第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂判別法

在研究級數(shù)時(shí)，中心問題是判定級數(shù)的斂散性，如果級數(shù)是收斂的，就可以對它進(jìn)行某些運(yùn)算，并設(shè)法求出它的和或和的近似值但是除了少數(shù)幾個(gè)特殊的級數(shù)，在一般情況下，直接考察級數(shù)的部分和是否有極限是很困難的，因而直接由定義來判定級數(shù)的斂散性往往不可行，這就要借助一些間接的方法來判定級數(shù)的斂散性，這些方法稱為審斂法。

對常數(shù)項(xiàng)級數(shù)將分為正項(xiàng)級數(shù)和任意項(xiàng)級數(shù)來討論。一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法1.定義:這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù).這種級數(shù)非常重要，以后我們將會看到許多級數(shù)的斂散性判定問題都可歸結(jié)為正項(xiàng)級數(shù)的收斂性問題2.正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件:部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.定理定理1.正項(xiàng)級數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:

注：正項(xiàng)級數(shù)收斂的本質(zhì)——un0足夠快。3.比較判別法證明即部分和數(shù)列有界不是有界數(shù)列定理證畢.推論:設(shè)對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù),(常數(shù)k>0),且存在解由圖可知重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個(gè)常用的比較級數(shù).若存在對一切解例2所以原級數(shù)收斂.

解例3例4解所以原級數(shù)發(fā)散.所以原級數(shù)收斂.

比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因?yàn)樗枰⒍ɡ硭蟮牟坏仁?，須有參考級?shù)，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用上更為方便的極限形式的比較審斂法注意：4.比較審斂法的極限形式:(1)時(shí),;,;,,;則當(dāng)二級數(shù)有相同的斂散性(3)當(dāng)時(shí)若?￥=1nnv發(fā)散則?￥=1nnu發(fā)散(2)當(dāng)時(shí)，若收斂則收斂設(shè)與都是正項(xiàng)級數(shù)，如果證明由比較判別法,可知兩級數(shù)有相同的斂散性.證明由比較判別法可知,

(注意：反之不對).

由(2)即得結(jié)論.

例5例6例7例8所以原級數(shù)發(fā)散.收斂發(fā)散收斂例9解例10收斂.解例11所以原級數(shù)發(fā)散.例12解故原級數(shù)收斂；故原級數(shù)發(fā)散.證明收斂發(fā)散比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級數(shù).直接從級數(shù)本身的構(gòu)成——即通項(xiàng)來判定其斂散性注意:例13例14收斂.解收斂.解例15解所以用比值法無法判斷.用比較法,