第六章矩陣分析及其應(yīng)用

第六章矩陣分析及其應(yīng)用雖然在微積分開(kāi)端時(shí)期貝克萊將無(wú)窮小稱為“上帝的幽靈”，進(jìn)而導(dǎo)致“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”，直到柯西的“極限論”和戴德金等的“實(shí)數(shù)理論”的出現(xiàn)危機(jī)才算徹底解決。但微積分在近代社會(huì)的巨大作用我們?cè)缫焉钣畜w會(huì)，將微積分中的極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)等分析思想和方法應(yīng)用于矩陣的研究，自然就在情理之中?！?、矩陣序列與矩陣級(jí)數(shù)

微積分的基礎(chǔ)是數(shù)列極限的收斂理論及其衍生出來(lái)的級(jí)數(shù)理論。矩陣可看成一個(gè)“超數(shù)”，因此類比可得矩陣序列與矩陣級(jí)數(shù)，只要找到度量?jī)蓚€(gè)“超數(shù)”距離的適當(dāng)工具。在矩陣?yán)铮@就是范數(shù)。盡管使用給定基下的分量和元素等也可以，但明顯用范數(shù)記號(hào)簡(jiǎn)潔明晰，且有助于證明。一、矩陣序列的收斂性定義1

設(shè)有中的矩陣序列這里。如果，則稱此矩陣序列收斂，其極限為，記為根據(jù)矩陣序列收斂性的定義，可證明下列性質(zhì)。定理2

中的矩陣序列分別收斂于，則定理3

中的矩陣系列分別收斂于，則定理4

中的矩陣序列收斂于，且所有

和都可逆，則注意定理中條件“所有和都可逆”必不可少，例如下面的不可逆，雖然可逆，且注意都是方陣用矩陣的范數(shù)理論來(lái)研究矩陣序列的收斂性是最常用、最簡(jiǎn)潔的方法。特別地，若，則的充要條件是定理5

中的矩陣序列收斂于的充要條件是對(duì)任意一種矩陣范數(shù)，都有證明：所以由范數(shù)的等價(jià)性，對(duì)于上任意一個(gè)范數(shù)，必存在正常數(shù)，使由于向量是特殊的矩陣，因此我們有推論1

中的向量序列收斂于的充要條件是對(duì)任意一種向量范數(shù)，都有聯(lián)想到等比數(shù)列收斂當(dāng)且僅當(dāng)，類似地，我們有最常見(jiàn)的矩陣序列是方陣的冪構(gòu)成的矩陣序列。定理6

中的矩陣是收斂矩陣，即的充要條件是矩陣的譜半徑小于1，即注意是方陣證明：設(shè)矩陣的Jordan分解為則從而由定理3可知，這里規(guī)定時(shí)，由于譜半徑不易計(jì)算，聯(lián)系到譜半徑不超過(guò)任何一種矩陣范數(shù)，實(shí)際常用范數(shù)來(lái)判斷矩陣是否是收斂矩陣。只有很難找到這樣的范數(shù)，才計(jì)算出矩陣的所有特征值，進(jìn)而得到譜半徑。定理7

中的矩陣是收斂矩陣的充分條件是存在一種矩陣范數(shù)，使得二、矩陣級(jí)數(shù)定義8

設(shè)有中的矩陣序列，矩陣級(jí)數(shù)指的是無(wú)窮和稱矩陣級(jí)數(shù)收斂，且其和為，如果其部分和序列收斂于，即這是因?yàn)轱@然，矩陣級(jí)數(shù)收斂時(shí)其通項(xiàng)收斂于，即這個(gè)結(jié)果與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致。定義9

中的矩陣級(jí)數(shù)稱為絕對(duì)收斂的，如果數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂。這里定理10

中的矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的充要條件是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，這里的矩陣范數(shù)是任意的。同數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相吻合的是，判定矩陣級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂可借助范數(shù)理論轉(zhuǎn)化為判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。證明：必要性。從而若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則都收斂，故所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。根據(jù)范數(shù)的等價(jià)性，對(duì)任意矩陣范數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。證明：充分性。若級(jí)數(shù)收斂，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)

也收斂，故所以都收斂，即絕對(duì)收斂，因此矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。定義11

中的矩陣級(jí)數(shù)稱為矩陣的冪級(jí)數(shù)。這里.

由前可知矩陣的冪級(jí)數(shù)是實(shí)變量的冪級(jí)數(shù)以及復(fù)變量的冪級(jí)數(shù)的推廣，因此討論矩陣冪級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題自然就與復(fù)變量的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑聯(lián)系起來(lái)。注意是方陣定理12

設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：設(shè)矩陣的Jordan分解為則從而其中這里規(guī)定時(shí)，絕對(duì)收斂，故矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。則當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)矩陣必有某個(gè)特征值，從而冪級(jí)數(shù)發(fā)散，因此矩陣冪級(jí)數(shù)發(fā)散。絕對(duì)收斂，故矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。最后討論最特殊的諾伊曼(Neumann)級(jí)數(shù),即冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是，并且收斂于所以我們通過(guò)類比可以得到定理13

上的諾伊曼(Neumann)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是。并且諾伊曼(Neumann)級(jí)數(shù)收斂于定理14

對(duì)上滿足的相容矩陣范數(shù)，如果，則有誤差估計(jì)式定理14的證明需要用到上一節(jié)的定理34，即：定理34

對(duì)，若，則矩陣非奇異，且證明：所以Neumann級(jí)數(shù)收斂。則由于，由題知兩邊取范數(shù)，并利用引理6，得例15判斷方陣冪級(jí)數(shù)收斂，并求其和。解：方陣

的譜半徑滿足所以方陣冪級(jí)數(shù)收斂，并且§4、函數(shù)矩陣及矩陣從函數(shù)的眼光看，特征多項(xiàng)式和矩陣序列涉及的都是特殊的函數(shù)矩陣，即元素是函數(shù)的矩陣，這就自然引出對(duì)矩陣的研究，并進(jìn)而發(fā)現(xiàn)它能夠簡(jiǎn)化Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的繁雜計(jì)算。一、函數(shù)矩陣定義1稱矩陣為函數(shù)矩陣，也稱為矩陣值函數(shù)，其中元素

為數(shù)域上關(guān)于實(shí)數(shù)的函數(shù)。特別地，當(dāng)時(shí)是一個(gè)函數(shù)行向量；當(dāng)時(shí)是一個(gè)函數(shù)列向量。兩者統(tǒng)稱向量值函數(shù)。

（3）矩陣值函數(shù)：初等變換，相似變換，矩陣多項(xiàng)式，矩陣指數(shù)函數(shù)，求特征值，求主元列，等定義域是矩陣或向量，值域也是矩陣或向量函數(shù)與矩陣

（2）標(biāo)量函數(shù)：行列式，秩，二次型，跡，范數(shù)等定義域是矩陣或向量，值域是數(shù)集；

（1）函數(shù)矩陣：梯度，矩陣等定義域是數(shù)集，值域是矩陣或向量：定義2稱階函數(shù)矩陣是可逆的，如果有并稱為的逆矩陣。反之亦然。

視函數(shù)為“數(shù)”，則函數(shù)矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置與常數(shù)矩陣的相應(yīng)運(yùn)算相同；方函數(shù)矩陣的行列式計(jì)算與常數(shù)矩陣也相同。定義3稱階函數(shù)矩陣在上是可逆的，當(dāng)且僅當(dāng)在上處處不為零，且這里為的伴隨矩陣。在上是可逆的，但在上卻不是可逆的。定義4

設(shè)有函數(shù)矩陣。如果函數(shù)在都有極限，則稱函數(shù)矩陣在有極限，記為如果，則稱函數(shù)矩陣在連續(xù)。

顯然函數(shù)矩陣求極限的加減法、數(shù)乘、乘法等運(yùn)算法則與函數(shù)極限的相應(yīng)運(yùn)算法則相同。定義5

設(shè)有函數(shù)矩陣。稱矩陣

可導(dǎo)，如果其每個(gè)元素都是可微函數(shù)，且導(dǎo)數(shù)為定義6

設(shè)有函數(shù)矩陣。稱矩陣的導(dǎo)數(shù)為滿足下式的矩陣：聯(lián)想到普通函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也滿足下式：定理7

設(shè)和都是可微矩陣，則這里為可微矩陣。遺憾的是，鏈?zhǔn)戏▌t對(duì)矩陣值函數(shù)并不成立。例如對(duì)矩陣多項(xiàng)式函數(shù)顯然上式中，要使法則成立，顯然需要補(bǔ)充條件如此，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)，才能成立鏈?zhǔn)椒▌t定義8

設(shè)有函數(shù)矩陣。稱矩陣二階可微，如果其每個(gè)元素都是二階可微函數(shù)，且二階導(dǎo)數(shù)為一般地，不難給出函數(shù)矩陣的高階導(dǎo)數(shù)。例9

設(shè)矩陣，證明因?yàn)榫仃嚨嫩E是線性函數(shù)，即例13說(shuō)明對(duì)函數(shù)矩陣A(t)而言，求導(dǎo)和A(t)的線性函數(shù)l(A(t))可以交換運(yùn)算次序，即定義10

設(shè)有函數(shù)矩陣。稱在上可積，如果其每個(gè)元素都在上可積，且積分為容易驗(yàn)證函數(shù)矩陣的積分具有下列性質(zhì)：這里為常量矩陣。定理11

設(shè)和都在上可積，則定理12

設(shè)在上連續(xù)，則成立微積分基本定理：定理13

設(shè)在上連續(xù)，則成立牛頓-萊布尼茲公式：二、矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)型定義14稱函數(shù)矩陣為矩陣，如果元素為數(shù)域上關(guān)于的多項(xiàng)式函數(shù)。定理15矩陣可逆的充要條件是其行列式為非零的常數(shù)，即定義16如果矩陣經(jīng)過(guò)有限次的初等變換化成矩陣，則稱矩陣與等價(jià)，記為定理17矩陣與等價(jià)的充要條件是存在可逆矩陣，使得定理18任意階的矩陣都必定有一個(gè)與之等價(jià)的Smith標(biāo)準(zhǔn)型這里數(shù)稱為的秩，記為，非零對(duì)角元是首一（首項(xiàng)系數(shù)為1）多項(xiàng)式，并且定義19矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型中的非零對(duì)角元

稱為的不變因子。例20

求矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型，其中解：對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，可得不滿足整除條件！即為所求的Smith標(biāo)準(zhǔn)型。定義21矩陣的所有非零階子式的首一（最高次項(xiàng)系數(shù)為1）最大公因式

稱為的階行列式因子。定理22等價(jià)矩陣具有相同的秩和相同的各級(jí)行列式因子。定理23

矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的，并且定理23說(shuō)明我們可以用行列式因子來(lái)確定不變因子，從而得到唯一的Smith標(biāo)準(zhǔn)型。但行列式因子的計(jì)算復(fù)雜，所以通過(guò)初等變換求Smith標(biāo)準(zhǔn)型顯然“勝出”。在線性代數(shù)中處理數(shù)字矩陣時(shí)也是如此。定理24矩陣與等價(jià)的充要條件是它們有相同的行列式因子（或相同的不變因子）。定義25

將矩陣的所有非常數(shù)不變因子分解為互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）稱為的初等因子。例如例20中的不變因子為因此的初等因子為例26

矩陣的不變因子為則矩陣的所有初等因子為如果知道矩陣的所有初等因子，能否確定相應(yīng)的不變因子呢？等價(jià)矩陣的初等因子是否相同呢？下面的兩個(gè)矩陣的初等因子相同，但不變因子不相同，也不是等價(jià)矩陣，因?yàn)樗鼈兊闹炔幌嗟龋憾ɡ?7矩陣與等價(jià)的充要條件是它們有相同的初等因子，并且秩相等。例28

求矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型，其中解：對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，可得即為所求的Smith標(biāo)準(zhǔn)型。例28中的不變因子為因此的初等因子為反之，如果還知道的秩為3，則可知的三個(gè)不變因子，進(jìn)而可確定的Smith標(biāo)準(zhǔn)型，因此也可唯一確定相應(yīng)的Jordan塊，即：總結(jié)等價(jià)不變因子或行列式因子相同初等因子相同秩相同三、Smith標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用定理29兩個(gè)數(shù)字方陣相似的充要條件是它們的特征矩陣等價(jià)。定義30稱階數(shù)字矩陣的特征矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子為矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子。定理31兩個(gè)數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子）。不變因子或行列式因子相同初等因子相同

與等價(jià)

與相似

與的秩都為定理32復(fù)數(shù)域上兩個(gè)數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的初等因子。由定理32和例28可知，初等因子與階Jordan塊存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此可利用特征矩陣的初等因子求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。例33

求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，其中解：對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，可得因此的初等因子為從而所求Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為初等因子法的優(yōu)缺點(diǎn)都是不能求出Jordan變換矩陣。

那么的最小多項(xiàng)式為定理34矩陣的最小多項(xiàng)式是矩陣的第個(gè)不變因子，也就是說(shuō)，如果有

這里為的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型中包含的最大Jordan塊的階數(shù)，即的指標(biāo)。例35

求矩陣的最小多項(xiàng)式，其中并求矩陣的矩陣多項(xiàng)式解：對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，可得因此的最小多項(xiàng)式為由于因此定理36矩陣可對(duì)角化的充要條件是的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根。例37

證明冪等矩陣一定相似于對(duì)角矩陣。證明：由于，因此是的零化多項(xiàng)式。由于沒(méi)有重根，因此也沒(méi)有重根。根據(jù)定理36，結(jié)論成立?！?、矩陣函數(shù)及其計(jì)算矩陣函數(shù)在力學(xué)、控制理論及信號(hào)處理等學(xué)科中具有重要應(yīng)用。類比普通函數(shù)，矩陣函數(shù)的特殊之處在于其自變量與因變量都是方陣。對(duì)應(yīng)于矩陣函數(shù)的多種表示方式(冪級(jí)數(shù)、Jordan表示、多項(xiàng)式表示、積分表示等)，定義矩陣函數(shù)的方式也很多。一、矩陣函數(shù)的定義及性質(zhì)定義1

設(shè)一元函數(shù)可展開(kāi)為收斂半徑為的冪級(jí)數(shù)，即而矩陣的譜半徑，則矩陣函數(shù)

即為相應(yīng)的矩陣冪級(jí)數(shù)(收斂時(shí))的和，即在高等數(shù)學(xué)和復(fù)變函數(shù)中，有冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式：相應(yīng)地，我們有矩陣函數(shù)：以及含參矩陣函數(shù)：根據(jù)歐拉公式，可以推出：遺憾的是，指數(shù)運(yùn)算規(guī)則一般不成立：例如，令有則可以驗(yàn)證確實(shí)兩兩不等。那么什么條件下指數(shù)運(yùn)算規(guī)則成立呢？定理2

如果，那么證明：而推論

設(shè)，則二、矩陣函數(shù)的計(jì)算由矩陣函數(shù)的定義，矩陣函數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為矩陣冪級(jí)數(shù)和的計(jì)算，主要就是矩陣冪的計(jì)算。首先聯(lián)想到矩陣的對(duì)角化問(wèn)題，即希望利用特征值分解來(lái)計(jì)算矩陣函數(shù)。由于對(duì)角矩陣的對(duì)角元就是矩陣的特征值，而相似矩陣就是相應(yīng)的特征向量構(gòu)成的矩陣。這樣對(duì)任意矩陣，則可以使用Jordan分解。這兩種方法的計(jì)算都比較復(fù)雜，因此最后我們給出待定系數(shù)法。Jordan分解法計(jì)算原理

設(shè)任意矩陣的Jordan分解為則對(duì)于任意復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，有其中特別地，當(dāng)矩陣

可對(duì)角化時(shí)，我們有下面的特征值分解法。特征值分解法計(jì)算原理

設(shè)可對(duì)角化矩陣的特征值分解為則有例3

求矩陣函數(shù)、和，其中解：求得的Jordan分解為其中當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)%exm612.mA=[-110;-430;102];

expm(A)%調(diào)用expm函數(shù)

%expmusesthePadéapproximationwithscaling

%andsquaring.ans=-2.71832.71830-10.87318.154800.76581.95257.3891%exm612.m（續(xù)）A=[-110;-430;102];

symst%聲明符號(hào)變量t

eAt=expm(A*t)；

eAt=simple(eAt)%簡(jiǎn)化矩陣函數(shù)的結(jié)果eAt=

[-exp(t)*(2*t-1),t*exp(t),0][-4*t*exp(t),exp(t)*(2*t+1),0][exp(t)*(2*t-exp(t)+1),-exp(t)*(t-exp(t)+1),exp(2*t)]當(dāng)時(shí)%exm612.m（續(xù)）A=[-110;-430;102];

symst%聲明符號(hào)變量t

sinAt=sin(A*t)%內(nèi)置函數(shù)sin(A)給出錯(cuò)誤結(jié)果sinAt=

[-sin(t),sin(t),0][-sin(4*t),sin(3*t),0][sin(t),0,sin(2*t)]%exm612.m（續(xù)）A=[-110;-430;102];sinAt=(expm(j*A*t)-expm((-1)*j*A*t))/(2*j)

%利用Euler公式，調(diào)用函數(shù)expmsinAt=simple(sinAt)%簡(jiǎn)化矩陣函數(shù)的結(jié)果sinAt=

[sin(t)-2*t*cos(t),t*cos(t),0][-4*t*cos(t),sin(t)+2*t*cos(t),0][sin(t)-2*cos(t)*sin(t)+2*t*cos(t),2*cos(t)*sin(t)-sin(t)-t*cos(t),sin(2*t)]例4

求矩陣函數(shù)和，其中解：

矩陣的特征值為

對(duì)應(yīng)的特征向量為

對(duì)應(yīng)的特征向量為

因此相似矩陣為

從而%exm613.mA=[460;-3-50;-3-61];

symst%聲明符號(hào)變量t

eAt=expm(A*t)；

eAt=simple(eAt)%簡(jiǎn)化矩陣函數(shù)的結(jié)果eAt=

[2*exp(t)-1/exp(2*t),2*exp(t)-2/exp(2*t),0][1/exp(2*t)-exp(t),2/exp(2*t)-exp(t),0][1/exp(2*t)-exp(t),2/exp(2*t)-2*exp(t),exp(t)]%exm613.m（續(xù)）A=[460;-3-50;-3-61];cosA=(expm(j*A)+expm((-1)*j*A))/2

%利用Euler公式，調(diào)用函數(shù)expmcosA=1.49681.91290-0.9564-1.37260-0.9564-1.91290.5403%ex613.m（續(xù)）

A=[460;-3-50;-3-61];

[P,D]=eig(A);cosA=P*((expm1(j*D)+expm1((-1)*j*D))/2)*inv(P)+eye(size(A))%函數(shù)expm1返回e(x)^-1cosA=1.49681.91290-0.9564-1.37260-0.9564-1.91290.5403利用冪級(jí)數(shù)求矩陣函數(shù)，要求相應(yīng)的函數(shù)必須能夠展開(kāi)成收斂的冪級(jí)數(shù)，這個(gè)條件一般不容易滿足。而根據(jù)特征值分解法，我們可以根據(jù)矩陣的譜即矩陣的特征值的集合來(lái)定義矩陣函數(shù)，這樣就拓寬了矩陣函數(shù)的定義范圍，尤其是對(duì)那些不能展開(kāi)成收斂的冪級(jí)數(shù)的函數(shù)也可以定義出相應(yīng)的矩陣函數(shù)。

一般地，如果矩陣的最小多項(xiàng)式為則對(duì)于任意復(fù)值函數(shù)，只要有意義，我們就說(shuō)函數(shù)在矩陣的譜上有定義。則定義任意復(fù)值函數(shù)的矩陣函數(shù)為定義5

設(shè)復(fù)值函數(shù)在矩陣的譜上有定義，矩陣有Jordan分解其中例6

求矩陣函數(shù)和，其中解：求得的Jordan分解為其中顯然和在都有意義，因此和都有意義。%exm613.m（續(xù)）A=[-110;-430;102];lnA=logm(A)

%函數(shù)logm(A)返回lnAlnA=-2.00001.0000-0.0000-4.00002.000001.3069-0.30690.6931%exm613.m（續(xù)）A=[-110;-430;102];sqrtA=sqrtm(A）sqrtA=-0.00000.5000-0.0000-2.00002.00000.00000.5858-0.08581.4142需要指出的是，計(jì)算相應(yīng)的矩陣函數(shù)時(shí)，涉及到的算法主要分為特征值方法（特征值分解、Jordan分解、Schur分解等）和逼近方法（泰勒逼近、pade逼近等）。考慮到計(jì)算復(fù)雜性及穩(wěn)定性，具體實(shí)現(xiàn)時(shí)前一類方法實(shí)際采用的是Schur分解法（例如matlab中的logm函數(shù)），后一類方法實(shí)際則采是Pade逼近法（例如matlab中的expm函數(shù)）。詳見(jiàn)Golub&VanLoan《矩陣計(jì)算》、Matlab幫助文檔和徐樹(shù)方《控制論中的矩陣計(jì)算》。在定義5中，矩陣函數(shù)只與函數(shù)在上的值有關(guān)，這啟發(fā)我們，如果能夠求出一個(gè)盡可能簡(jiǎn)單的函數(shù)（比如復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式），使得兩者在上等值，那么便有。這就是著名的Hermite多項(xiàng)式插值問(wèn)題。則存在唯一的復(fù)值多項(xiàng)式函數(shù)，使得定理7

設(shè)復(fù)值函數(shù)在矩陣的譜上有定義，矩陣有最小多項(xiàng)式以及待定系數(shù)法計(jì)算原理

設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式為由帶余除法，設(shè)有確定出余式再根據(jù)Cayley-Hamilton定理，有從而則可由例8

求矩陣函數(shù)，其中

矩陣的特征多項(xiàng)式為

因此設(shè)則

解得因此

注意到此例中因此

即矩陣的高次冪都可以轉(zhuǎn)化為低次冪，因此

從而矩陣冪級(jí)數(shù)求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和。遞推公式法計(jì)算原理

由矩陣的特征多項(xiàng)式或最小多項(xiàng)式得到矩陣的遞推關(guān)系式，代入矩陣函數(shù)的矩陣冪級(jí)數(shù)定義形式中，從而將矩陣函數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題。顯然這種方法適用于遞推關(guān)系式不太復(fù)雜的情形。例9

設(shè)4階矩陣的特征值為，

求解：由題的特征多項(xiàng)式為因此從而從而§4、矩陣的微分與積分實(shí)際使用時(shí)，矩陣函數(shù)與函數(shù)矩陣的微分、積分常常同時(shí)出現(xiàn)。研究矩陣函數(shù)和函數(shù)矩陣的微分、積分，這對(duì)研究微分方程組以及優(yōu)化問(wèn)題等都非常重要。其中尤為重要的是梯度分析的方法，張賢達(dá)在《矩陣分析及應(yīng)用》中將之列為矩陣分析的五大分析方法之首，并有詳細(xì)介紹。定義1

設(shè)有矩陣函數(shù)，其中為常數(shù)矩陣。則是關(guān)于參數(shù)的函數(shù)矩陣，其導(dǎo)數(shù)（如果存在的話）為其積分可參照函數(shù)矩陣的積分。一、含參矩陣函數(shù)的微分和積分例1矩陣為任意常量方陣，則例2

已知

(1)求矩陣;(2)求。注意到時(shí)，，因此解：（1）兩邊對(duì)求導(dǎo)，得解：（2）各元素分別對(duì)求定積分，得%exm614.m

symst%函數(shù)矩陣SS=[sin(2*t)+3*sin(t)5*sin(2*t)-sin(t);3*sin(2*t)-sin(t)5*sin(2*t)+sin(t)];DS=diff(S,‘t‘)%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)diff求S對(duì)t的導(dǎo)數(shù)DS=

[2*cos(2*t)+3*cos(t),10*cos(2*t)-cos(t)][6*cos(2*t)-cos(t),10*cos(2*t)+cos(t)]%exm614.m（續(xù)）

symst%函數(shù)矩陣SS=[sin(2*t)+3*sin(t)5*sin(2*t)-sin(t);3*sin(2*t)-sin(t)5*sin(2*t)+sin(t)];symsab%聲明符號(hào)變量a，bIS=int(S，‘t’，a,b)%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)int對(duì)S從a到b求定積分IS=

[(cos(a)-cos(b))*(cos(a)+cos(b)+3),(cos(a)-cos(b))*(5*cos(a)+5*cos(b)-1)][(cos(a)-cos(b))*(3*cos(a)+3*cos(b)-1),(cos(a)-cos(b))*(5*cos(a)+5*cos(b)+1)]二、函數(shù)對(duì)向量的微分定義3

設(shè)有多元函數(shù)。定義函數(shù)對(duì)的微分(即梯度)為向量顯然，梯度的各分量給出了標(biāo)量函數(shù)在該分量上的變化率，從而指出了此函數(shù)的最大增長(zhǎng)率。例4

對(duì)雙線性型有特別地，有

對(duì)二次型，有特別地，當(dāng)對(duì)稱時(shí)，有有例5當(dāng)對(duì)稱時(shí)，對(duì)二次泛函因此求二次泛函的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程組的解，即二次泛函的穩(wěn)定(Stationary)點(diǎn)是可能的極值點(diǎn)。%exm615.msymsx1x2abcdx=[x1;x2],y=[y1;y2]z=[y1y2];%引入z的目的是簡(jiǎn)化結(jié)果，同理引入ATA=[ab;cd];AT=[ac;bd];f=z*A*x;

%線性型fR1=jacobian(f,x)%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求f對(duì)x的導(dǎo)數(shù)AT*yR1=[a*y1+c*y2,b*y1+d*y2]

ans=a*y1+c*y2b*y1+d*y2理論結(jié)果是列向量，但顯示為行向量%exm615.m（續(xù)）symsx1x2abcdx=[x1;x2],y=[y1;y2]z=[y1y2];%引入z的目的是簡(jiǎn)化結(jié)果，同理引入ATA=[ab;cd];AT=[ac;bd]f=z*A*x;

%線性型fR2=jacobian(f,y)%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求f對(duì)y’的導(dǎo)數(shù)A*xR2=[a*x1+b*x2,c*x1+d*x2]

ans=a*x1+b*x2c*x1+d*x2理論結(jié)果是列向量，但顯示為行向量%exm615.m（續(xù)）symsx1x2abcdx=[x1;x2]；z=[x1x2];%引入z的目的是簡(jiǎn)化結(jié)果，同理引入ATA=[ab;cd];AT=[ac;bd]f=z*A*x;%二次型fR3=jacobian(f,x)%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求f對(duì)x的導(dǎo)數(shù)(A+AT)*xR3=[2*a*x1+b*x2+c*x2,b*x1+c*x1+2*d*x2]

ans=2*a*x1+x2*(b+c)2*d*x2+x1*(b+c)理論結(jié)果是列向量，但顯示為行向量定義6

設(shè)有多元函數(shù)。定義函數(shù)對(duì)的微分(即行梯度)為行向量定義7行向量值函數(shù)

對(duì)列向量的微分為Jacobi矩陣（行對(duì)列）將梯度推廣到向量值函數(shù)，我們有定義8列向量值函數(shù)

對(duì)行向量的微分為Jacobi矩陣（列對(duì)行）特別地，當(dāng)時(shí)，有Jacobi行列式例9

對(duì)，有例10

對(duì)，有都是行對(duì)列例11

推廣例4的結(jié)論。對(duì)有例12

鏈?zhǔn)椒▌t例13

（二重積分的坐標(biāo)變換）直角坐標(biāo)系下的二重積分變成了相應(yīng)的極坐標(biāo)下的二重積分經(jīng)過(guò)變換定義14

多元函數(shù)對(duì)列向量的二階微分為Hessian矩陣其Hessian矩陣為例15當(dāng)對(duì)稱時(shí)，對(duì)二次泛函如果矩陣還是正定的，并且存在，使得，則由可知是二次泛函的局部極小點(diǎn)。%exm616.msymsx1x2abcdx=[x1;x2],z=[x1x2];%引入z的目的是簡(jiǎn)化結(jié)果R1=jacobian(z,x)%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求x’對(duì)x的導(dǎo)數(shù)A=[ab;cd];R2=jacobian(z*A,x)%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求x’A對(duì)x的導(dǎo)數(shù)R1=[1,0][0,1]R2=[a,c][b,d]都是行向量對(duì)列向量，返回的是Jacobi矩陣%exm616.m（續(xù)）symsx1x2abcdb1b2x=[x1;x2];z=[x1x2];

A=[ab;bd];%A是對(duì)稱矩陣B=[b1;b2],BT=[b1b2];f=(1/2)*z*A*x-BT*x+c%二次泛函fR3=jacobian(f,x)%R3是列向量%列向量對(duì)行向量，這里返回的Jacobi矩陣是二次泛%函的Hessian矩陣，即對(duì)稱矩陣AH=jacobian(R3,z)R3=[a*x1-b1+b*x2,b*x1-b2+d*x2]H=[a,b][b,d]實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常要考慮諸如矩陣的跡、矩陣的行列式等矩陣標(biāo)量函數(shù)與矩陣元素值變化之間的關(guān)系，比如擾動(dòng)分析中某個(gè)矩陣元素值的變化對(duì)矩陣的跡的影響等。矩陣標(biāo)量函數(shù)顯然可理解為元的函數(shù)，即因此有必要將梯度推廣到矩陣標(biāo)量函數(shù)。三、矩陣標(biāo)量函數(shù)對(duì)矩陣的微分定義16

設(shè)有矩陣標(biāo)量函數(shù)。函數(shù)對(duì)的微分為梯度矩陣?yán)?8

對(duì)雙線性型有例17

對(duì)矩陣的跡有因此例19

對(duì)矩陣乘積的跡有四、矩陣對(duì)矩陣的微分定義20

設(shè)矩陣值函數(shù)

的元素都是矩陣標(biāo)量函數(shù)。矩陣函數(shù)對(duì)的微分指的是矩陣其中例21

已知，設(shè)，求解：因?yàn)樗?exm617.msymsx1x2a11a12a21a22x=[x1;x2];y=[y1;y2];z=[x1x2];w=[y1y2];A1=[a11a12;a21a22];f=z*A1*y%線性型fR1=jacobian(f,A1)%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求f對(duì)A1的導(dǎo)數(shù)x*wR1=[x1*y1,x2*y1,x1*y2,x2*y2]

ans=[x1*y1,x1*y2][x2*y1,x2*y2]理論結(jié)果是矩陣，但按列排序方式顯示為行向量%exm617.m（續(xù)）symsa11a12a21a22a13a23symsb1b2b3A1=[a11a12;a21a22];A2=[a13;a23];A=[A1A2];b=[b1;b2;b3];B=A*b%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求Ab對(duì)矩陣A1的導(dǎo)數(shù)R2=jacobian(B,A1))%調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求Ab對(duì)列向量A2的導(dǎo)數(shù)R3=jacobian(B,A2)R4=jacobian(B,A)R2=[b1,0,b2,0][0,b1,0,b2]

R3=[b3,0][0,b3]

R4=[b1,0,b2,0,b3,0,b4,0][0,b1,0,b2,0,b3,0,b4]理論結(jié)果是：R2=R3=[b1,b2][b3][0,0][0][0,0][0][b1,b2][b3]

R4=[b1,b2,b3,b4][0,0,0,0][0,0,0,0][b1,b2,b3,b4]輸出結(jié)果是：§5、矩陣函數(shù)的應(yīng)用矩陣函數(shù)經(jīng)常與函數(shù)矩陣（包括向量值函數(shù)及矩陣）聯(lián)系在一起。利用分析學(xué)的理論，可以將非線性問(wèn)題近似成線性問(wèn)題。事實(shí)上，用“線性化”處理非線性問(wèn)題是一種重要的思維方式，比如控制中的線性系統(tǒng)理論，其中最典型的就是線性微分方程組在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。一、線性常系數(shù)齊次微分方程組線性常系數(shù)齊次微分方程的通解為將推廣到向量，將系數(shù)推廣到對(duì)角矩陣以及塊對(duì)角矩陣，結(jié)論仍然成立嗎？此時(shí)有對(duì)于任意系數(shù)矩陣，注意到Jordan分解令，則方程組的最簡(jiǎn)解耦為因此從而定理1

線性常系數(shù)齊次微分方程組的通解為這里，是常數(shù)矩陣，證明

由于兩邊積分得因此例2

求線性常系數(shù)齊次微分方程組在下列初始條件下的解：解：方程組的矩陣形式為這里根據(jù)定理1，其解為矩陣的Jordan分解為，這里這時(shí)因此所求微分方程組的解為二、線性常系數(shù)非齊次微分方程組線性常系數(shù)非齊次微分方程的通解為將推廣到向量，將系數(shù)推廣到任意矩陣，結(jié)論仍然成立嗎？定理3

線性常系數(shù)非齊次微分方程組的通解為這里，其他與定理1相同。兩邊積分得即證明

用乘方程兩邊，并整理得再用乘方程兩邊，并整理即得結(jié)果。例4

求線性常系數(shù)非齊次微分方程組滿足初始條件的解，這里解：矩陣的Jordan分解為，這里因此因此所求微分方程組的解為%exm619.mA=[-110;-430;102];

symst%聲明符號(hào)變量t

eAt=expm(A*t)；

eAt=simple(eAt)%簡(jiǎn)化矩陣函數(shù)的結(jié)果

x0=[113]’;

xh=S*x0xh=simple(xh)xh=-exp(t)*(t-1)-exp(t)*(2*t-1)exp(t)*(t+3*exp(t))%exm619.m(續(xù))symssf=[exp(t);exp(t);exp(4*t)]%自由項(xiàng)fg=[exp(s);exp(s);exp(4*s)]T=simple(expm(-A*s));%e^(-As)h=simple(T*g)%e^(-As)f(s)xp0=int(h,0,t)%從0到t求e^(-As)f(s)的積分xp=eAt*int(h,0,t);%非齊次的特解xpxp=simple(xp)x=xh+xp;%非齊次的通解xx=simple(x)h=s+12*s+1exp(2*s)–sxp=-(t*exp(t)*(t-2))/2-t*exp(t)*(t-1)(exp(t)*(exp(3*t)-exp(t)+t^2))/2x=-(exp(t)*(t^2-2))/2-exp(t)*(t^2+t-1)(exp(t)*(2*t+exp(3*t)+5*exp(t)+t^2))/2%exm619.m（續(xù)）

用dsolve求解符號(hào)微分方程組symstx1x2x3%聲明符號(hào)變量[x1,x2,x3]=dsolve('Dx1=-1*x1+x2','Dx2=-4*x1+3*x2',...'Dx3=x1+2*x3','x1(0)=1','x2(0)=1','x3(0)=3')%...是續(xù)行符xh=[x1;x2;x3]%齊次的通解xhxh=-exp(t)*(t-1)-exp(t)*(2*t-1)exp(t)*(t+3*exp(t))%exm619.m（續(xù)）

用dsolve求解符號(hào)微分方程組symstx1x2x3%聲明符號(hào)變量[x1,x2,x3]=dsolve('Dx1=-1*x1+x2+exp(t)',...'Dx2=-4*x1+3*x2+exp(t)',...'Dx3=x1+2*x3+exp(4*t)',...

'x1(0)=1','x2(0)=1','x3(0)=3‘)%...是續(xù)行符x=[x1;x2;x3]%非齊次的通解xx=-(exp(t)*(t^2-2))/2-exp(t)*(t^2+t-1)(exp(t)*(2*t+exp(3*t)+5*exp(t)+t^2))/2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其通解為三、應(yīng)用：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣這里第一項(xiàng)(零輸入響應(yīng))是由初始狀態(tài)引起的系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)，第二項(xiàng)(零狀態(tài)響應(yīng))是由控制輸入所產(chǎn)生的受控運(yùn)動(dòng)。由于變換矩陣起著一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移的作用，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。顯然它表征了從初始狀態(tài)到當(dāng)前狀態(tài)的轉(zhuǎn)移關(guān)系。而且從本質(zhì)上看，無(wú)論是初始狀態(tài)引起的運(yùn)動(dòng)（第一項(xiàng)），還是由輸入引起的運(yùn)動(dòng)（第二項(xiàng)），都是一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移，都可用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來(lái)表示。實(shí)際上根據(jù)定義可以證明，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足以及這與下列關(guān)系顯然吻合：四、矩陣微分方程很容易驗(yàn)證，矩陣微分方程的解為這里是未知函數(shù)矩陣。而且，可以成立Jacobi恒等式：因此，當(dāng)為非奇異矩陣時(shí)，方程的解都是非奇異的。特別地，當(dāng)時(shí)，方程的解稱為的基本解矩陣。Jacobi恒等式的證明：注意到這說(shuō)明方程的解都可以用基本解矩陣來(lái)表示，即令