MATLAB編程基礎(chǔ)第6講-數(shù)值微積分、多項(xiàng)式

MATLAB編程基礎(chǔ)

之?dāng)?shù)值微積分、多項(xiàng)式第六講2/3/202313.7MATLAB數(shù)值積分與微分3.7.1差分和偏導(dǎo)數(shù)1.差分在MATLAB中，沒有直接提供求數(shù)值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只有計(jì)算向前差分的函數(shù)diff，其調(diào)用格式為：DX=diff(X)：計(jì)算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。DX=diff(X,n)：計(jì)算X的n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。DX=diff(A,n,dim)：計(jì)算矩陣A的n階差分，dim=1時(shí)(缺省狀態(tài))，按列計(jì)算差分；dim=2，按行計(jì)算差分。2/3/20232例1差分運(yùn)算示例命令如下：A=[123456789101112131415161718];%生成1維矩陣A1=reshape(A,6,3)'%轉(zhuǎn)換為3×6維矩陣

A1=123456789101112131415161718B1=diff(A1)%求1維1階差分

B1=666666666666B2=diff(A1,1,2)%求2維1階差分B2=111111111111111B3=diff(A1,2)%求1維2階差分B3=0000002/3/202332.梯度和偏導(dǎo)數(shù)二元及多元函數(shù)F(x,y，…)的求導(dǎo)FX=gradient(F)[FX,FY]=gradient(F)[…]=gradient(F,h)2/3/20234例2求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)%生成二元函數(shù)v=-2:0.2:2;[x,y]=meshgrid(v);z=x.*exp(-x.^2-y.^2);%繪制曲面，如圖3-4所示figure(1)mesh(x,y,z);[px,py]=gradient(z,.2,.2);%求偏導(dǎo)數(shù)figure(2)contour(v,v,z)%繪制等高線，如圖3-5所示holdonquiver(v,v,px,py)%繪制矢量場(chǎng)圖，小箭頭表示梯度holdoff

2/3/20235數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分基本原理

求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡(jiǎn)單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個(gè)積分區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。2/3/202363.7.2一元函數(shù)的數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分的實(shí)現(xiàn)方法1．變步長(zhǎng)辛普生（Simpson）法（精度較高，較常使用）基于變步長(zhǎng)辛普生法，MATLAB給出了quad函數(shù)來(lái)求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：

[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來(lái)控制積分精度，缺省時(shí)取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時(shí)取trace=0。返回參數(shù)I即定積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。2/3/20237函數(shù)部分functionf=quad1(x)f=1./(x.^3-2*x-5);%編制函數(shù)m文件調(diào)用命令Q=quad('quad1',0,2)%在同一目錄下，計(jì)算積分值Q=-0.4605

2/3/20238求定積分。

(1)建立被積函數(shù)文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)調(diào)用數(shù)值積分函數(shù)quad求定積分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S=0.9008n=772/3/202392.自適應(yīng)Lobatto法(精度較高，最常使用)q=quadl(fun,a,b)q=quadl(fun,a,b,tol)

%采用內(nèi)聯(lián)函數(shù)形式，第二個(gè)參數(shù)為變量例3-25求Q=sin2x+cosx從2*pi到0的定積分f=inline('sin(2*x)+cos(x).^2','x');Q=quadl(f,0,2*pi)%求取積分值Q=3.1416訓(xùn)練任務(wù)：請(qǐng)采用編制m函數(shù)求該函數(shù)積分

2/3/2023103.7.3多重?cái)?shù)值積分使用MATLAB提供的dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)該函數(shù)求f(x,y)在[a,b]×[c,d]區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。2/3/202311計(jì)算二重定積分(1)建立一個(gè)函數(shù)文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)globalki;ki=ki+1;%ki用于統(tǒng)計(jì)被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)調(diào)用dblquad函數(shù)求解。globalki;ki=0;I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)kiI=1.57449318974494ki=1038（3）匿名函數(shù)方法f=@(x,y)y*sin(x)+x*cos(y);%編寫匿名函數(shù)，將句柄賦給fS=dblquad(f,pi,2*pi,0,pi)%計(jì)算二重積分2/3/2023123.8多項(xiàng)式3.8.1多項(xiàng)式的構(gòu)造使用行向量表示多項(xiàng)式的系數(shù)，行向量中各元素按多項(xiàng)式次數(shù)從高到低排列。即多項(xiàng)式P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的系數(shù)向量P為[anan-1…a1a0]。P=poly(A):通過n階方陣A生成特征多項(xiàng)式p,A為特征多項(xiàng)式的根，滿足P(A)=anAn+an-1An-1+…+a1A+a0P=poly(r):通過向量r=[r1r2…rn]方陣A生成多項(xiàng)式,向量元素為多項(xiàng)式的根，即滿足(x-r1)(x-r2)…(x-rn)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0S=poly2str(P,’s’):將多項(xiàng)式系數(shù)行向量表達(dá)形式P轉(zhuǎn)換成變量為s的標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式形式S。2/3/202313例3-29求多項(xiàng)式

r=[123];%生成向量rP1=poly(r)%計(jì)算根為r的多項(xiàng)式P1=1-611-6S1=poly2str(P1,'x')%轉(zhuǎn)換成變量為x的標(biāo)準(zhǔn)形式S1=x^3-6x^2+11x-6A=magic(3)%創(chuàng)建3階魔方矩陣

P2=poly(A)%計(jì)算方陣的特征多項(xiàng)式P2=1.0000-15.0000-24.0000360.0000S2=poly2str(P2,'s')%轉(zhuǎn)換成變量為s的標(biāo)準(zhǔn)形式S2=s^3-15s^2-24s+3602/3/2023143.8.2多項(xiàng)式的運(yùn)算1.多項(xiàng)式的根R=roots(P)：求多項(xiàng)式向量P的根p=[1-6-72-27];%多項(xiàng)式向量pr=roots(p)%求多項(xiàng)式的根2/3/2023152.多項(xiàng)式的值y=polyval(p,x)：計(jì)算多項(xiàng)式向量為p變量為x時(shí)的數(shù)值y，x可以是向量也可以是矩陣?yán)?-31計(jì)算多項(xiàng)式的值p=[321];%創(chuàng)建一個(gè)多項(xiàng)式向量x=[5,7,9];%變量為向量形式y(tǒng)x=polyval(p,x)%計(jì)算多項(xiàng)式的值yx=86162262A=pascal(4)%變量為矩陣形式

A=1111123413610141020ya=polyval(p,A)%計(jì)算多項(xiàng)式的值ya=6666617345763412132165732112412/3/2023163.多項(xiàng)式的乘法c=conv(u,v)：求向量為u的多項(xiàng)式與向量為v的多項(xiàng)式的乘積c。例3-32求（x2+2x+6）(x3+2)的乘積a=[126];b=[1002];%生成多項(xiàng)式向量c=conv(a,b)%計(jì)算乘積

s=poly2str(c,'x')%標(biāo)準(zhǔn)形式表示c=1262412s=x^5+2x^4+6x^3+2x^2+4x+12訓(xùn)練任務(wù):（x4+2x+6）(x3+2x+6)2/3/2023173.conv,convs多項(xiàng)式乘運(yùn)算例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=[123];b=[456];c=conv(a,b)or=conv([123],[456])c=4.0013.0028.0027.0018.00p=poly2str(c,'x')p=4x^4+13x^3+28x^2+27x+182/3/2023184.多項(xiàng)式的除法c=deconv(v,u)：v為被除數(shù)，u為除數(shù)，q返回商，余數(shù)為r。例3-33求（2x3+4x2+8x+3）\(x2+2x+3)v=[2483];u=[123];%生成多項(xiàng)式向量c=conv(v,u)%計(jì)算多項(xiàng)式乘積

c=282231309[q1,r1]=deconv(c,v)%求商，整除r1為0，商多項(xiàng)式與u相同

q1=123r1=000000[q2,r2]=deconv(v,u)%多項(xiàng)式求商，帶余數(shù)2/3/2023194.deconv多項(xiàng)式除運(yùn)算a=[123];c=[4.0013.0028.0027.0018.00]d=deconv(c,a)d=4.005.006.00[d,r]=deconv(c,a)余數(shù)c除a后的整數(shù)2/3/2023205.多項(xiàng)式微分matlab提供了polyder函數(shù)多項(xiàng)式的微分。命令格式：polyder(p):求p的微分polyder(a,b):求多項(xiàng)式a,b乘積的微分[p,q]=polyder(a,b):求多項(xiàng)式a,b商的微分例：a=[12345];poly2str(a,'x')ans=x^4+2x^3+3x^2+4x+5b=polyder(a)b=466