第二章一維隨機(jī)變量及其分布

第二章一維隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)2.2一維離散型隨機(jī)變量2.3一維連續(xù)型隨機(jī)變量2.4一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.1隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)2.1.1隨機(jī)變量的概念2.1.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義

稱定義在樣本空間Ω上的實(shí)函數(shù)X=X(ω)，ω∈Ω，是隨機(jī)變量，如對任意實(shí)數(shù)x，集合{ω∣X(ω)≤x}都是一隨機(jī)事件。

注：一般X(ω)簡單記為X，

{ω∣X(ω)≤

x}

記為{X≤

x}

隨機(jī)變量的概念分布函數(shù)

設(shè)X是一個隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)=P{ω∣X(ω)≤

x}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，記作FX(x)或F(x)。X的分布函數(shù)也常簡記為FX(x)=P{X≤x}2.1.2一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)

任一隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，x∈(－∞，＋∞)，具有下列性質(zhì)：(2)若x1<x2，則F(x1)≤F(x2)根據(jù)概率的性質(zhì)，得P{X<x2}≥P{X<x1}

即F(x2)≥F(x1)證明：

若x1<x2，則有(1)0≤F(x)≤1

如某實(shí)函數(shù)具有上述3個性質(zhì)，則它可作為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)(2)0≤F(x)≤1，且(3)右連續(xù)性對任意實(shí)數(shù)x0，有離散型隨機(jī)變量

如隨機(jī)變量的取值只有有限個或可列多個（可數(shù)），則稱它為離散型隨機(jī)變量。2.2一維離散型隨機(jī)變量

設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的全部取值為x1,x2,…xn,…,且P(X=xi)=pi，i=1,2,…則稱上式為X的概率分布律。也可寫作：離散型隨機(jī)變量的分布列稱為ξ的分布列X~或分布律的性質(zhì)

非負(fù)性

規(guī)范性二項概率公式

設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件Ａ出現(xiàn)的概率為p(0<p<1)，則在n重伯努利試驗(yàn)中，事件Ａ出現(xiàn)次數(shù)ξ的分布律為2.2.1二項分布

隨機(jī)變量X所服從的分布稱為二項分布。以X～B(n，p)表示。若X～B(n，p)，則有下式成立：1)2)3)定理1例1

已知發(fā)射一枚地對空導(dǎo)彈可“擊中”來犯敵機(jī)的概率是0.96，問在同樣條件下需發(fā)射多少枚導(dǎo)彈才能保證至少有一枚導(dǎo)彈擊中敵機(jī)的概率大于0.999?解設(shè)需要發(fā)射n枚導(dǎo)彈，則擊中敵機(jī)的導(dǎo)彈數(shù)是隨機(jī)變量X～B（n，0.96） 由題意有P（X≥1）=1-(1-0.96)n>0.999

故n>lg0.001/lg0.04=2.15

取n=3，即需要發(fā)射3枚導(dǎo)彈。

定理2設(shè)X~B(n,p)，令k0=Int[(n+1)p]則k=k0時，b(k;n,p)的值最大。若(n+1)p為整數(shù)，則b(k0;n,p)=b(k0－1;n,p)證明：例魚塘中魚的條數(shù)。先從塘中網(wǎng)起100條魚做上記號后放回塘里，過一段時間（使其均勻）再從中網(wǎng)起80條，發(fā)現(xiàn)其中有記號者為2條，求魚的總數(shù)N。

解

設(shè)有記號的魚的條數(shù)為ξ，則ξ服從二項分布B(80，100/N)。

由定理，撈起的魚最有可能是Int((n+1)p)條， 因此(80+1)×100/N=2

由此解得N=4050（條）

若離散型隨機(jī)變量X的分布律為

其中λ>0是常數(shù)，則稱X服從泊松分布。 記為X～P(λ)

，λ稱為參數(shù)。2.2.2泊松分布

因?yàn)棣?gt;0，故有P(X=k)>0。(k=0,1,2,…)即泊松分布的分布律，具備概率函數(shù)兩性質(zhì)。在任給一段固定的時間間隔內(nèi)，來到公共設(shè)施（公共汽車站、商店、電話交換臺等）要求給予服務(wù)的顧客個數(shù)；炸彈爆炸后落在平面上某區(qū)域的碎彈片個數(shù)；落在顯微鏡片上的某種細(xì)菌個數(shù)在實(shí)際問題中，有很多隨機(jī)變量都近似服從泊松分布。例如:由定理知：泊松分布是二項分布的極限分布

設(shè)隨機(jī)變量Xn服從二項分布B(n,pn)(n=1,2,…)，其中概率pn與ｎ有關(guān)，并且滿足泊松定理證明：

其中ｋ為一個定數(shù)。

對任意固定的非負(fù)整數(shù)ｋ，有

故得

在應(yīng)用中，當(dāng)ｎ很大（n≥10），ｐ很小(≤0.1)，我們有下面的泊松近似公式其中λ=np

例

設(shè)有同類設(shè)備８０臺，各臺工作相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，并且一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理，試求（１）一個人負(fù)責(zé)維修２０臺設(shè)備時，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率；（２）由三個人共同負(fù)責(zé)維修８０臺設(shè)備時，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率。

解：

(1)設(shè)X表示同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)。 在同一時刻至少有２臺設(shè)備發(fā)生故障，便不能及時處理。

若用泊松近似公式(λ=np=20×0.01=0.2)，則有（2）設(shè)Y表示同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，則

Y～B(80,0.01)。 當(dāng)同一時刻至少有４臺設(shè)備發(fā)生故障時，就不能及時維修。 用泊松近似公式(λ=np=80×0.01=0.8)，得

計算結(jié)果表明，由三人共同負(fù)責(zé)維修８０臺，每人平均約維修２７臺，比一個單獨(dú)維修２０臺更好，既節(jié)約了人力又提高了工作效率。2.2.3幾何分布

在“成功”概率是p的貝努利試驗(yàn)中，若以X記首次出現(xiàn)“成功”的試驗(yàn)次數(shù)。則X所服從的分布便是幾何分布。顯然

例6

一個人要開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一把是能開此門的，現(xiàn)隨機(jī)地從中取出一把鑰匙來試開門，在試開時每一把鑰匙均以1/n的概率被取用，問此人直到第S次試開時方才成功的概率是多少？

解A={試開門成功}定義2.3.1

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對一切實(shí)數(shù)ｘ，關(guān)系式都成立，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為X的密度函數(shù)?？梢宰C明，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。2.3一維連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)定理

密度函數(shù)f(x)具有下列性質(zhì)：（1）（2）（3）

證明（１）由定義知f(x)≥0顯然。（２）由分布函數(shù)性質(zhì)知，由廣義積分概念與定義知，常利用這兩個性質(zhì)檢驗(yàn)一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，（３）對任意類型的隨機(jī)變量均成立bxf(x)a2.3.1均勻分布

設(shè)a、b為有限數(shù)，且a<b。如果隨機(jī)變量X分布密度為則稱ξ在[a,b]上服從均勻分布，記作U(a，b)均勻分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：2.3.2指數(shù)分布若隨機(jī)變量X具有分布密度為則稱ξ服從參數(shù)為a的指數(shù)分布，容易求得它的分布函數(shù)為若X~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實(shí)上命題其中μ、σ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ、σ的正態(tài)分布，簡記為X～N(μ,σ2)。2.3.3正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的分布密度固定時，σ的值越小，f(x)的圖形就愈尖、越狹。σ的值越大，f(x)的圖形就愈平、越寬。X的分布函數(shù)為

特別地稱N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度及分布函數(shù)常記為：如X～N(μ,σ2)，有證明：證明：

例2.3.4

設(shè)已知測量誤差X～N（0，102

），現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行100次測量，求誤差絕對值超過19.6的次數(shù)不少于3的概率。解：第一步:以A表示一次測量中“誤差絕對值超過19.6”的事件，則有第二步:以Y表示100次獨(dú)立重復(fù)測量中，事件A發(fā)生的次數(shù)，則η～B（100，0.05），所求概率是

P（Y≥3）=1－P（Y<3）

第三步:由于n=100較大而p=0.05很小，故二項分布可用λ=np=5的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得

例2.3.5

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機(jī)會在0.01以下來設(shè)計的，設(shè)男子身高X服從μ=170cm、σ=6cm的正態(tài)分布，即X～N（170，62

），試確定車門的高度。解：設(shè)車門的高度為hcm，根據(jù)設(shè)計要求應(yīng)有

（補(bǔ)充）例：從南郊某地乘車前往北區(qū)火車站搭火車有兩條路線可走，第一條穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時間（單位分鐘）服從正態(tài)分布N(50,100)，第二條沿環(huán)城公路走，路線較長，但意外堵塞較少，所需時間（單位分鐘）服從正態(tài)分布N(60,16)，（1）如有70分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？（2）如只有65分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？解：

如X是隨機(jī)變量，在y=g(x)連續(xù)、分段連續(xù)或單調(diào)時，則Y=g(X)也是隨機(jī)變量。2.4一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布方法

將與Y有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成X的事件求隨機(jī)因變量Y=g(X)的密度函數(shù)或分布律問題

已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)或分布律？設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為由已知函數(shù)g(x)可求出隨機(jī)變量Y的所有可能取值，則Y的概率分布為離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例2.4.1

設(shè)X的分布律為X－2－1012P0.150.20.20.20.25解P0.150.20.20.20.25X－2－1012410142X-1－5－3－11332123

將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項得P0.150.20.20.20.25X－2－1012410142X-1－5－3－11332123

將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項得0.40.40.2P410

X20.2530.210.20.20.15P－1－3－52X-1P0.150.20.20.20.25X－2－1012410142X-1－5－3－11332123

將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項得0.40.40.2P321︱X︱+1已知X的密度函數(shù)f(x)或分布函數(shù)求Y=g(X)的密度函數(shù)方法：（1）從分布函數(shù)出發(fā)（2）用公式直接求密度函數(shù)

連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2

設(shè)隨機(jī)變量X具有連續(xù)的分布密度fX(x)，試求Y=aX+b（其中a，b是常數(shù)，并且a≠0）的分布密度fY(y)。解：例

設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，求 的分布密度fY(y)。解：例2.4.2

已知

X

~N(0,1),Y=X