實(shí)數(shù)集與函數(shù)

實(shí)數(shù)集與函數(shù)第一頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日

記號(hào)與術(shù)語第二頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日《數(shù)學(xué)分析》概述

一、研究對(duì)象變量間的關(guān)系及變化過程，具體表現(xiàn)為函數(shù)及其性質(zhì)。函數(shù)及其性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、有界性、奇偶性、最大（?。┲?、極大（小）值、周期性、圖象、……需要指明的是：中學(xué)也研究函數(shù)的這些性質(zhì)，但主要采用“靜止”、“孤立”的方法去研究函數(shù)．而在《數(shù)學(xué)分析》中主要采用“運(yùn)動(dòng)”、“聯(lián)系”、“變化”的過程把握變化的結(jié)果．因而《數(shù)學(xué)分析》中的方法具“運(yùn)動(dòng)性”、“變化性”．如何研究函數(shù)？通過什么方式、角度去研究呢？或用什么樣的工具去研究函數(shù)呢？這些構(gòu)成《數(shù)學(xué)分析》的主要內(nèi)容．第三頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第四頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第五頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日變量數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限方法極限論微分學(xué)積分學(xué)級(jí)數(shù)論（單變量和多變量）工具基礎(chǔ)中心對(duì)象對(duì)象變動(dòng)觀點(diǎn)關(guān)系第六頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第七頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第八頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第九頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第十頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

§1實(shí)數(shù)§2數(shù)集確界原理§3函數(shù)的概念§4復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)第十一頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日1.1實(shí)數(shù)一.實(shí)數(shù)及其性質(zhì)二.絕對(duì)值與不等式第十二頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日

若規(guī)定：

則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù).實(shí)數(shù)對(duì)正整數(shù)對(duì)負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)）y,先將-y表示成無限小數(shù)，再在無限小數(shù)前加負(fù)號(hào)．如:-8=-7.999一.實(shí)數(shù)及其性質(zhì)：1.回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無理數(shù)的定義.第十三頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日說明:

對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y,則分別稱x=y與x<y(y>x)2.兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系

說明:

自然規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù).)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===￡￡￡￡===++或分別記為小于或大于則稱而使得或存在非負(fù)整數(shù)若記為相等與則稱若有為整數(shù)為非負(fù)整數(shù)其中給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)LLLLLLL1)定義1第十四頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日定義2設(shè)

為實(shí)數(shù)x的n位不足近似，而有理數(shù)

稱為x的n位過剩近似，n=0,1,2,….為非負(fù)實(shí)數(shù).稱有理數(shù)2)通過有限小數(shù)比較大小的等價(jià)條件第十五頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)其n位不足近似和n位過剩近似分別規(guī)定為和

注意：對(duì)任何實(shí)數(shù)x,有,第十六頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日命題1

設(shè)實(shí)數(shù)的性質(zhì)

1.實(shí)數(shù)集R對(duì)加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運(yùn)算是封閉的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)仍然是實(shí)數(shù).

2.實(shí)數(shù)集是有序的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b必滿足下述三個(gè)關(guān)系之一:a<b,a=b,a>b.為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則第十七頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日3.實(shí)數(shù)集的大小關(guān)系具有傳遞性.即若a>b,b>c,則有a>c.5.實(shí)數(shù)集R具有稠密性.即任何兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù),且既有有理數(shù),也有無理數(shù).6.實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.即任一實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點(diǎn),反之,數(shù)軸上的每一點(diǎn)也都唯一的代表一個(gè)實(shí)數(shù)..

,

0

,

,

.

4

b

na

n

a

b

R

b

a

,

>

>

>

?

使得

則存在正整數(shù)

若

即對(duì)任何

實(shí)數(shù)具有阿基米德性

第十八頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日例1證明例2證明.::,yrxr，yx<<滿足存在有理數(shù)證明為實(shí)數(shù)設(shè).,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<￡<<￡+=<<即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負(fù)整數(shù)由于.,:,,babaRba￡+<?則有若對(duì)任何正數(shù)證明設(shè)ee..,,..bababababa,￡+<+=-=>從而必有矛盾這與假設(shè)為正數(shù)且則令有則根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性假若結(jié)論不成立用反證法eeee第十九頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日a0-a二.絕對(duì)值與不等式從數(shù)軸上看的絕對(duì)值就是到原點(diǎn)的距離：

絕對(duì)值定義：第二十頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日絕對(duì)值的一些主要性質(zhì)第二十一頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4（三角不等式）的證明：由此可推出第二十二頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日幾個(gè)重要不等式:⑵均值不等式:(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)第二十三頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日有平均值不等式:等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.⑶Bernoulli不等式:第二十四頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日⑷利用二項(xiàng)展開式得到的不等式:由二項(xiàng)展開式第二十五頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日§1.2數(shù)集·確界原理一、區(qū)間與鄰域

二、上確界、下確界第二十六頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日一、區(qū)間與鄰域1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集第二十七頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.第二十八頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日2.區(qū)間:是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,第二十九頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.第三十頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日3.鄰域:第三十一頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日二有界集·確界原理1有（無）界數(shù)集:定義(上、下有界,有界)數(shù)集S有上界數(shù)集S無上界數(shù)集S有下界數(shù)集S無下界數(shù)集S有界數(shù)集S無界第三十二頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日例證明集合

是無界數(shù)集.證明：由無界集定義，E為無界集.第三十三頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第三十四頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日2確界:直觀定義:若數(shù)集S有上界，則它有無窮多個(gè)上界，其中最小的一個(gè)上界稱為數(shù)集S的上確界，同樣，有下界數(shù)集S最大的一個(gè)下界稱為數(shù)集S的下確界，MM2M1上確界上界m2mm1下確界下界第三十五頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日確界的精確定義

第三十六頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第三十七頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第三十八頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第三十九頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日例3設(shè)數(shù)集S有上確界.證明第四十頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日例4設(shè)A,B為非空數(shù)集,滿足:證明數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界,且證:

故有確界原理知,數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界.

是數(shù)集A的一個(gè)上界,而由上確界的定義知由假設(shè),數(shù)集B中任一數(shù)

都是數(shù)集A的上界,A中任一數(shù)

都是B的下界,

是數(shù)集A的最小上界,故有

而此式又表明數(shù)

是數(shù)集B的一個(gè)下界,

故由下確界的定義證得

第四十一頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日例5

為非空數(shù)集,

試證明:

證

有或

由和分別是的下界,有或即

是數(shù)集的下界,

.和第四十二頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日2、3、上第四十三頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日

3.數(shù)集與確界的關(guān)系:確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.

4.確界與最值的關(guān)系:

設(shè)E為數(shù)集.

⑴E的最值必屬于E,但確界未必,確界是一種臨界點(diǎn).

⑵

非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理),但未必有最值.

⑶

若存在,必有對(duì)下確界有類似的結(jié)論.第四十四頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日

5確界原理

定理1(確界原理).設(shè)E為非空數(shù)集，若E有上界，則E必有上確界；若E有下界，則E必有下確界。第四十五頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)A,B為非空有限數(shù)集,.證明:

例6證:

故得

所以

綜上,即證得第四十六頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日§1.3函數(shù)的一般概念函數(shù)的概念2幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例3函數(shù)的性質(zhì)第四十七頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日

一、函數(shù)概念

函數(shù)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象,可以說數(shù)學(xué)分析就是研究函數(shù)的.因此我們對(duì)函數(shù)的概念以及常見的一些函數(shù)應(yīng)有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí).

第四十八頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日因變量自變量D稱為定義域，記作Df，即Df=

D

.函數(shù)值的全體構(gòu)成的數(shù)集稱為值域，記為：第四十九頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量因變量約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.第五十頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于函數(shù)定義的幾點(diǎn)說明:第五十一頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第五十二頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)．第五十三頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日函數(shù)的相等與不等注：分清和“函數(shù)值的相等與不等”。第五十四頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,坐標(biāo)平面上的

函數(shù)的表示法第五十五頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日單值函數(shù)與多值函數(shù)

在函數(shù)的定義中,對(duì)每個(gè)xD,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則,按這個(gè)法則,對(duì)每個(gè)xD,總有確定的y值與之對(duì)應(yīng),但這個(gè)y不總是唯一的,我們稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù).例如,由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù):此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個(gè)單值分支第五十六頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日此函數(shù)稱為絕對(duì)值函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)镽f

=[0,+).

(2)

(1)常值函數(shù)y=c.其定義域?yàn)镈=(-,

+),其值域?yàn)镽f

={c}.下頁(yè)三幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例第五十七頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日(3)符號(hào)函數(shù)

其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)镽f

={-1,0,1}.第五十八頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日(4)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)階梯曲線其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)?/p>

=Z.例：

第五十九頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日（5）“非負(fù)小數(shù)部分”函數(shù)

它的定義域是第六十頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(6)狄利克雷函數(shù)其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)?{0,1}.第六十一頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日(7)取最值函數(shù)yxoxo第六十二頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日(8)Riemann函數(shù)第六十三頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).分段函數(shù)第六十四頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日例2解故第六十五頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日三、函數(shù)的性質(zhì)M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:第六十六頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:四、函數(shù)的性質(zhì)第六十七頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日f(x)=sinx在(-,+)上是有界的:

|sinx|1.所以函數(shù)無上界.有界函數(shù)舉例第六十八頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日例3第六十九頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日2．函數(shù)的單調(diào)性:xyo第七十頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日xyo第七十一頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x第七十二頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日奇函數(shù)yxox-x第七十三頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第七十四頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第七十五頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日4．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.第七十六頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日第七十七頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日§1.4復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)初等函數(shù)二.反函數(shù)三.初等函數(shù)四.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)一.復(fù)合函數(shù)第七十八頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日一、復(fù)合函數(shù)

在實(shí)際問題中，有很多比較復(fù)雜的函數(shù)是由幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)“疊置”而成的，如在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中位移y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系就是由三角函數(shù)和線性函數(shù)“疊置”而成的，第七十九頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日定義:注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;——復(fù)合條件第八十頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)合函數(shù)的定義域復(fù)合條件在實(shí)際應(yīng)用時(shí)常取形式內(nèi)層函數(shù)的值域落在外層函數(shù)的定義域之內(nèi)2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.第八十一頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日二、反函數(shù)DWDW反函數(shù).第八十二頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日的反函數(shù)，記為

反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域

顯然有

(恒等變換）

(恒等變換)

。第八十三頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日這樣直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為.第八十四頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日

嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對(duì)應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)。但1-1對(duì)應(yīng)的函數(shù)（有反函數(shù)）不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子它的反函數(shù)即為它自己.

第八十五頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日

實(shí)際求反函數(shù)問題可分為二步進(jìn)行：

(1).確定的定義域和值域，考慮1-1對(duì)應(yīng)條件。固定，解方程

得出。(2).按習(xí)慣，自變量、因變量互換，得.第八十六頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日三初等函數(shù)１、基本初等函數(shù)（1）.冪函數(shù)第八十七頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日冪函數(shù)第八十八頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日（2）.指數(shù)函數(shù)第八十九頁(yè)，共一百零六頁(yè)，2022年，8月28日（3）.對(duì)數(shù)函數(shù)第九