第十九講機(jī)械波1-2-3

前言1.機(jī)械振動(dòng)在空間的傳播過(guò)程叫做機(jī)械波。2.常見(jiàn)的波有兩大類:在微觀領(lǐng)域中還有物質(zhì)波（概率波），討論微觀粒子的波動(dòng)性。3.各種波的本質(zhì)不同,但其基本傳播規(guī)律有許多相同之處。(1)機(jī)械波(機(jī)械振動(dòng)的傳播)(2)電磁波（交變電場(chǎng)、磁場(chǎng)的傳播）第15章機(jī)械波1按波面形狀平面波（planewave）球面波（sphericalwave）柱面波（cylindricalwave）按復(fù)雜程度簡(jiǎn)諧波（simpleharmonicwave）復(fù)波（compoundwave）按持續(xù)時(shí)間連續(xù)波（continuedwave）脈沖波（pulsatingwave）4.波的分類：2按波形是否傳播行波（travellingwave）駐波（standingwave）…………3波動(dòng)一定的擾動(dòng)的傳播（一定運(yùn)動(dòng)形態(tài)的傳播過(guò)程）行波POyxxu擾動(dòng)的傳播（行走）行波一次擾動(dòng)（脈沖）的傳播脈沖波例：抖動(dòng)繩子O點(diǎn):P點(diǎn):脈沖波波函數(shù)415.1彈性體彈性形變彈性體——若物體在外力的作用下發(fā)生形變，而外力撤消后又能恢復(fù)原來(lái)的大小和形狀，則這種變形體就稱為彈性體。15.1.1拉伸與壓縮ΔS圖15-1應(yīng)力與應(yīng)變?chǔ)tΔFΔFN正應(yīng)力：切應(yīng)力：5相對(duì)形變：（也稱線應(yīng)變），ε正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)于拉伸形變和壓縮形變。胡克定律：實(shí)驗(yàn)表明在線形變限度內(nèi)，正應(yīng)力和線應(yīng)變成正比，比例系數(shù)稱為楊氏模量。其中分別對(duì)應(yīng)均勻彈性桿的原長(zhǎng)和變形后長(zhǎng)度。615.1.2剪切應(yīng)變與切變模量切應(yīng)變?chǔ)?5.1.3體應(yīng)變與體積模量體積應(yīng)變?chǔ)挛⑿⌒巫儠r(shí)，此時(shí)，剪切形變可直接用β來(lái)表示。記作θ其中，比例系數(shù)實(shí)驗(yàn)表明：在線形變限度內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比：71、機(jī)械波產(chǎn)生的條件1）波源2）彈性介質(zhì)或者彈性媒質(zhì)2、橫波：縱波：共性：波動(dòng)性15.2機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播89常用的概念：周期：波速：相速：波面：空間同相位點(diǎn)的集合波前球面波：平面波：波線：波的傳播方向各向同性介質(zhì)，波線與波面垂直(時(shí)間)頻率：波長(zhǎng)：空間頻率：3.波的描述波數(shù)：1015.3一維平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)-----波函數(shù)設(shè)一維平面簡(jiǎn)諧波以相速u沿x軸正向傳播,t時(shí)刻波形如圖O點(diǎn)的振動(dòng)位移為P點(diǎn)的振動(dòng)位移為(op=x)或u15.3.1表達(dá)式11定義角波數(shù)定義波矢例：“+”會(huì)聚球面波“-”發(fā)散球面波沿負(fù)方向傳播的波的方程同一振動(dòng)狀態(tài)X處比0處超前t=x/u12波函數(shù)的物理意義1、當(dāng)x一定時(shí),例:x=x0=常數(shù)令常數(shù)----x0處簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程反映了振動(dòng)的時(shí)間周期性t每增加T，y不變132、當(dāng)t=t0=常數(shù)令t0時(shí)刻的波形

------t0時(shí)刻各點(diǎn)振動(dòng)周相不同x每增加λ，y不變反映了波的空間周期性14當(dāng)0=01）t0=03）2）------t=0時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的位移t0=T波形恢復(fù)原樣而在一個(gè)T內(nèi)波形向右移動(dòng)了T這個(gè)物理量從時(shí)間上反映了波的周期性153、x,t都變表示波射線上不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移

----行波波函數(shù)不僅表示波射線上給定點(diǎn)的振動(dòng)情況，某時(shí)刻波形，初位相及比原點(diǎn)落后的相位，還反映了振動(dòng)狀態(tài)的傳播，波形的傳播，能量的傳播。由看出t或x每增加T或λ,相位重復(fù)出現(xiàn)，反映了時(shí)間和空間的周期性。16例：已知：圖示為波源（x=0處）振動(dòng)曲線且波速u=4m/s,方向沿x軸正向.求：t=3s時(shí)波形曲線（大致畫出）解：4812y(cm)x(m)0.50-0.5u=4m/sy(cm)t(s)0.50-0.5123417例：沿x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波，振幅為A=1.0m，周期T=2.0s，波長(zhǎng)=2.0m。t=0時(shí)刻，坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)恰好從平衡位置向y軸正向運(yùn)動(dòng)，求:(1)

波函數(shù)；(2)

t=1.0s時(shí)刻的波形圖；

(3)

x=0.5m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線；解：(1)波函數(shù)(3)(2)x/my/mot=1.0sy/mot/s

x=0.5m18例：沿x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波，波速u=20m/s，已知A點(diǎn)的振動(dòng)方程為，(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波方程；(2)以B為原點(diǎn)寫出波方程；(3)寫出C、D點(diǎn)的振動(dòng)方程解：(1)(2)B點(diǎn)與A點(diǎn)振動(dòng)的相位差(3)原點(diǎn)振動(dòng)方程波函數(shù)與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)19例2正向波在t=0時(shí)的波形圖波速u=1200m/sA/2AA0yΦ0=π/3φM=-π/2t=0x=0t=0M處求：波函數(shù)和波長(zhǎng)解：由圖如何確定ωφ0?由初始條件：y0=A/2v0<0x(m)-0.10y(cm)0100.05t=0時(shí)uMΦ0=π/3如何確定ω?由M點(diǎn)狀態(tài)yM=0vM>0ΦM=-π/220例.一平面簡(jiǎn)諧波沿著x軸正向傳播，速度為u，已知t’時(shí)刻的波形曲線如圖所示，x1處質(zhì)元位移為0。試求：（1）原點(diǎn)O處質(zhì)元的振動(dòng)方程；（2）該簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。xyOx1-Au解：（1）由圖可知t’時(shí)刻原點(diǎn)處質(zhì)元振動(dòng)的相位為-π/2，則有：則振動(dòng)的初相為：所以振動(dòng)方程可以寫出：21（2）在x軸上任意選取一點(diǎn)P，坐標(biāo)為x，如圖所示。P點(diǎn)振動(dòng)相位落后于原點(diǎn)O，其相位差為：根據(jù)原點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)方程，可以得到P點(diǎn)的振動(dòng)方程，即波函數(shù)為：OPxx注：22(a)例平面簡(jiǎn)諧波以波速u=0.5m/s沿著x軸負(fù)方向傳播。在t=2s時(shí)的波形如圖（a）所示。求原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。分析：由圖可得到的信息有振幅，波長(zhǎng)，從而可以確定振動(dòng)方程三要素中的兩個(gè)。確定t=0時(shí)刻原點(diǎn)的振動(dòng)初相位是關(guān)鍵。解：由圖可知：振幅：波長(zhǎng)：23所以，可以得到角頻率ω：圖（a）是t=2s時(shí)的波形曲線，波沿著x軸負(fù)向傳播，所以可以采用波形移動(dòng)法推知t=0s時(shí)的曲線，如圖（b）。(b)Δx=ut由圖可知，t=0時(shí)刻，原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)正位于平衡位置，而且向y軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，所以，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知：24所以原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：例一平面簡(jiǎn)諧波其波長(zhǎng)為12m，沿x軸負(fù)向傳播，如圖所示的是x=1.0m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線。求此波的波函數(shù)。分析：如何根據(jù)圖中的信息寫出x=1.0m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程是關(guān)鍵。如何確定三要素。解：由圖可知：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)振幅（1）A=0.4m。25（2）t=0時(shí)刻位于x=1.0m處的質(zhì)點(diǎn)位移為A/2，并且向oy軸正向運(yùn)動(dòng)，由旋轉(zhuǎn)矢量法，可知：（3）由圖還可知，t=5.0s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)第一次回到平衡位置。t=0st=5sωt所以，可以得到：26由此可以寫出x=1.0m處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：波長(zhǎng)已知，由此可以得到波速為：波函數(shù)的一般形式為：當(dāng)x=1.0m時(shí)，得到1.0m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：27當(dāng)x=1.0m時(shí)，得到1.0m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：與剛求得的x=1.0m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程作比較，可得：所以，此波的波函數(shù)為：2815.3.2平面波波動(dòng)方程求一階偏導(dǎo)數(shù)得振動(dòng)速度函數(shù)再求一次偏導(dǎo)數(shù)，得波函數(shù)對(duì)時(shí)間的二階偏導(dǎo)數(shù)，即振動(dòng)加速度函數(shù)由平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)波函數(shù)對(duì)位置x的一階偏導(dǎo)數(shù)為：29該式是平面簡(jiǎn)諧波（或一維簡(jiǎn)諧波）的波動(dòng)方程，而平面簡(jiǎn)諧波（或一維簡(jiǎn)諧波）的波函數(shù)是該方程的一個(gè)特解。而一維簡(jiǎn)諧行波函數(shù)對(duì)x的二階偏導(dǎo)數(shù)為比較上兩式得3015.4波動(dòng)方程與波速取小質(zhì)元ab=dx

體積為dV=sdx質(zhì)量為dm=sdx設(shè)質(zhì)元被拉伸形變：受彈性力利用胡克定律有：為應(yīng)力：

或協(xié)強(qiáng)Y為楊氏模量受彈性力(應(yīng)力與應(yīng)變成正比）因此可以看出倔強(qiáng)系數(shù)31橫波波速縱波波速G為剪切模量三維情況：式中稱為

拉普拉斯算子Y為楊氏模量由波函數(shù)對(duì)比上式可得32建立弦微小振動(dòng)的波動(dòng)微分方程xyxx+dxF1F2對(duì)比得3315.5能流密度設(shè)在棒中傳播的一維簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式x處點(diǎn)質(zhì)元的動(dòng)能:彈性勢(shì)能34彈性勢(shì)能以繩波為例35能量密度平均能流平均能流密度

---波的強(qiáng)度36球面波波函數(shù)的簡(jiǎn)單推導(dǎo)：若各處的振動(dòng)情況不隨時(shí)間變化，介質(zhì)無(wú)吸收，則由能量守恒定律，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)不同波面的能量應(yīng)相等。設(shè)面積為S1的波面處波的強(qiáng)度為I1，面積為S2的波面處波的強(qiáng)度為I2，則由能量守恒定律，即對(duì)于平面波，所以即平面波的振幅37對(duì)于球面波，則由能量守恒定律，即所以球面波的振幅與傳播距離成反比，即則球面波波函數(shù)為波的吸收3815.6惠更斯原理波的衍射、反射和折射一、惠更斯原理惠更斯原理：（1）用來(lái)確定波的傳播方向，能解釋機(jī)械波的傳播規(guī)律；（2）解釋了光（電磁波）的反射、光的折射和光的衍射等現(xiàn)象。成功地說(shuō)明了光在單軸晶體中的雙折射現(xiàn)象；不足之處：它不能說(shuō)明和確定衍射強(qiáng)度分布問(wèn)題，后來(lái)由菲涅耳（A.J.Fresnel，1788-1827）加以補(bǔ)充完善而成為惠更斯-菲涅耳原理。39用惠更斯原理確定新的波陣面40波的反射波的折射41一、波的干涉相干波頻率相同振動(dòng)方向相同有恒定相位差s1s2pr1r2波源s1和s2振動(dòng)方程P點(diǎn)振動(dòng)方程15.7波的干涉駐波波的疊加原理（獨(dú)立性原理）42式中相位加強(qiáng)減弱相位差43若初相位相同時(shí)，當(dāng)當(dāng)A最大A最小——波程差。表示在同一種介質(zhì)中，兩個(gè)波源到相干處的路程之差。4445二、駐波兩列相干波，振幅相同，傳播方向相反（初位相為0）疊加而成駐波振幅駐波方程46

稱為

波節(jié)波腹位置1）當(dāng)稱為

波腹2）當(dāng)討論：1）相鄰波腹（節(jié)）之間距離為/22）一波節(jié)兩側(cè)質(zhì)元具有相反相位3）兩相鄰波節(jié)間質(zhì)元具有相同相位4）駐波無(wú)能量傳播當(dāng)當(dāng)波節(jié)位置47三、半波損失全波反射：

波從波疏媒質(zhì)反射回來(lái)，則在反射處，反射波的振動(dòng)相位與入射波的相位相同半波損失：波從波疏媒質(zhì)到波密媒質(zhì)，從波密媒質(zhì)反射回來(lái)，在反射處發(fā)生了的相位突變48四、弦振動(dòng)系統(tǒng)的簡(jiǎn)正模49例、等幅反向傳播的兩相干波，在x軸上傳播，波長(zhǎng)為8m，A、B兩點(diǎn)相距20m，如圖所示。若正向傳播的波在A處為波峰時(shí)，反向傳播的波在B處位相為-π/2。試求A、B之間因干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。AB20mOx解、如圖所示，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系。設(shè)正向傳播的波的波動(dòng)方程為：則反向傳播的波的波動(dòng)方程為：另設(shè)t=0時(shí)，正向傳播的波在A點(diǎn)為波峰，反向傳播的波在B點(diǎn)的位相為-π/2，則有，當(dāng)t=0，x=0時(shí)：50即：所以：當(dāng)t=0，x=20m時(shí)，反向傳播的位相為：所以：于是，正向傳播的波的波動(dòng)方程為：51反向傳播的波的波動(dòng)方程為：合成波的方程為：所以靜止點(diǎn)的位置就是合成駐波的波節(jié)位置：即：解得：在AB=20m之間，則k的取值為：52例、A和B是兩個(gè)相位相同的波源，相距d=0.10m，同時(shí)以30Hz的頻率發(fā)出波動(dòng)，波速為0.50m/s，P點(diǎn)位于與AB呈30度角，與A相距為4m處，如圖所示，求兩波通過(guò)P點(diǎn)的相位差。ABP30。解：該波的波長(zhǎng)為：設(shè)A、B兩個(gè)波源的相位分別為ΦA(chǔ)(t)，φB(t)。A波在P點(diǎn)的相位落后于A點(diǎn)，相位差為：因而此波在P點(diǎn)的相位為：同理，B波在P的相位為：53因此兩波通過(guò)P點(diǎn)，在P點(diǎn)的相位差為：根據(jù)題意，兩個(gè)波源的相位相同，所以則P點(diǎn)相位差為：其中所以，兩波在P點(diǎn)的相位差為：54例、如圖所示，地面上一波源S，與一高頻率探測(cè)器D之間的距離為d，從S直接發(fā)出的波與從S發(fā)出經(jīng)高度為H的水平層反射后的波，在D處加強(qiáng)。當(dāng)水平層逐漸升高h(yuǎn)距離時(shí)，在D處沒(méi)有測(cè)到訊號(hào)，如果不考慮大氣對(duì)波能量吸收，試求波源S發(fā)出波的波長(zhǎng)λ。解：自S發(fā)出的波，經(jīng)過(guò)高度為H的水平層反射后至D，全程設(shè)為d1，經(jīng)高度為（H+h)的水平層至D，全程設(shè)為d2。直達(dá)波與經(jīng)過(guò)高度為H的水平層反射的波在D處同相。由于在B，C處反射的情況是相同的，所以兩次測(cè)量不會(huì)由于反射引起不同的效果，所以可以假設(shè)在B、C處反射時(shí)都有半波損失，根據(jù)題意：dhHSDBC直達(dá)波與經(jīng)過(guò)高度為（H+h）的水平層反射的波在D處反相，則55由（1）、（2）式可以得到：由圖中幾何關(guān)系可以看出：另外：從（3）、（4）解出d1和d2，從而可以得到波長(zhǎng)的表達(dá)式：5615.8多普勒效應(yīng)vs：

以趨近于觀察者為正

vR：

以趨近于波源為正假定波源和觀測(cè)者相對(duì)于介質(zhì)靜止時(shí)，測(cè)得頻率為1.波源靜止，觀察者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)單位時(shí)間通過(guò)觀測(cè)者的完整波形：多普勒效應(yīng):57s觀測(cè)者2、觀測(cè)者靜止,波源相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)s觀測(cè)者583、波源觀測(cè)者同時(shí)相對(duì)介質(zhì)