第五章點的運動學(xué)

教師：袁方強甘肅民族師范學(xué)院第五章點的運動學(xué)實際上，對于一切機械運動的描述都有其相對性。例如，相對于地面是鉛垂下落的雨滴，相對于行進中的人來說則是傾斜迎面下落的。因此，在描述物體的機械運動時，必須指明這一機械運動是相對于什么物體來說的，否則就毫無意義。凡可借以確定被研究物體位置和運動的其他物體稱為該被研究物體的參考體。而與參考體相固結(jié)的整個延伸空間或坐標(biāo)系稱為參考系或參考坐標(biāo)系。在一般的工程問題中，如未特別說明，則通常取固結(jié)在地面上的坐標(biāo)系為參考系。5-1運動學(xué)的基本概念在研究物體的運動時，要區(qū)別兩個與時間有關(guān)的概念，即時間間隔和瞬時。時間間隔是指物體在不間斷的運動中，從一個位置運動到另一個位置所經(jīng)歷的時間，它對應(yīng)于物體運動的某一過程；瞬時是指時間間隔趨近于零的一剎那，它對應(yīng)于物體在運動過程中的某一位置和狀態(tài)。5-2用矢量法研究點的運動在給定的參考系中，描述點的空間位置隨時間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達式稱為點的運動方程。為了確定動點M在任一瞬時的位置，可選取參考體上某固定點O為坐標(biāo)的原點，自O(shè)點向動點M作矢量r=OM（如圖所示），稱為r為動點M相對于固定點O的位置矢徑。顯然動點M的位置與矢徑存在一一對應(yīng)的關(guān)系。上式稱為點的矢量形式的運動方程。動點M在運動過程中，其矢徑r的末端在空間所描出的曲線稱為矢徑端跡。顯然，矢徑端跡就是動點的軌跡。

設(shè)在瞬時t，動點位于M，其矢徑為r，在瞬時t+Δt，動點位于M’，其矢徑為r’（如圖所示），在時間間隔Δt內(nèi)矢徑r的改變量Δr=r’-r，就是動點在Δt內(nèi)的位移。令，v*稱為動點在Δt內(nèi)的平均速度，用來表示動點在Δt內(nèi)平均運動的快慢和運動方向。當(dāng)Δt趨近于零時，平均速度v*的極限稱為動點在瞬時t的速度，以v表示之，有

即動點的速度等于其矢徑對時間的一階導(dǎo)數(shù)。

即動點的加速度等于其速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于矢徑對時間的二階導(dǎo)數(shù)。5-3用直角坐標(biāo)法研究點的運動當(dāng)動點M運動時，其坐標(biāo)x、y、z均隨時間連續(xù)不斷地變化，它們都是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，故有：上式稱為點的直角坐標(biāo)形式的運動方程。由上式三個方程中的前兩式和后兩式分別消去時間參數(shù)，可得母線分別平行于z軸和x軸的兩個曲面方程，即由于動點的空間位置既可以用矢徑r表示，也可以用直角坐標(biāo)x、y、z表示。當(dāng)矢徑的原點和直角坐標(biāo)系原點重合時，坐標(biāo)x、y、z分別為矢徑r在各對應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影，所以矢徑r可用沿直角坐標(biāo)軸的分解式表示，即由于直角坐標(biāo)系Oxyz是固定的，所以i、j、k是大小、方向均不隨時間變化的常矢量。將式（5-6）兩端對時間t求一階導(dǎo)數(shù)，得（5-6）若以vx、vy、vz分別表示速度v在直角坐標(biāo)系x、y、z軸上的投影。則有所以即速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于動點的各對應(yīng)坐標(biāo)變量對時間的一階導(dǎo)數(shù)。由速度在直角坐標(biāo)軸上的投影可求出其大小和方向，即加速度若以ax、ay、az分別表示加速度a在直角坐標(biāo)軸x、y、z軸上的投影，則有即加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于動點的速度在對應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影對時間的一階導(dǎo)數(shù)或等于動點的對應(yīng)坐標(biāo)變量對時間的二階導(dǎo)數(shù)。由加速度在坐標(biāo)軸上的投影可求出其大小和方向例5-1曲柄連桿機構(gòu)如圖所示。曲柄OA繞O軸以?=ωt的規(guī)律轉(zhuǎn)動（ω為已知常數(shù)），并通過連桿AB帶動滑塊B在水平滑到內(nèi)滑動。設(shè)連桿AB與曲柄OA的長度相等，即OA=AB=l，運動開始時曲柄在水平向右位置，試求連桿AB中點C的軌跡、速度和加速度。（1）求C點的軌跡，由幾何關(guān)系可得將時間t消去，得：（2）求C點的速度將運動時間方程對時間求導(dǎo)：故C點的速度大小為：速度的方向余弦為：（3）求C點的加速度故C點的加速度為：其方向余弦為：5-4用自然法研究點的運動如圖所示，在動點的軌跡曲線上任取相鄰兩點M點和M’點，分別過M和M’點做軌跡的切線MT和M’T’，一般情況下這兩條切線并不在同一平面上。過M點作與切線M’T’平行的直線MT1，則MT和MT1可確定一平面P。過M點作一與密切面垂直的平面（法平面），發(fā)平面與密切面相交的直線稱為主法線。在法平面內(nèi)過M點，且與主法線垂直的直線稱為次法線。

速度加速度切向加速度切向加速度是反應(yīng)速度大小隨時間變化快慢的物理量，它等于速度代數(shù)量對時間的一階導(dǎo)數(shù)或等。法向加速度

所以，加速度為加速度分別在切向軸、主法線軸和次法線軸上的投影為加速度大小為：加速度的方向：加速度a位于密切面內(nèi)，且指向軌跡凹的一側(cè)或沿切線方向。幾種特殊情況1.勻變速曲線運動2.勻速曲線運動3.直線運動例5-2列車沿半徑為R=500m的圓弧軌道作勻加速運動。如初速度為零，經(jīng)過100s后，速度達到54km/h。求起點和末點的加速度。

5-6汽車在半徑R=250m的一段圓弧道路上行駛，在20s內(nèi)其速度由36km/h均勻的增加到54km/h。求汽車在20s末的加速度。

自然法：

直角坐標(biāo)系：以O(shè)為坐標(biāo)原點