理3.1.1、光線與波面光線：描述光的傳播方向的幾何線。在均勻介質(zhì)中，光線與波線重合。

光束與光線：光線是幾何線，無橫截面積，是假想的光束是實際存在的，總有一定的橫截面積且無法通過小孔獲取細(xì)光束----衍射的存在會使得光束不細(xì)反粗.光線≠光束，不能把很窄很細(xì)的一束光叫做光線一束光可以看做是由許多光線構(gòu)成的。光束3.1.2、幾何光學(xué)的基本實驗定律（1）光在均勻介質(zhì)中的直線傳播定律（物體的影子、小孔成像）

（2）光通過兩種介質(zhì)分界面時的反射定律和折射定律

（3）光的獨立傳播定律和光路可逆原理.

光的獨立傳播定律：兩束光在傳播途中相遇時互不干擾，即每一束光的傳播方向及其他性質(zhì)（頻率、波長、偏振狀態(tài)）都不因另一束光線的存在而發(fā)生改變。適用條件：光波面線度R遠(yuǎn)大于光波長λ（否則，用衍射光學(xué)）光路的可逆性原理：當(dāng)光線沿與原來方向相反的方向傳播時，其路徑不變。（由折射定律的對稱性可得）例如：光束相交處的光強(qiáng)是一種簡單的疊加，探照燈。不考慮光的干涉現(xiàn)象1、費馬原理的描述

光在指定的兩點間傳播，實際的光程總是一個極值。（大多是極小值）極小值：圖（ｂ）光的直線傳播、光的反射定律、折射定律極大值：圖（c）恒定值：圖（a）3.1.3費馬原理(Fermat’sPrinciple)用費馬原理解釋三個基本實驗規(guī)律1）均勻介質(zhì)中的直線傳播兩點間直線距離最短----光路為直線2）反射定律只有當(dāng)APB’為直線時

APB的光程最短，此時：i=i’

入射光線、法線、反射光線共面ABABCDPB’ii’3)折射定律

AC’>AC，C’B>CB入射點必在入射面與界面的交線上----入射光線、法線、反射光線共面n1AC+n2CB----極小值A(chǔ)BCC’OO’M(x1,y1)(x2,y2)(x,0)xyi1i2

光程取極大值的例子:

左圖表示凹球面反射鏡，C為其球心，P為球面頂點，過C作PC的垂線，A和A’為垂線上任意一對與C點等距離的點。光路APA’滿足反射定律，為實際光路?？梢宰C明，它與鄰近光路相比，光程為極大值。

證:過凹球面的頂點P，以A和A’為焦點作橢球面。顯然，橢球面在球面的外面，它們相切于P點。對球面的任意鄰近光路AQA’,由于A’R+RQ>A’Q,所以(ARA’)>(AQA’),而(ARA’)=(APA’),故(APA’)>(AQA’)。

即凹球面反射鏡的這條實際光路APA’與鄰近光路比，為光程極大?；剞D(zhuǎn)橢球面的凹面鏡：光程取恒定值

在均勻介質(zhì)中的兩點間（直線傳播）、經(jīng)平面反射的兩點間，以及經(jīng)平面折射的兩點間的實際光路均是光程取極小值的情形。成像系統(tǒng)的物點和像點之間為光程取恒定值的情形。物點像點3.1.4單心光束實像和虛像1.單心光束：凡是具有單個頂點的光束﹙同心光束﹚。單心光束（同心光束）：光線本身或其延長線可以交于一點的光束。（一束光線有一個共同的中心）

發(fā)散光束：由一發(fā)光點發(fā)出的光束；匯聚光束：向唯一中心會聚的光束。Q單心光束P1P2像散光束單心光束與像散光束2.物點與像點物點：入射到光學(xué)系統(tǒng)的單心光束的頂點（P）像點：經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)出射后又匯聚的單心光束的頂點（P）3實像與虛像實像點：會聚的出射單心光束的頂點（P）虛像點：發(fā)散的出射單心光束的頂點（P）物點：發(fā)光點，或入射單心光束的頂點。

實物點：發(fā)散的入射光束的頂點。

實物：由實物點構(gòu)成的物體。

虛物點：會聚的入射光束的頂點，或入射光束延長線的交點。

像點：光具組（光學(xué)系統(tǒng)）出射的單心光束的頂點。

實像點：會聚的單心出射光束的頂點。

虛像點：發(fā)散的單心出射光束的頂點。

3.1.5實物、實像、虛像的概念實物點、實像點、虛像點的集合分別稱為實物、實像、虛像。QQ'光具組實物成實像實物成虛像QQ'光具組實物成虛像虛物成實像物空間像空間物空間（物方）：包含入射光束及其延長線的空間。

像空間（像方）：包含出射光束及其延長線的空間。

虛物成實像光具組QQ'虛物成虛像光具組QQ'物與像光學(xué)系統(tǒng)的幾種物像關(guān)系實物、實像和虛像的聯(lián)系和區(qū)別1、實物點：發(fā)散的入射單心光束的頂點（P）2、光學(xué)系統(tǒng)：由不同材料做成的不同形狀的反射面、折射面以及光闌組成的系統(tǒng)，其作用是變換光束．反射鏡、棱鏡、透鏡、光闌等是構(gòu)成光學(xué)系統(tǒng)的基本元件。3、人眼的特點：

人眼只能看到發(fā)散單心光束的頂點，而看不見光線本身。4、人眼對物、象的區(qū)別和聯(lián)系人眼不能判斷進(jìn)入人眼的光線是否經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)，因此，人眼不能區(qū)分物、像；人們對物、像的判斷要借助環(huán)境等其他條件5、光學(xué)儀器對物、象的區(qū)別和聯(lián)系只要是發(fā)散的單心光束進(jìn)入光學(xué)儀器，不論光束如何形成，對光學(xué)儀器而言均是實物成像；

實物、實像的意義在于有光線實際發(fā)自或通過該點，而虛物、虛像僅僅是由光的直線傳播性質(zhì)給人眼造成的一種錯覺，實際上并沒有光線經(jīng)過該點。

物像的相對性物和像都是相對于某一成像系統(tǒng)而言的，如果物體連續(xù)經(jīng)過幾個成像系統(tǒng)，則前一個系統(tǒng)所成的像即成為下一系統(tǒng)的物，如此不斷成像得到最終的像。因此物和像并不是絕對的，對于連續(xù)成像的系統(tǒng)，物與像的角色在具體情況下發(fā)生變化，計算時應(yīng)取相應(yīng)空間的折射率。物像轉(zhuǎn)換結(jié)束

返回實物、虛物、實像、虛像視情況而定，但作為第一個（原始、出發(fā)的）物一定是“實體”。折射光束的張角有一定限制，因此圖中的像點再發(fā)出的光束也有一定范圍限制，這和本身是一發(fā)光物點的情況不同。平面反射鏡是一個最簡單的理想光學(xué)系統(tǒng)，它不改變光束的單心性，能成完善的像。所成的像與原物大小相同，而物和像以平面鏡為對稱。

平面反射時光束的單心性保持不變

3.2.1.光在平面上的反射3.2光在平面界面上的反射和折射光導(dǎo)纖維

光在平面界面上折射時單心性受到破壞，不能完善成像yn1n2xP物點水介質(zhì)空氣介質(zhì)像P1

P2P`3.2.2、光束單心性的破壞平行光束折射時仍為平行光束￠￠),0(yPox為兩種介質(zhì)的分界面，物點22112211),().,0(),,0(),0,(),0,(yxPyPyPxAxA￠其余坐標(biāo)

由折射定律及幾何關(guān)系，可求出各像點的坐標(biāo)。物點分析：當(dāng)y不變時，它們隨

x1

或i1

而變。如果光束是單心的，則P就是折射光束的唯一頂點；如果光束不是單心的，則P

不是折射光束的唯一頂點，P1、P2也可能是折射光束的頂點，此時必須考慮光束中光線的空間分布。

討論一小束入射光束：①將圖面繞

oy軸轉(zhuǎn)一小角度折射光束的單心性已被破壞：光束中的所有光線并不相交于單獨的一點，而是交于兩條相互垂直的線段上。子午焦線：一條由P所描出的垂直圖面的焦線；弧矢焦線：一條是位于圖面內(nèi)的焦線

P1P2?！邌涡墓馐牟媸乔蛎妗嘣谄矫娼缑嫔险凵浜螅娴男螤畎l(fā)生變化，不再是球面了。這樣形成的互相垂直的兩小段像且不那么清晰的現(xiàn)像稱為像散。弧矢焦線子午焦線②當(dāng)i1＝0，即當(dāng)P所發(fā)出的光束幾乎垂直于界面時,有

x＝0，y=y1=y2=yn2n1。

這表明y近似地與入射角

i1

無關(guān)，則折射光束是近似單心的，y

稱為像視深度，y

為物的實際深度。如果：n1>n2，那么y<y

,即像點P位于物點P

的上方，視深度減小。（水面上看水里的物體）如果：n1<n2,那么y>y

,即像點P位于物點P

的下方，視深度增大。（從水中看水面上的物體）3.2.3全反射光導(dǎo)纖維1.全反射：對光線只有反射而無折射的現(xiàn)像。當(dāng)光從光密介質(zhì)n1射向光疏介質(zhì)n2（<n1）時，i1

i2

i1

＝ic

i2

＝90，

n1sinic

＝n2sin90

——臨界角如果：iic,那么不再有折射光線而光全部被反射。臨界角(Criticalangle):按照波動理論，產(chǎn)生全反射時除反射波外，在光疏介質(zhì)中并非完全不存在透射波，只不過它沿界面方向傳播，且其振幅在垂直界面方向按指數(shù)衰減，透入深度只有波長量級，稱為倏逝波，或隱失波。但平均來說，光波的能量全部返回光密介質(zhì)，在光疏介質(zhì)中并不形成透射光。詳見122頁例3.2全反射：折射光線因大于等于90而消失，所有的光線反射到原介質(zhì)中的現(xiàn)象。在一定的條件下,光線發(fā)生全反射①

光線由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)；②

入射角大于臨界角。二者缺一不可。

2.光導(dǎo)纖維芯料－涂層界面發(fā)生全反射條件為：而：又

此即為光線在芯料－涂層界面發(fā)生全反射時，入射角應(yīng)滿足的條件。討論：①如果入射角

i的上限用u0表示，則有：

or:u0

n0sinu0為光纖的數(shù)值孔徑，其值越大，通過光纖的光功率就越大。

②對于空氣中的光纖

∵n0

＝1∴

光導(dǎo)纖維Lightcantravelwithlittlelossinacurvedopticalfiber,becausethelightistotallyreflectedwheneveritstrikesthecore-claddinginterfaceandbecausetheabsorptionoflightbythecoreitselfissmall.Opticalfiber醫(yī)學(xué)應(yīng)用Abronchoscope肺部Acolonoscope,showninuseinthisX-rayphotograph結(jié)腸鏡內(nèi)窺鏡3.2.4.棱鏡棱鏡是一種常見的光學(xué)元件，它的主要用途是：轉(zhuǎn)換光傳播的方向（全反射）；作色散元件（折射）。全反射棱鏡---潛望鏡波羅棱鏡（使像轉(zhuǎn)過180°）--陸地望遠(yuǎn)鏡五角棱鏡（使像轉(zhuǎn)過90°）--單鏡頭反光相機(jī)角錐棱鏡（后反射鏡）（1）反射棱鏡全反射棱鏡用來改變光線方向，比用一般平面鏡，能量損失要小得多。（2）折射棱鏡三棱鏡：由兩個不平行的折射平面圍成的透明介質(zhì)元件，其A為折射棱角，也稱為頂角主截面：垂直于兩主折射界面的截面.偏向角：出射線與入射線間的交角.＝(i1-i2)+(i1-i2)=i1+i1-A

最小偏向角：)(2,2,222220111AiiAiiAiiAi=+￠==￠+==￠-qq＝計算折射率：應(yīng)用：①折射計②利用光的色散起分光作用3.3光在球面上的反射和折射一、符號法則二、球面反射對光束單心性的破壞三、近軸光線條件下球面反射的物像公式四、球面折射對光束單心性的破壞五、近軸光線條件下球面折射的物像公式六、高斯公式和牛頓公式

1、幾個概念：1）頂點：球面的中心O2）曲率中心：球面的球心C3）曲率半徑：球面的半徑r4）主軸（光軸）：連接頂點O和曲率中心C的直線5）主平面：包含主軸的平面主軸是唯一的，主平面有無窮多3.3.1、符號法則主軸（光軸）-------光學(xué)系統(tǒng)的對稱軸2、符號法則

規(guī)定——笛卡兒符號法則：

（1）線段長度：都從頂點算起，頂點右方線段長度的數(shù)值為正，反之左方線段長度數(shù)值為負(fù)；軸上為正，下為負(fù)。（物、像均滿足）（2）光線方向的傾斜角度以主軸（或球面法線）按小于90°的方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)向光線，順時針為正，逆時針為負(fù)。（3）圖中所標(biāo)長度和角度（幾何量）均為正值。一般都假定光線自左向右進(jìn)行。符號規(guī)定的意義：由求出量的正負(fù)可判斷像的虛、實、倒、正等結(jié)果。-ss’hrQ-i-uu’-i’fMnn’PP’OC

單個折射面成像系統(tǒng)的笛卡爾符號規(guī)則3.3.2、球面反射對光束單心性的破壞

凹球面鏡將l、l代入光程公式，并利用費馬原理，對求導(dǎo)并令其等于0得：

ss

隨而變，光束的單心性被破壞。另一種思路:正弦定理結(jié)論：因為u隨光線而變，所以s′

也隨光線而變，并非唯一值。故球面反射后光束不能保持單心性，即不能嚴(yán)格地理想成象。凸球面鏡也有類似的結(jié)論3.3.3、近軸光線條件下球面反射的物像公式

近軸光線(paraxialray)----

與光軸夾角較小，并靠近光軸的光線黃線—近軸光線綠線—非近軸光線－物距，s－象距￠s令得令得因此球面鏡物方焦點與像方焦點重合.凹面鏡凸面鏡球面反射物像公式：P′高斯像點實物-y’y-S’-r-SS’虛象適用條件：①近軸光線凹、凸球面均可用，且無論s,s,f

的數(shù)值大小及正負(fù).若u極小，即入射光僅在傍軸的狹窄范圍內(nèi)傳播，則可得或Toagoodapproxomation例題：一個點狀物放在凹面鏡前0.05m處，凹面鏡的曲率半徑為0.2m，試確定像的位置和性質(zhì)。解：若光線自左向右傳播，若光線自右向左傳播，3.3.4、球面折射對光束單心性的破壞s′COnnA-i1）-i

2）h-u）u））s

-srPP(圖中標(biāo)絕對值)凸球面鏡將l、l

代入光程公式，并利用費馬原理，對求導(dǎo)并令其等于0得：

s

隨而變，光束的單心性被破壞。

球面折射Pn-u-i1A-i2n′u′CP′Or-ss′從主軸上P點發(fā)出單心光束，其中一條光線在A點發(fā)生折射，折射后的光線交主軸于P`點。P`點的位置由s`確定。球面法線顯然，s′也是隨u（u′）而變的，不同的光線將有不同的s′值，故球面折射時光束亦不能保持單心性。3.3.5、近軸光線條件下球面折射的物像公式1.近軸：

很小，cos1，l≈-s，l≈s，

2.光焦度公式：

單位：m-1

，稱為屈光度，表示光進(jìn)入光學(xué)系統(tǒng)的折光程度，越大表示折光程度越大。

近軸條件下球面折射的物像關(guān)系公式

3.物象共軛物點與像點的位置可以互換物點與像點互為共軛點入射光線與折射光線互為共軛光線入射波面與折射波面互為共軛波面4.物空間和像空間物空間（物方）：入射光線所在的空間。像空間（像方）：折射光線所在的空間。注意：物不一定在物空間，像不一定在像空間物空間和像空間的點不僅一一對應(yīng)，而且共軛（共軛光線、共軛波面、共軛點）5.焦點和焦距

像方焦點：F，

物方焦點：F，

關(guān)系：On′n-fnn′f′O物方焦點F,物方焦距f像方焦點F′,像方焦距f′6.討論：①（“－”表示F和F永遠(yuǎn)位于界面兩方）

②

，球面反射

（可看作是折射的特例）以上結(jié)論對于凹球面鏡也成立！3.3.6、高斯公式和牛頓公式

重寫物像距公式，稱為高斯公式：或如果：把測量物距、像距的原點分別選作物方焦點F

和像方焦點F

，（它們?nèi)宰袷胤柗▌t），并用x、x

表示物距、像距則有：

即：fsx￠-￠=￠fsx-=,代入高斯公式牛頓公式與高斯公式是等價的------牛頓公式解：方法1啞鈴左端折射面相當(dāng)于一個凸球面，右端相當(dāng)于一個凹球面，根據(jù)笛卡爾符號法則3.4光連續(xù)在幾個球面界面上的折射虛物的概念

3.4.1、共軸光具組多個球面的光軸都在同一直線上的系統(tǒng)。共軸目的：可以最大限度地利用近軸光線的能量，減少像差。3.4.2、逐個球面成像法P1

P1P2P3P4要注意各次的物距像距等有不同的起算頂點

O1、O2、O3、…。3.4.3虛物的概念：會聚的入射單心光束的頂點（P）注意：①

②③滿足符號法則與物象公式

虛物：會聚的入射光束的頂點→不在物空間的物為“虛物”在像空間實物：發(fā)散的入射光束的頂點在物空間實像：會聚的出射光束的頂點在像空間虛像：發(fā)散的出射光束的頂點→不在像空間的像為“虛像”在物空間3.5薄透鏡主軸、主平面、孔徑、透鏡的厚度：厚度d與曲率半徑r相比3.5.1、近軸條件下薄透鏡的成像公式光程

當(dāng)A點在透鏡上移動時，只有h是變量，

由費馬原理，并考慮到在近軸條件下，l≈-s,l≈s

(略去h2項)化簡得

——薄透鏡的物像公式--=-￠+221112rnnrnnsnsn也可用逐次成像法推導(dǎo)薄透鏡成像公式那么：

——薄透鏡的高斯公式討論：1）光焦度：F=F1+F22）焦點和焦距：3）光心：當(dāng)n1=n2時，通過光心O的光線不改變方向，所有的軸上距離從O量起

4）實像和虛像：

(1)光線自左向右進(jìn)行，Sˊ>0：實像；Sˊ<0：虛像；

(2)光線自右向左進(jìn)行，Sˊ<0：實像；Sˊ>0：虛像；實像在像空間，虛像在物空間O1OO25）會聚透鏡和發(fā)散透鏡透鏡的會聚和發(fā)散性質(zhì),與透鏡的形狀及兩側(cè)的介質(zhì)有關(guān)；

n/<n

n/>n

n/<n

n/>n

6)當(dāng)薄透鏡放在空氣中時，焦距公式：高斯公式：

7)牛頓公式：例題3.5.2、橫向放大率（垂軸放大率）

n1=n2n1與n2任意討論：（1）

>0，像正立；<0，像倒立。（2）>1，像放大;<1，像縮小;=1，等大。（3），也適應(yīng)于單球面成像。（4）近軸物和近軸光線。y-y/OFF/3.5.3、薄透鏡的作圖求像法1.特殊光線作圖法：軸外物點利用兩個焦點和光心，三者取其二。2.任意光線作圖法：物點在軸上或軸外不遠(yuǎn)處近軸條件下，利用兩個焦平面和副軸。焦點的性質(zhì)：一束平行于光軸的光線入射，經(jīng)透鏡折射后，必會聚于像方焦點；一束通過物方焦點的光束，經(jīng)透鏡折射后，必平行于光軸出射。焦平面的性質(zhì)：一束平行光入射透鏡，必會聚于像方焦平面上一點；經(jīng)過物方焦平面上一點的入射光束，經(jīng)透鏡折射后，必為平行光。注意光心的存在特殊光線作圖法物方焦平面：通過物方焦點F與主軸垂直的平面；像方焦平面：通過像方焦點F‘與主軸垂直的平面。副軸：

P

或

P‘

與光心O

的連線。⑴利用物方焦平面與副軸作圖法（凸透鏡）①從

P點作沿主軸的入射線，折射后方向不變；②從P

點作任一光線

PA，與透鏡交于A點，與物方焦平面交于B點；③作輔助線（副軸）BO，過A作與BO平行的折射光線與沿著主軸的折射線交于點P‘

，則P‘

就是物點P

的像點。⑵利用像方焦平面與副軸作圖法（凸透鏡）①從P點作沿主軸的入射線，折射后方向不變；②從P點作任一光線PA

，與透鏡交于A點；過透鏡中心O作平行于PA的副軸OB’與像方焦平面交于B'點；③連接A、B‘

兩點，它的延長線與沿著主軸的光線交于點P’

，則P’就是所求像點。⑶利用像方焦平面與副軸作圖法（凹透鏡）①PA為從物點P發(fā)出的任一光線,與透鏡交于A點；②過透鏡中心O作平行于PA的副軸

OB‘，與像方焦平面交于B'點；③連接A、B‘

兩點，線段AB‘的延長線就是折射光線,它與沿主軸的光線交于點

P'，則P‘就是所求像點。注意：（1）近軸物、近軸光線；（2）光線的變向點在界面上；（3）光線必須用帶箭頭的實直線表示，其延長線用不帶箭頭的虛直線表示；（4）所有輔助線（如副光軸，焦平面等）都用虛線表示；（5）圖中的基點采用規(guī)定的字母表示，如C（曲率中心），O（頂點），F(xiàn)（物方焦點），F(xiàn)‘（像方焦點）等。討論：⑴推廣：軸外不遠(yuǎn)處——近軸⑵條件：近軸光線下，且透鏡兩邊介質(zhì)的折射率相同。⑶意義：同一物點的任意兩條特殊光線通過透鏡折射后的交點便是對應(yīng)的像點。注意：無光心問題，同樣利用焦點及焦平面的性質(zhì)作圖；單球面折射與反射同樣方法作圖。透鏡組的作圖成像法3.6近軸物點近軸光線成像的條件目前僅研究了光線從單獨一點發(fā)出而被球面反射或折射后所產(chǎn)生的像點，而且是近軸光線條件下的成像問題。問題1

由于物體總是存在一定形狀和大小，不在主軸上的任意一個發(fā)光點所發(fā)出的光束，經(jīng)球面反射或折射后是否仍能保持光束的單心性？問題2

應(yīng)在怎樣的條件下才能保持光束的單心性，并成像于單獨的一點？條件：從物點所發(fā)出的所有光線到達(dá)象點時的光程都應(yīng)該相等----物像的等光程性—費馬原理的推論。3.6.1、近軸物在近軸光線條件下球面反射的成像公式光程Q與A離主光軸很近(1)近軸物體:PQAhy-y’-X(2)近軸光線:如右圖：PQAhy-y’-X很小，略去不記，光線近軸：，入射點很低，A靠近光軸。物空間孔徑角u很小。

光線與光軸的夾角小于50時，有sinu≈tanu

≈u

光學(xué)系統(tǒng)滿足這樣條件的區(qū)域，軸上發(fā)出的同心光束，經(jīng)系統(tǒng)變換后，仍為同心光束，即點物可成點像．近軸條件限制了光線與光軸的夾角．利用二項式定理將上式展開略去高次項：

要保持光程恒定，則變量h的系數(shù)必為零。與軸上物點球面反射成象公式相同.表明垂軸物生成垂軸象，但必須在近軸條件下.121

通過推導(dǎo)可以知道，要使不在主軸上的一個發(fā)光點Q能夠理想成像于單獨一個像點Q，必須同時滿足兩個限制條件：（1）光線必須是近軸的。即光線在球面上的反射點或折射點到主軸的距離遠(yuǎn)小于球面的曲率半徑r﹙h?r﹚

。（2）物點必須是近軸的。即物點離主軸的距離y必須比它離球面的頂點的距離s小得多﹙y?s﹚

。3.6.2、近軸物在近軸光線條件下球面折射的物像公式同球面反射類似，可得光程為同球面反射類似，可得球面折射物象公式3.6.3亥姆霍茲-拉格朗日定理1、近軸光線——仰角或俯視角較小2、近軸物——入射角和反射角較小3、亥姆霍茲——拉格朗日定理127

由上式可以看出，y和y

受到近軸物點的限制，u和u

受到近軸光線的限制。上式正好把軸外物點理想成像的兩個限制條件聯(lián)系起來了?！Q為亥姆霍茲—拉格朗日定理（恒等式）凡物點不在主軸上而能理想成像，即能夠保持光束單心性的，都必須滿足稱為亥姆霍茲—拉格朗日定理（恒等式）。若要使共軸的兩個或兩個以上球面折射時，能產(chǎn)生理想的像，每一次折射都必須遵從稱為亥姆霍茲—拉格朗日定理（恒等式）。即128

即－3.7理想光具組的基點和基面逐個球面成像法面臨的困難:理論上可以解決任意多個球面的成像問題，但運算繁瑣，而且實際的光學(xué)系統(tǒng)中各球面間的相對位置往往并不完全知道。解決問題的簡化方法：以一個等效的光具組代替整個共軸的光學(xué)系統(tǒng)，并設(shè)法找出這個光具組的焦點在內(nèi)的基點，那么就可以不考慮光在該系統(tǒng)中的實際路徑而確定像的大小和位置。理想光具組：①可以保持光束單心性②像和物在幾何上相似。

高斯理論成立的條件：1、光線仍舊限于近軸；2、不要求光具組是“薄”的；3、須建立一系列基點和基面(請猜猜?)

用這些基點和基面就可以描述光具組的基本光學(xué)特性，而不用去研究光具組中實際的光線，從而把問題大大簡化。這些基點和基面是：焦點、主點、節(jié)點；焦平面和主平面，節(jié)平面?；c和基面的定義三對基點和基面：焦點和焦平面、主點和主平面、節(jié)點和節(jié)平面物方主點H：確定物方各量的基準(zhǔn)點（-s,

-f等）；物方主平面：通過H點垂直于主軸的平面；像方主點H'：確定像方各量的基準(zhǔn)點（s'，f'

等）；像方主平面：通過H'點垂直于主軸的平面；

物方焦點F，物方焦平面：通過F點垂直于主軸的平面，物方焦距-f；像方焦點F'

，像方焦平面：通過F'點垂直于主軸的平面，像方焦距f'

。（焦點和焦平面的定義與前面相同）

節(jié)點和節(jié)平面特征：通過物方節(jié)點K和像方節(jié)點K′的任意共軛光線方向不變，即：物方節(jié)點K，物方節(jié)平面：通過K點垂直于主軸的平面；像方節(jié)點K'，像方節(jié)平面：通過K'點垂直于主軸的平面。

薄透鏡的光心既是主點，又是節(jié)點。

厚透鏡是由兩個單球面鏡組合而成的，因此厚透鏡實際上是兩個單球面組合的簡單光具組。

對由任意多個共軸光具組復(fù)合而成的情況，可以先把兩個相鄰的單光具組合并為一個光具組，求出其基點；然后逐次和下一個單光具組合并.所以這里只討論把兩個相鄰光具組合并成一個時，如何求出其焦點和主點的位置即可。3.7.1空氣中厚透鏡物像公式和基點、基面上圖表示置于空氣中的軸厚度為的厚透鏡，P和P'分別為物點和像點，F(xiàn)和F'分別為物方焦點和像方焦點。在近軸條件下，厚透鏡的物像關(guān)系可以通過對曲率半徑為r1和r2的兩個折射球面逐次成像求得。設(shè)物點P離球面O1的距離為，像點P'離球面O2的距離為，則對折射球面O1由（3-17）式可得:對折射球面O2，也可得到：式中是第一個折射球面形成的像與頂點O1間距離。若令：其中是第一個折射球面的像方焦距，并令：其中是第二個折射球面的物方焦距，則上述兩個公式可改寫為:消去上述兩式中的，并把測量物距和像距的參考原點從原來的O1和O2處分別移動了距離P和P'后，像距和物距滿足如下關(guān)系：式中是厚透鏡的像方焦距，其值為：（3-42）（3-41）或：再進(jìn)行適當(dāng)代換可解得：物像位置的關(guān)系式（3-41）可以表示成公式（3－42）的較簡單的形式。若令：則在空氣中厚透鏡物像公式的高斯形式即為：厚透鏡的基點和基面上式在形式上與空氣中薄透鏡物像公式的高斯形式完全相同。但是必須注意，上式中的物距s不是從頂點O1量起，而從H點量起，H點與O1點間的距離為p；像距S'也不是從頂點O2量起，而是從H'量起，H'與O2點間的距離為p'。H和H'點分別叫做物方主點和像方主點。在近軸條件下，通過H和H'點垂直于主軸的平面分別叫物方主平面和像方主平面。一束平行于主軸的入射光，通過光具組后所成的像，即為像方焦點F’；從物方焦點F發(fā)出的光，通過光具組后，將成為平行光。在近軸條件下，通過F點和F'點并垂直于主軸的平面分別叫物方焦平面和像方焦平面。主點至焦點的距離即為焦距。

總之，測量s和f時，原點取在物方主點H；測量s'和f'時，原點取在像方主點H'。這樣，厚透鏡的物像公式仍然與前面高斯公式的形式相同。如果物距x和像距x'分別從物方焦點和像方焦點量起，f和f'分別從物方主點和像方主點量起，物和像的位置關(guān)系仍可用牛頓公式表示，即：厚透鏡的兩個主點的位置可由和兩式計算得到。p和p’分別從O1和O2量起，當(dāng)p和p’為正值時，主點H和H’各自位于頂點O1和O2的右方；當(dāng)p和p’為負(fù)值時，主點各自位于頂點O1和O2的左方。例題(習(xí)題11)：有一折射率為1.5、半徑為4cm的玻璃球，物體在距球表面6cm處，求：（1）從物所成的像到球心之間的距離；（2）求像的橫向放大率。解：

（1）利用空氣中厚透鏡物像公式可知：

其中n=1.5,r1=4cm,r2=-4cm，δ=8cm

即主點H1、H2分別位于O1、O2右方和左方4cm處，容易看出，H1、H2重合于球心O。按題意，物離物方主點H的距離為：-（6

+4）cm

于是由：（2）由此可見，得到的是放大的倒立的像。3.7.2復(fù)合光具組的基點,基面和物像公式：(Ⅰ)的像方焦點F1′和（Ⅱ）的物方焦點F2之間的距離－－系統(tǒng)的光學(xué)間隔。之右時，為正；之左時，為負(fù)。

d：（Ⅰ）的像方主點H1′和（Ⅱ）的物方主點H2之間的距離。

H2

在H1'之右時，d為正；H2在H1'之左時，d為負(fù)。圖3-31

為簡明起見，圖中所示的光具組I和Ⅱ的像方焦距都是正的，且Δ和d也是正的。顯然，只要用d來代替厚透鏡中兩個單球面鏡間的距離（厚透鏡的厚度）δ

，并考慮到I和Ⅱ之間的介質(zhì)的折射率n=1，那么對這一復(fù)合光具組來說，其焦距的大小和主點的位置可由（3－43）式、（3—45）式和（3—46）式得到，即：（3-50）（3-51）（3-52）上式中，p從H1量起，p'從H2'量起，而f從H量起，f'

從H'量起，如圖3－31所示。

若考慮到式中d=Δ+f1'-f2，以及在空氣中的f1'=-f1，f2'=-f2，則以上三式還可以寫成如下形式：由（3-50）式變形可得：在空氣中f2=-f2'，故上式可變?yōu)椋喝魞晒饩呓M接觸，則d=0，因而有：光焦度可以證明復(fù)合光具組物像間的關(guān)系也可以用高斯公式和牛頓公式（證明略）F1H1H’1F’1F2F’2H2H’2H’F’d-f’p’也可以這樣確定復(fù)合光具組的焦距公式和主點的位置：如圖：可由圖上的幾何關(guān)系求出像方焦點和主點的位置，利用光路可逆，讓光從右向左傳播，求出物方焦點和主點的位置，

理想光具組的放大率基點和基面的性質(zhì)

1）理想光具組的橫向放大率

n1=n2

n1與n2任意2）理想光具組的角放大率3）基點和基面的性質(zhì)A.主點和主平面的性質(zhì)①位于物方主點H的一個物點必成像于像方主點H′，兩個主點是相互共軛的。

②光具組的兩主平面是共軛平面，面上任一對共軛點到主軸的距離相等?！?/p>

若物點是在物方主平面上，即：則：像點位于像方主平面上，即：

∴入射到物方主平面上某一點M的任意一條光線，將從像方主平面上對應(yīng)點M′（在主軸上面或下面同一高度處）射出光具組。B.節(jié)點和節(jié)平面的性質(zhì)①節(jié)點K和K′處光線的特征是

=+1

∵x是從F量起，x′是從F′量起；∴在f′>0的情況下，K在F的右邊，與F相距f′；而K′在F′的左邊，與F′相距

f。（把K當(dāng)作物、K′當(dāng)作像來量取）

②節(jié)平面上一對共軛直線的橫向放大率：＝+1

——節(jié)（主）平面的特征，

若：n＝n′，有：，而＝+1，∴＝＋1。